Курсовая работа по прикладной математике (стр. 2 из 2)
Пусть Т=(t1, 0, t3) – вектор дополнительных объемов ресурсов.
Так как мы предполагаем использовать найденные двойственные оценки ресурсов, то должно выполняться условие
Н+ Q-1Т≥0
Необходимо найти вектор
Т=(t1, 0, t3)
максимизирующий суммарный прирост прибыли
w=4t1+3t328 10/56 0 -1/7 t1 0
7 + -4/7 1 -1/7 · 0 ≥ 0
23 -6/56 0 2/7 t3 0
Предполагаем, что дополнительно можно получить не более 1/3 первоначального объема ресурса каждого видаt1 316
0 ≤ 1/3 216
t3 199
где t1≥0, t3≥010/56t1-1/7t3≥-28
-4/7t1-1/7t3≥-7
-6/56t1+2/7t3≥-23
 |
-10/56t1+1/7t3≤28
4/7t1+1/7t3≤7
6/56t1-2/7t3≤23
t1≤316/3, t3≤199/3
t1≥0, t3≥0
| t1 | t3 | |
| I | -156,8 | 0 |
| I | 0 | 196 |
| II | 12,25 | 0 |
| II | 0 | 49 |
| III | 214,66 | 0 |
| III | 0 | -80,5 |
| IV | 105,33 | 0 |
| V | 0 | 66,33 |
Программа расшивки имеет вид
t1=0, t2=0, t3=49
и прирост прибыли составляет
w=4t1+3t3=3∙49=147
Сводка результатов приведена в таблице:
| Сj | 31 | 10 | 41 | 29 | b | x4+i | yi | ti |
| aij | 4 | 0 | 8 | 7 | 316 | 0 | 4 | 0 |
| 3 | 2 | 5 | 1 | 216 | 7 | 0 | 0 | |
| 5 | 6 | 3 | 2 | 199 | 0 | 3 | 49 | |
| xj | 23 | 0 | 28 | 0 | 1861 | 147 | ||
| ∆j | 0 | 8 | 0 | 5 |
Задача №3. Транспортная задача линейного программирования.
Исходные данные:
31 40 41 49
45 4 5 8 6
60 3 2 5 1
65 5 6 3 2
Общий объем производства ∑аi=45+60+65=170 единиц продукции.
Потребителям требуется ∑bi=31+40+41+49=161 единиц продукции.
Так как продукции производится больше на 9 единиц, чем требуется потребителям, то мы имеем открытую модель транспортной задачи. Для превращения ее в закрытую вводим фиктивный пункт потребления с объемом 9 единиц. Для нахождения первого базисного допустимого решения используем правило «северо-западного угла».
| b1=31 | b2=40 | b3=41 | b4=49 | b5=9 |
| a1=45 | 31 | 14 | * | p1=0 |
| a2=60 | 26 | 34 | p2=-3 | |
| a3=65 | 7 | 49 | 9 | p3=-5 |
| q1=4 | q2=5 | q3=8 | q4=7 | q5=5 |
Θ=9 z(x1)=31·4+14·5+26·2+34·5+7·3+49·2+9·0=535
| b1=31 | b2=40 | b3=41 | b4=49 | b5=9 |
| a1=45 | 31 | 5 | 9 | p1=0 |
| a2=60 | 35 | 25 | * | p2=-3 |
| a3=65 | 16 | 49 | 9 | p3=-5 |
| q1=4 | q2=5 | q3=8 | q4=7 | q5=5 |
Θ=25 z(x2)=31·4+5·5+35·2+25·5+16·3+49·2+9·0=490
| b1=31 | b2=40 | b3=41 | b4=49 | b5=9 |
| a1=45 | 31 | 5 | 9 | p1=0 |
| a2=60 | 35 | 25 | p2=-3 | |
| a3=65 | 41 | 24 | p3=-2 | |
| q1=4 | q2=5 | q3=5 | q4=4 | q5= |
z(x3)=31·4+5·5+35·2+25·1+41·3+24·2+9·0=415
Задача №4. Динамическое программирование. Распределение капитальных вложений.
Исходные данные:
| xj | 0 | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 |
| f1(xj) | 0 | 10 | 23 | 30 | 38 | 43 | 49 | 52 |
| f2(xj) | 0 | 13 | 25 | 37 | 48 | 55 | 61 | 66 |
| f3(xj) | 0 | 16 | 30 | 37 | 44 | 48 | 50 | 49 |
| f4(xj) | 0 | 10 | 17 | 23 | 29 | 34 | 38 | 41 |
Для решения используем метод «северо-восточной диагонали».
