Смекни!
smekni.com

Курсовая работа по прикладной математике (стр. 2 из 2)

Пусть Т=(t1, 0, t3) – вектор дополнительных объемов ресурсов.

Так как мы предполагаем использовать найденные двойственные оценки ресурсов, то должно выполняться условие

Н+ Q-1Т≥0

Необходимо найти вектор

Т=(t1, 0, t3)

максимизирующий суммарный прирост прибыли

w=4t1+3t3

28 10/56 0 -1/7 t1 0

7 + -4/7 1 -1/7 · 0 ≥ 0

23 -6/56 0 2/7 t3 0

Предполагаем, что дополнительно можно получить не более 1/3 первоначального объема ресурса каждого вида

t1 316

0 ≤ 1/3 216

t3 199

где t1≥0, t3≥0

10/56t1-1/7t3≥-28

-4/7t1-1/7t3≥-7

-6/56t1+2/7t3≥-23


-10/56t1+1/7t3≤28

4/7t1+1/7t3≤7

6/56t1-2/7t3≤23

t1≤316/3, t3≤199/3

t1≥0, t3≥0

t1 t3
I -156,8 0
I 0 196
II 12,25 0
II 0 49
III 214,66 0
III 0 -80,5
IV 105,33 0
V 0 66,33

Программа расшивки имеет вид

t1=0, t2=0, t3=49

и прирост прибыли составляет

w=4t1+3t3=3∙49=147

Сводка результатов приведена в таблице:

Сj 31 10 41 29 b x4+i yi ti
aij 4 0 8 7 316 0 4 0
3 2 5 1 216 7 0 0
5 6 3 2 199 0 3 49
xj 23 0 28 0 1861 147
j 0 8 0 5

Задача №3. Транспортная задача линейного программирования.

Исходные данные:

31 40 41 49

45 4 5 8 6

60 3 2 5 1

65 5 6 3 2

Общий объем производства ∑аi=45+60+65=170 единиц продукции.

Потребителям требуется ∑bi=31+40+41+49=161 единиц продукции.

Так как продукции производится больше на 9 единиц, чем требуется потребителям, то мы имеем открытую модель транспортной задачи. Для превращения ее в закрытую вводим фиктивный пункт потребления с объемом 9 единиц. Для нахождения первого базисного допустимого решения используем правило «северо-западного угла».

b1=31 b2=40 b3=41 b4=49 b5=9
a1=45 31 14 * p1=0
a2=60 26 34 p2=-3
a3=65 7 49 9 p3=-5
q1=4 q2=5 q3=8 q4=7 q5=5

Θ=9 z(x1)=31·4+14·5+26·2+34·5+7·3+49·2+9·0=535

b1=31 b2=40 b3=41 b4=49 b5=9
a1=45 31 5 9 p1=0
a2=60 35 25 * p2=-3
a3=65 16 49 9 p3=-5
q1=4 q2=5 q3=8 q4=7 q5=5

Θ=25 z(x2)=31·4+5·5+35·2+25·5+16·3+49·2+9·0=490

b1=31 b2=40 b3=41 b4=49 b5=9
a1=45 31 5 9 p1=0
a2=60 35 25 p2=-3
a3=65 41 24 p3=-2
q1=4 q2=5 q3=5 q4=4 q5=

z(x3)=31·4+5·5+35·2+25·1+41·3+24·2+9·0=415

Задача №4. Динамическое программирование. Распределение капитальных вложений.

Исходные данные:

xj 0 100 200 300 400 500 600 700
f1(xj) 0 10 23 30 38 43 49 52
f2(xj) 0 13 25 37 48 55 61 66
f3(xj) 0 16 30 37 44 48 50 49
f4(xj) 0 10 17 23 29 34 38 41

Для решения используем метод «северо-восточной диагонали».

