Лекции переходящие в шпоры Алгебра и геометрия (стр. 2 из 4)
Обоз свободные в-ры малыми латинскими буквами и стрелкой сверху. Нуль-вектор обоз 0 со стрелкой.
Если задан в-р а и т. А, сущ ровно 1 т. В, для которых АВ=а. Операция построения связанного в-ра АВ, для которой выполнено это равенство называется откладывание свободного в-ра а от т. А. Связанные в-ры, полученные в результате операции откладывания равны между собой. И имеют одинаковую длину. Длина свободного в-ра а обоз |f|, длина нуль-в-ра=0, Если а=в, то и длины их равны., обратное неверно!!!.
16. Линейные операции над в-рами
1 сложение в-ров
Пусть даны в-ры: а и в
от т. О отложим в-р ОА=а, от полученной т. А отложим в-р АВ=в. Полученный в результате в-р ОВ называется суммой векторов а и в и обозн: а+в. Сложение в-ров коммутативно: а+в=в+а. Существует два правила построения суммы: правило треугольник и правило параллелограмма.
Сложение в-ров ассоциативно, т. е. для любых в-ров а, в, с вып рав-во:
(а+в)+с=а+(в+с),
2 Умножение в-ра на число
Свободные в-ра а и в наз коллинеарными, если определяющие их связанные в-ры лежат на параллельных или совпадающих прямых. Если отложить коллинеарные в-ры а и в от общей т. О: ОА=а, ОВ=в, то т. О, А, В будут лежать на одной прямой. Возможны 2 случая: т. А и В располагаются по одну сторону от т. О или по разные стороны. В первом случае в-ры а и в наз одинаково направленными, во втором – противоположно направленными. если в-ры имеют равные длины и одинаково направлены, то они равны.
Произведением в-ра а на число С наз в-р в, такой, что
1 длина его |b|=|C|×|a|
2в-ры а и в одинаково (противоположно) направлены, если С>0 (C<0). – М.: Обозн в=С×а. При С=0 положим, что Са=0.
Св-ва умножения
1 (С+Д)×а=С×а+Д×а
2 С×(Д×а)=(С×Д)×а
3 С×(а+в)=С×а+С×в (Си Д любые дейст. числа, а и в – в-ры)
В-р, длина которого = 1 называется единичным в-ром или ортом и обоз а0, его длина |a0|=1
Если а ¹ 0, то а0 = 1/|a|, есть единичный в-р (орт) направления в-ра а.
Противоположный в-р (-а) –а || а, противоположно направлен в-ру а
а+(-а)=0; -а= (-1)×а
3 вычитание в-ров
разностью в-ров а и в наз в-р с, такой, что в+с =а
а- уменьшаемый, в- вычитаемый, с- разность.
1 разность в-ров а и в явл диагональю параллелограмма, построенного на в-рах а и в, направленная в сторону уменьшаемого в-ра.
Пусть а и в ненулевые в-ры. отложим их от т. О, а=ОА, в=ОВ. Углом между в-рами а и в наз. наименьший угол между в-рами ОА и ОВ
Если угол между а и в = П/2 эти в-ры наз ортогональными.
17. Координаты и компоненты в-ра
Обозначаем в прямоугольной декартовой системе координат положительные направления осей OX,OY,OZ единичными в-рами : i, j, k, попарно ортогональными и равными единице.
Найдутся числа x,y,z, для которых:
а = xi+yj+zk (2) Эта ф-ла наз. разложением в-ра по орто-базису
Эти в-ры называются ортонормированным базисом. Для каждого в-ра а разложение по орто-базису единственно, т. е. коэффициенты x,y,z в разложении в-ра а по векторам i,j,k определены однозначно. Эти коэффициенты наз координатами в-ра а, они совпадают с координатами z,y,x т. А
a={x,y,z} это означает, что в-р однозначно задается упорядоченной тройкой своих коэффициентов
В-ры xi, yj, zk, сумма которых = а, называются компонентами в-ры а. Два в-ра а и в равны тогда и только тогда, когда равны все их компоненты.
Радиус-вектором в т. М(x,y,z) называется вектор r=xi+yj+zk, идущий из начала коорд т. О в т. М
Линейные операции над в-рами в координатах.
Имеем 2 в-ра а={x1,y1,z1} b={x2,y2,z2}, таких, что а=x1i+y1j+z1k, b=x2i+y2j+xz2k
сумма будет:
a+b=(x1+x2)I+(y1+y2)j+(z1+z2)k
a+b={x1+x2, y1+y2, z1+z2}
при сложении в-ров их координаты попарно складываются. Для вычитания так же.
С×а={Cx1,Cy1,Cz1}
при умножении на число, все его координаты умножаются на это число.
В-ры а и в коллинеарны тогла и только тогда, когда их координаты пропорциональны.
18. Проекция в-ра на ось
Прямая l, с заданным на ней направлением называется осью.
Величиной направленного отрезка Ав на оси l наз. число, обозначаемое: (АВ) и равное длине отрезка АВ, взятом со знаком +, если напр АВ совп с напр. прямой и со знаком – если не совп.