| -x2 | 0 | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 | |
| x2 | 0 | 10 | 23 | 30 | 38 | 43 | 49 | 52 | |
| 0 | 0 | 0 | 10 | 23 | 30 | 38 | 43 | 49 | 52 |
| 100 | 13 | 13 | 23 | 36 | 43 | 51 | 56 | 62 | |
| 200 | 25 | 25 | 35 | 48 | 55 | 63 | 68 | ||
| 300 | 37 | 37 | 47 | 60 | 67 | 75 | |||
| 400 | 48 | 48 | 58 | 71 | 78 | ||||
| 500 | 55 | 55 | 65 | 78 | |||||
| 600 | 61 | 61 | 71 | ||||||
| 700 | 66 | 66 |
| 0 | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 | |
| F2( ) | 0 | 13 | 25 | 37 | 48 | 60 | 71 | 78 |
| x2( ) | 0 | 100 | 200 | 300 | 200 | 300 | 400 | 500 |
| -x3 | 0 | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 | |
| x3 | 0 | 13 | 25 | 37 | 48 | 60 | 71 | 78 | |
| 0 | 0 | 0 | 13 | 25 | 37 | 48 | 60 | 71 | 78 |
| 100 | 16 | 16 | 29 | 41 | 53 | 64 | 76 | 87 | |
| 200 | 30 | 30 | 43 | 55 | 67 | 78 | 90 | ||
| 300 | 37 | 37 | 50 | 62 | 74 | 85 | |||
| 400 | 44 | 44 | 57 | 69 | 81 | ||||
| 500 | 48 | 48 | 61 | 73 | |||||
| 600 | 50 | 50 | 63 | ||||||
| 700 | 49 | 49 |
| 0 | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 | |
| F3( ) | 0 | 16 | 30 | 43 | 55 | 67 | 78 | 90 |
| x3( ) | 0 | 100 | 200 | 200 | 200 | 200 | 200 | 200 |
| -x4 | 0 | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 |
| x4 | 0 | 16 | 30 | 43 | 55 | 67 | 78 | 90 |
| 0 | 0 | 0 | 90 | |||||
| 100 | 10 | 88 | ||||||
| 200 | 17 | 84 | ||||||
| 300 | 23 | 78 | ||||||
| 400 | 29 | 72 | ||||||
| 500 | 34 | 64 | ||||||
| 600 | 38 | 54 | ||||||
| 700 | 41 | 41 |
x4*=x4(700)=0
x3*=x3(700-x4*)=x3(700)=200
x2*=x2(700-x4*-x3*)=x2(700-200)=x2(500)=300
x1*=700-x4*-x3*-x2*=700-0-200-300=200
x1=200
x2=300
x3=200
x4=0
Задача №5. Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг.
Исходные данные:
| m0 | m1 | m2 | s1 | s2 |
| 2 | 4 | 6 | 7 | 8 |
Требуется сформировать оптимальный портфель заданной эффективности из 3-х видов ценных бумаг: безрисковых эффективности 2 и некоррелированных рисковых ожидаемой эффективности 4 и 6 и рисками 7 и 8. Необходимо узнать, как устроена рисковая часть оптимального портфеля и при какой ожидаемой эффективности портфеля возникает необходимость в операции short sale и с какими ценными бумагами?
4 49 0m0=2, М= , V=
6 0 64
Зададимся эффективностью портфеля mp
Найдем обратную матрицу к V1/49 0
V-1=
0 1/64
далее4 1
M = I =
6 1
 | |||
 |  |  |  |
1/49 0 4 2 1/49 0 2 2/49
V-1(M-m0I)= · - = · =
0 1/64 6 2 0 1/64 4 1/16
2/49(M-m0I)T V-1(M-m0I)=(2 4) · = 65/196
1/16
Рисковые доли:
x1*=(mp-2) 8/65=(mp-2) 0,12
x2*=(mp-2) 49/260=(mp-2) 0,19
Безрисковая доля:
x0*=1-(mp-2) 0,31
Найдем значение mp, при котором возникает необходимость в проведении операции short sale:
(mp-2) 0,31=1
mp-2=1/0,31
mp=3,21+2
mp=5,21
Следовательно, если mp>5,21 то x0*<0 и необходимо провести операцию short sale.
Задача №6. Провести анализ доходности и риска финансовых операций.
Даны четыре операции Q1, Q2, Q3, Q4. Найти средние ожидаемые доходы Qi и риски ri операций. Нанести точки (Qi, ri) на плоскость, найти операции, оптимальные по Парето. С помощью взвешивающей формулы найти лучшую и худшую операции.
(0, 1/5), (2, 2/5), (10, 1/5), (28, 1/5)
(-6, 1/5), (-5, 2/5), (-1, 1/5), (8, 1/5)
(0, 1/2), (16, 1/8), (32, 1/8), (40, 1/4)
(-6, 1/2), (2, 1/8), (10, 1/8), (14, 1/4)
| Q1 | 0 | 2 | 10 | 28 |
| 1/5 | 2/5 | 1/5 | 1/5 | |
| Q2 | -6 | -5 | -1 | 8 |
| 1/5 | 2/5 | 1/5 | 1/5 | |
| Q3 | 0 | 16 | 32 | 40 |
| 1/2 | 1/8 | 1/8 | 1/4 | |
| Q4 | -6 | 2 | 10 | 14 |
| 1/2 | 1/8 | 1/8 | ¼ |
Q1=8,4 r1=10,4
Q2=-1,8 r2=4,7
Q3=16 r3=17,4
Q4=2 r4=8,7
j(Q1)=2 Q1-r1=6,4
j(Q2)=2 Q2-r2=-8,3
j(Q3)=2 Q3-r3=14,6
j(Q4)=2 Q4-r4=-4,7
Лучшей операцией является операция №3, худшей операцией является операция №2.
Оптимальной точки нет, так как нет ни одной точки, не доминируемой никакой другой.