-x2 0 100 200 300 400 500 600 700
x2 0 10 23 30 38 43 49 52
0 0 0 10 23 30 38 43 49 52
100 13 13 23 36 43 51 56 62
200 25 25 35 48 55 63 68
300 37 37 47 60 67 75
400 48 48 58 71 78
500 55 55 65 78
600 61 61 71
700 66 66
0 100 200 300 400 500 600 700
F2( ) 0 13 25 37 48 60 71 78
x2( ) 0 100 200 300 200 300 400 500
-x3 0 100 200 300 400 500 600 700
x3 0 13 25 37 48 60 71 78
0 0 0 13 25 37 48 60 71 78
100 16 16 29 41 53 64 76 87
200 30 30 43 55 67 78 90
300 37 37 50 62 74 85
400 44 44 57 69 81
500 48 48 61 73
600 50 50 63
700 49 49
0 100 200 300 400 500 600 700
F3( ) 0 16 30 43 55 67 78 90
x3( ) 0 100 200 200 200 200 200 200
-x4 0 100 200 300 400 500 600 700
x4 0 16 30 43 55 67 78 90
0 0 0 90
100 10 88
200 17 84
300 23 78
400 29 72
500 34 64
600 38 54
700 41 41

x4*=x4(700)=0

x3*=x3(700-x4*)=x3(700)=200

x2*=x2(700-x4*-x3*)=x2(700-200)=x2(500)=300

x1*=700-x4*-x3*-x2*=700-0-200-300=200

x1=200

x2=300

x3=200

x4=0


Задача №5. Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг.

Исходные данные:

m0 m1 m2 s1 s2
2 4 6 7 8

Требуется сформировать оптимальный портфель заданной эффективности из 3-х видов ценных бумаг: безрисковых эффективности 2 и некоррелированных рисковых ожидаемой эффективности 4 и 6 и рисками 7 и 8. Необходимо узнать, как устроена рисковая часть оптимального портфеля и при какой ожидаемой эффективности портфеля возникает необходимость в операции short sale и с какими ценными бумагами?

4 49 0

m0=2, М= , V=

6 0 64

Зададимся эффективностью портфеля mp

Найдем обратную матрицу к V

1/49 0

V-1=

0 1/64

далее

4 1

M = I =

6 1


1/49 0 4 2 1/49 0 2 2/49

V-1(M-m0I)= · - = · =

0 1/64 6 2 0 1/64 4 1/16

2/49

(M-m0I)T V-1(M-m0I)=(2 4) · = 65/196

1/16

Рисковые доли:

x1*=(mp-2) 8/65=(mp-2) 0,12

x2*=(mp-2) 49/260=(mp-2) 0,19

Безрисковая доля:

x0*=1-(mp-2) 0,31

Найдем значение mp, при котором возникает необходимость в проведении операции short sale:

(mp-2) 0,31=1

mp-2=1/0,31

mp=3,21+2

mp=5,21

Следовательно, если mp>5,21 то x0*<0 и необходимо провести операцию short sale.


Задача №6. Провести анализ доходности и риска финансовых операций.

Даны четыре операции Q1, Q2, Q3, Q4. Найти средние ожидаемые доходы Qi и риски ri операций. Нанести точки (Qi, ri) на плоскость, найти операции, оптимальные по Парето. С помощью взвешивающей формулы найти лучшую и худшую операции.

(0, 1/5), (2, 2/5), (10, 1/5), (28, 1/5)

(-6, 1/5), (-5, 2/5), (-1, 1/5), (8, 1/5)

(0, 1/2), (16, 1/8), (32, 1/8), (40, 1/4)

(-6, 1/2), (2, 1/8), (10, 1/8), (14, 1/4)

Q1 0 2 10 28
1/5 2/5 1/5 1/5
Q2 -6 -5 -1 8
1/5 2/5 1/5 1/5
Q3 0 16 32 40
1/2 1/8 1/8 1/4
Q4 -6 2 10 14
1/2 1/8 1/8 ¼

Q1=8,4 r1=10,4

Q2=-1,8 r2=4,7

Q3=16 r3=17,4

Q4=2 r4=8,7

j(Q1)=2 Q1-r1=6,4

j(Q2)=2 Q2-r2=-8,3

j(Q3)=2 Q3-r3=14,6

j(Q4)=2 Q4-r4=-4,7

Лучшей операцией является операция №3, худшей операцией является операция №2.

Оптимальной точки нет, так как нет ни одной точки, не доминируемой никакой другой.