Курсовая Работа - Аппроксимация функций (стр. 3 из 4)
Шаг 23. В ячейку I27 вводим формулу =СУММ(I2:I26).
Аппроксимируем функцию линейной функцией . Для определения коэффициентов и воспользуемся системой
Используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A27, B27, C27 и D27, запишем систему в виде
решив которую, получим
и 
.Таким образом, линейная аппроксимация имеет вид
.Решение системы проводили, пользуясь средствами Microsoft Excel. Результаты представлены в таблице 3.
 |
Таблица 3
Результаты коэффициентов линейной аппроксимации.
В таблице 3 в ячейках A37:B38 записана формула {=МОБР(A33:B34)}.
В ячейках D37:D38 записана формула {=МУМНОЖ(A37:B38;C33:C34)}.
Далее аппроксимируем функцию квадратичной функцией . Для определения коэффициентов , и воспользуемся системой
Используя итоговые суммы таблицы 2,
расположенные в ячейках A27, B27, C27, D27, E27, F27 и G27 запишем систему в виде
решив которую, получим
, 
и 
.Таким образом, квадратичная аппроксимация имеет вид
.Решение системы проводили, пользуясь средствами Microsoft Excel. Результаты представлены в таблице 4.
 |
Таблица 4
Результаты коэффициентов квадратичной аппроксимации.
В таблице 4 в ячейках E38:G40 записана формула {=МОБР(E33:G35)}.
В ячейках I38:I40 записана формула {=МУМНОЖ(E38:G40;H33:H35)}.
Теперь аппроксимируем функцию экспоненциальной функцией . Для определения коэффициентов и прологарифмируем значения и используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A27, C27, H27 и I27 получим систему
где .
Решив систему, найдем
, 
.После потенцирования получим
.Таким образом, экспоненциальная аппроксимация имеет вид
.Решение системы проводили, пользуясь средствами Microsoft Excel. Результаты представлены в таблице 5.
Таблица 5
 |
Результаты коэффициентов экспоненциальной аппроксимации.
В таблице 5 в ячейках D45:E46 записана формула {=МОБР(D42:943)}.
В ячейках G45:G46 записана формула {=МУМНОЖ(D45:E46;F42:F43)}.
В ячейке G47 записана формула =EXP(G45).
Вычислим среднее арифметическое и по формулам:
Результаты расчета и средствами Microsoft Excel представлены в таблице 6.
Таблица 6
 |
Вычисление средних значений X и Y.
В ячейке F49 записана формула =A26/25.
В ячейке F50 записана формула =B26/25.
Для того, чтобы рассчитать коэффициент корреляции и коэффициент детерминированности данные целесообразно расположить в виде таблицы 7, которая является продолжением таблицы 2.
Таблица 7
Вычисление остаточных сумм.
Поясним как таблица 7 составляется.
Ячейки A2:A27 и B2:B27 уже заполнены (см. табл. 2).
Далее делаем следующие шаги.
Шаг 1. В ячейку J2 вводим формулу =(A2-$F$49)*(B2-$F$50).
Шаг 2. В ячейки J3:J26 эта формула копируется.
Шаг 3. В ячейку K2 вводим формулу =(A2-$F$49)^2.
Шаг 4. В ячейки K3:K26 эта формула копируется.
Шаг 5. В ячейку L2 вводим формулу =(B2-$F$50)^2.
Шаг 6. В ячейки L3:L26 эта формула копируется.
Шаг 7. В ячейку M2 вводим формулу =($D$37+$D$38*A2-B2)^2.
Шаг 8. В ячейки M3:M26 эта формула копируется.
Шаг 9. В ячейку N2 вводим формулу
=($I$38+$I$39*A2+$I$40*A2^2-B2)^2.
Шаг 10. В ячейки N3:N26 эта формула копируется.
Шаг 11. В ячейку O2 вводим формулу
=($G$47*EXP($G$46*A2)-B2)^2.
Шаг 12. В ячейки O3:O26 эта формула копируется.
Последующие шаги делаем с помощью автосуммирования .
Шаг 13. В ячейку J27 вводим формулу =СУММ(J2:J26).
Шаг 14. В ячейку K27 вводим формулу =СУММ(K2:K26).
Шаг 15. В ячейку L27 вводим формулу =СУММ(L2:L26).
Шаг 16. В ячейку M27 вводим формулу =СУММ(M2:M26).
Шаг 17. В ячейку N27 вводим формулу =СУММ(N2:N26).
Шаг 18. В ячейку O27 вводим формулу =СУММ(O2:O26).
Теперь проведем расчеты коэффициента корреляции по формуле
(только для линейной аппроксимации)
и коэффициента детерминированности по формуле . Результаты расчетов средствами Microsoft Excel представлены в таблице 8.
Таблица 8
 |
Результаты расчета.
В таблице 8 в ячейке D53 записана формула =J27/(K27*L27)^(1/2).
В ячейке D54 записана формула =1- M27/L27.
В ячейке D55 записана формула =1- N27/L27.
В ячейке D56 записана формула =1- O27/L27.
Анализ результатов расчетов показывает, что квадратичная аппроксимация наилучшим образом описывает экспериментальные данные.
4. Построение графиков в Excel и использование функции ЛИНЕЙН.
Рассмотрим результаты эксперимента, приведенные в исследованном выше примере.