Проекцией в-ра АВ на ось l наз величина, направленного отрезка СД, построенного опусканием перпендикуляров из в-ра АВ на ось l, обозн: PrlAB=(СД)
Свойства проекции:
1 Проекция в-ра АВ на какую-либо ось l = произведению длины в-ра на косинус угла между осью и этим в-ром.
PrlAB=|AB|×cosa
2 Проекция на ось l в-ра С×а =С×Prlа, С- произв. число.
3 Проекция суммы в-ров на какую либо ось = сумме проекции в-ров на эту же ось
19. Скалярное пр-е в-ра
20. Векторное пр-е в-ра
21. Смешанное пр-е в-ров
22. Деление отрезка в данном отношении
т М ¹ В делит отрезок [АВ] в отношении l, если АМ = l×АВ. Т. М расположена на Ав при этом, если
1 М внутренняя точка АВ, то l >0 (случайц внутреннего деления)
2 М=А, l = 0
3 М лежит вне Ав, l <0 (случай внешнего деления)
Других вариантов расположения т. М быть не может, и ни водном из вариантов l¹ -1
Если А(r1), B(r2), M(r) – точки пространства и М – делит АВ в отн l, тогда:
это соотношение в координатной форме имеет вид: для А(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2) и M(x,y,z) 
Если М – середина АВ, то l =1Коорд x,y,z середины отрезка АВ выглядят так: 
Если т А В принадлежат плоскости ОХУ, то аппликата т А и В и М = 0 и задачу решают первые 2 ф-лы ,а если А и В М лежат на плоскости ОХ, тор первой ф-лой.
23. Нормальное уравнение прямой. Общее уравнение прямой
Если взять на плоскости фиксированную точку О и какую-либо прямую L, то положение этой прямой относительно плоскости будет определено если задать расстояние от нее до т. О, т. е. длину р отрезка ОТ, перпендикуляра из т. О на эту прямую; и единичный вектор n0=1 – перпендикулярный прямой L и направленный из начальной т. О к этой прямой.
Когда текущая т. М движется по прямой L, радиус вектор-r меняется так, что проекция на направление n0 будет постоянной и равной р:
это соотношение выполняется для каждой точки прямой L и нарушается когда т. М лежит вне ее.Заметив, что:
это можно записать так: 
(2) полученное ур-е наз. нормальным (нормированным) уравнением прямой в векторной форме. Радиус в-р r – произвольной точки прямой наз. текущим радиус в-ром прямой.Выбрав на плоскости Декартову систему координат и поместив ее начало в т. О, в-ры r, n0 можно записать так:
n0={cosj, sinj}; r={x,y}
уравнение (2) примет вид:
(3) это нормальное уравнение прямой в координатной форме, относительно прямых х и у; оно явл ур-ем 1 степени, тем самым в Декартовой прямоугольной системе всякое положение прямой определяется ур-ем 1 степени относительно переменных х и у верно и обратное.Уравнение Ax+By+C=0 (4) называется общим уравнением прямой А2+В2¹ 0
если домножить его на постоянный множитель m, положа:
m×А= cosj, m×В= sinj, m×С = -р, где:
называется нормирующим множителем.
И уравнение получается нормальным .Общее уравнение (4) определяет прямую как множество точек М плоскости декартовы координаты которых удовлетворяют этому уравнению.
Нормальный в-р прямой - всякий ненулевой (не обязательно- единичный) в-р перпендикулярный этой прямой. Вектор n = {A,B} будет нормальным вектором прямой, заданной ур-ем (4), таким оборазом коэффициенты А и В при текущих координатах х и у являются координатами нормального в-ра этой прямой. Все отсальный нормальные в-ры прямой можно получить умножая в-р n на произвольное ¹ 0 число.24. Уравнение прямой на плоскости , проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному направлению.
Для того, чтобы найти ур-е прЯмой L, проходящей через т. М0, заданную радиус-вектором r0={x0,y0}, перпендикулярную вектору n={A,B}, проведем радиус-вектор r={x,y} в произвольной т. М этой прямой
в-р М0М = r-r0 лежит на прямой L, а значит перпендикулярен в-ру n, поэтому их скалярное пр-е = 0
(r-r0)×n = 0 (8) равенство справедливо для всех т. М принадлежащих прямой и нарушается, если точка на прямой не лежит. Ур-е (8) явл в-рным уравнением исходной прямой выражая это произв, через коорд в-ров получим ур-е прямой в коорд форме:
A(x-x0)+B(y-y0)=0 (9)
25. Исследование уравнения прямой неполные ур-я прямой..
Если хотя бы один из коэффициентов А, В, С ур-я Ах+Ву+С=0 равен 0, ур-е наз. неполным. По виду уравнения прямой можно судить о ее положении на плоксоти ОХУ. Возможны случаи:
1 С=0 L: Ax+By=0 т. О(0,0) удовлетворяет этому уравнению значит прямая проходит через начало координат
2 А=0 L: Ву+С=0 - нормальный в-р n={0,B} перпендикулярен оси ОХ отсюда следует, что прямая параллельна ось ОХ 
3 В = 0 L: Ay+C=0 0 - номральный в-р n={А,0} перпендикулярен оси ОY отсюда следует, что прямая параллельна ось ОУ