Кривые третьего и четвертого порядка (стр. 3 из 4)
Перепишем для этой цели уравнение циссоиды в виде
Заметим далее, что прямая 
отсекает от касательной отрезок (рис. 6) 
(5)и пересекает циссоиду в точке М, координаты которой удовлетворяют уравнению
Это уравнение можно рассматривать как уравнение прямой, проходящей через точку А (2а, 0) и отсекающей на оси ординат отрезок
(6)Если теперь принять
и на оси ординат отложить отрезок ОС == 2, соединить затем точку С с точкой А(1, 0), а точку пересечения прямой СА с циссоидой соединить с точкой О и продолжить полученный отрезок до пересечения с касательной, то, как это следует из формул (5) и (6), отрезок AD и будет равен 
Древние рассматривали только ту часть циссоиды, которая находится внутри производящего круга. Вместе с дугой окружности производящего круга эта часть образует фигуру, напоминающую лист плюща, откуда проистекает название кривой. Наличие бесконечных ветвей у циссоиды было установлено в 17 веке Робервалем и независимо от него Слюзом. Кинематический способ образования циссоиды с помощью треугольника приписывается Ньютону, который выполнил также спрямление циссоиды не только аналитическим путем, но и графическим.
Рис. 6
Кардиоида
1.Уравнение. Кардиоиду можно определить как траекторию точки, лежащей на окружности круга радиуса r, который катится по окружности неподвижного круга с таким же радиусом. Она будет представлять собой, таким образом, эпициклоиду с модулем m, равным 1.
Это обстоятельство позволяет сразу же записать параметрические уравнения кардиоиды, заменяя в ранее приведенных параметрических уравнениях эпициклоид модуль m единицей. Будем иметь:
(1)Чтобы получить полярное уравнение кардиоиды, удобно принять за полюс точку А (рис.7), а полярную ось направить по оси абсцисс. Так как четырехугольник AOO1M будет равнобедренной трапецией, то полярный угол j точки М окажется равным углу поворота производящего круга, т. е. параметру t. Учитывая это обстоятельство, заменим во втором уравнении системы (1) у через r sin t. Сокращая полученное таким образом равенство на sin t, получим полярное уравнение кардиоиды
Рис. 7
По виду этого уравнения
можно заключить, что кардиоида является одной из улиток Паскаля. Она может быть определена, следовательно, как конхоида круга.
Переводя уравнение (2) в прямоугольную систему координат, получим:
(3)Из этого уравнения следует, что кардиоида является алгебраической кривой 4-го порядка.
2. Свойства. Прежде всего, поскольку кардиоида является эпициклоидой с m=1, на нее можно перенести все свойства рассмотренных нами в предыдущем параграфе эпициклоид.
Вот эти свойства и характеристики.
1. Касательная в произвольной точке кардиоиды проходит через точку окружности производящего круга, диаметрально противоположную точке касания кругов, а нормаль — через точку их касания.
2. Угол m, составляемый касательной к кардиоиде с радиусом-вектором точки касания, равен половине угла, образуемого этим радиусом-вектором с полярной осью. Действительно
Из этого соотношения непосредственно вытекает, что угол, составляемый касательной к кардиоиде с осью абсцисс, равняется
(как внешний угол треугольника AMN Рис.8). Располагая формулой 
можно доказать, что касательные к кардиоиде, проведенные в концах хорды, проходящей через полюс, взаимно перпендикулярны.Действительно, так как
Рис. 8
Заметим еще, что геометрическое место точек пересечения этих касательных есть окружность
Действительно, уравнение первой касательной на основании уравнений (1) кардиоиды, будет иметь вид 
а второй касательной 
Исключая из этих уравнений параметр, получим уравнение указанной окружности.3. Радиус кривизны в произвольной точке кардиоиды определится по формуле
(4)Можно показать также, что радиус кривизны равняется 2/3 полярной нормали N в заданной точке.
Действительно,
откуда на основании (4) получаем 
Соотношение это может быть использовано для построения центра кривизны кардиоиды.4. Эволюта кардиоиды, согласно общему свойству эволют эпициклоид, будет также кардиоидой, подобной данной, с коэффициентом подобия, равным 1/3, и повернутой относительно данной на угол 180°.
5. Длина дуги кардиоиды от точки А до произвольной точки М определится по формуле
(5)Если длину дуги отсчитывать от точки А1, диаметрально противоположной точке А, то формула для определения длины дуги может быть записана в виде
(6)6. Натуральное уравнение кардиоиды получится, если из равенств (4) и (6) исключить параметр. Оно будет иметь вид
(7)7. Площадь, ограниченная кардиоидой, определится по формуле
и, как видно, равна ушестеренной площади производящего круга.
Длина всей кардиоиды определится по формуле
и, как видно, равна восьми диаметрам производящего круга. Объем тела, полученного от вращения кардиоиды вокруг ее оси, равен
Поверхность тела, полученного от вращения кардиоиды вокруг ее оси, равняется
Мы видели, что кардиоида органически связана с окружностью. Она является конхоидой круга и эпициклоидой. Она имеет с окружностью и иной характер родства — кардиоида является подэрой окружности относительно точки, принадлежащей этой окружности.
Рис.9
Действительно, пусть ОМ есть перпендикуляр, опущенный на касательную к окружности с радиусом, равным 2r, проведенную в точке N.
Так как ОМ = OB + ВМ, или r == 2r cos j + 2r, то геометрическим местом точек М будет кардиоида с уравнением r = 2r (1 + cos j).
Заметим в заключение, что кардиоида относится также к семейству синусоидальных спиралей, и отдельные свойства ее повторяют общие свойства этих кривых. Из этих свойств следует, в частности, что инверсия кардиоиды, относительно точки возврата дает параболу.
Астроида
1. Свойства. Астроида, как и рассмотренная выше кривая Штейнера, является частным случаем гипоциклоид, а именно, гипоциклоидой с модулем m, равным 1/4. Она представляет собой, следовательно, траекторию точки, лежащей на окружности круга радиуса r, который катится по внутренней стороне другого, неподвижного круга, радиус R которого в четыре раза больше.
Параметрические уравнения астроиды можно получить, полагая в уравнениях гипоциклоиды, m=1/4. Вот эти уравнения:
Рис. 10
где t, как и ранее, угол поворота производящего круга (рис. 10)
Исключая из уравнений (1) параметр t, получим:
(2)Из уравнения (2) следует, что астроида является алгебраической кривой 6-го порядка.
Параметрические уравнения (1) астроиды можно привести к виду