Исследуем характер зависимости в три этапа:
· Построим график зависимости.
· Построим линию тренда (
, 
, 
).· Получим числовые характеристики коэффициентов этого уравнения.
Рис.4.1. График зависимости y от x
Рис.4.2. График линейной аппроксимации
Рис.4.3. График квадратичной аппроксимации.
Рис.4.4. График экспоненциальной аппроксимации.
Примечание: Полученное при построении линии тренда значение коэффициента детерминированности для экспоненциальной зависимости
не совпадает с истинным значением 
, поскольку при вычислении коэффициента детерминированности используются не истинные значения , а преобразованные значения с дальнейшей линеаризацией.  |
5. Программа на языке Pascal.
5.1. Схема алгоритма.
| |
 |
Рис.5.1. Блок-схема
program Kramer;
uses CRT;
const
n=25;
type
TArrayXY = array[1..2,1..n] of real;
TArray = array[1..n] of real;
var
SumX,SumY,SumX2,SumXY,SumX3,SumX4,SumX2Y,SumLnY,SumXLnY: real;
OPRlin,OPRkvadr,OPRa1,OPRa2,OPRa3:real;
a1lin,a2lin,a1kvadr,a2kvadr,a3kvadr,a1exp,a2exp,cexp:real;
Xsr,Ysr,S1,S2,S3,Slin,Skvadr,Sexp:real;
Kkor,KdetLin,KdetKvadr,KdetExp:real;
i:byte;
const
ArrayXY:TArrayXY=((12.85,12.32,11.43,10.59,10.21,9.65,9.63,9.22,8.44,8.07,7.74,7.32,7.08,6.87,5.23,5.02,4.65,4.53,3.24,2.55,1.86,1.76,1.11,0.99,0.72) , (154.77
145.59,108.37,100.76,98.32,81.43,80.97,79.04,61.76,60.54,55.86,47.63,48.03,36.85,25.65,24.98,22.87,20.32,9.06,6.23,3.91,3.22,1.22,1.10,0.53));
begin
ClrScr;
SumX:=0.0;
SumY:=0.0;
SumXY:=0.0;
SumX2:=0.0;
SumX3:=0.0;
SumX4:=0.0;
SumX2Y:=0.0;
SumLnY:=0.0;
SumXLnY:=0.0;
{ Вычисление сумм x, y, x*y, x^2, x^3, x^4, (x^2)*y, Ln(y), x*Ln(y) }
for i:=1 to n do
begin
SumX:=SumX+ArrayXY[1,i];
SumY:=SumY+ArrayXY[2,i];
SumXY:=SumXY+ArrayXY[1,i]*ArrayXY[2,i];
SumX2:=SumX2+sqr(ArrayXY[1,i]);
SumX3:=SumX3+ArrayXY[1,i]*ArrayXY[1,i]*ArrayXY[1,i];
SumX4:=SumX4+sqr(ArrayXY[1,i])*sqr(ArrayXY[1,i]);
SumX2Y:=SumX2Y+sqr(ArrayXY[1,i])*ArrayXY[2,i];
SumLnY:=SumLnY+ln(ArrayXY[2,i]);
SumXLnY:=SumXLnY+ArrayXY[1,i]*ln(ArrayXY[2,i])
end;
{ Вычисление коэффициентов }
OPRlin:=0.0;
a1lin:=0.0;
a2lin:=0.0;
a1kvadr:=0.0;
OPRkvadr:=0.0;
a2kvadr:=0.0;
a2kvadr:=0.0;
a1exp:=0.0;
a2exp:=0.0;
OPRlin:=n*SumX2-SumX*SumX;
a1lin:=(SumX2*SumY-SumX*SumXY)/OPRlin;
a2lin:=(n*SumXY-SumX*SumY)/OPRlin;
OPRkvadr:=n*SumX2*SumX4+SumX*SumX3*SumX2+SumX2*SumX*SumX3- SumX2*SumX2*SumX2-n*SumX3*SumX3-SumX*SumX*SumX4;
a1kvadr:=(SumY*SumX2*SumX4+SumX*SumX2Y*SumX3+SumX2*SumXY*SumX3- SumX2*SumX2*SumX2Y-SumY*SumX3*SumX3-SumX*SumXY*SumX4)/OPRkvadr;
a2kvadr:=(n*SumXY*SumX4+SumY*SumX3*SumX2+SumX2*SumX*SumX2Y-SumX2*SumX2*SumXY-n*SumX3*SumX2Y-SumY*SumX*SumX4)/OPRkvadr;
a3kvadr:=(n*SumX2*SumX2Y+SumX*SumXY*SumX2+SumY*SumX*SumX3-SumY*SumX2*SumX2-n*SumXY*SumX3-SumX*SumX*SumX2Y)/OPrkvadr;
a2exp:=(n*SumXLnY-SumX*SumLnY)/OPRlin;
cexp:=(SumX2*SumLnY-SumX*SumXLnY)/OPRlin;
a1exp:=exp(cexp);
{ Вычисление средних арифметических x и y }
Xsr:=SumX/n;
Ysr:=SumY/n;
S1:=0.0;
S2:=0.0;
S3:=0.0;
Slin:=0.0;
Skvadr:=0.0;
Sexp:=0.0;
Kkor:=0.0;