Лекции по Линейной алгебре

Абстрактнаятеория групп

Понятие абстрактнойгруппы.

1.Понятиеалгебраическойоперации.

Говорят, чтона множествеX определенаалгебраическаяоперация(*), есликаждой упорядоченнойпаре элементов

поставлен всоответствиенекоторыйэлемент

называемыйих произведением.

Примеры.

Композицияперемещенийна множествах

являетсяалгебраическойоперацией.
Композицияподстановокявляетсяалгебраическойоперацией намножестве

всех подстановокстепени n.
Алгебраическимиоперациямибудут и обычныеоперации сложения,вычитания иумножения намножествах

соответственноцелых, вещественныхи комплексныхчисел. Операцияделения небудет алгебраическойоперацией наэтих множествах,посколькучастное
не определенопри
.Однако на множествах
,
это будеталгебраическаяоперация.
Сложениевекторов являетсяалгебраическойоперацией намножестве

.
Векторноепроизведениебудет алгебраическойоперацией намножестве

.
Умножениематриц будеталгебраическойоперацией намножестве всехквадратныхматриц данногопорядка.

2.Свойстваалгебраическихопераций.

Операция(*) называетсяассоциативной,если

.

Этосвойство выполняетсяво всех приведенныхвыше примерах,за исключениемопераций вычитания( и деления) иоперации векторногоумножениявекторов. Наличиесвойстваассоциативностипозволяетопределитьпроизведениелюбого конечногомножестваэлементов.Например, если

.В частностиможно определитьстепени с натуральнымпоказателем:

.При этом имеютместо обычныезаконы:

2.Операция (*)называетсякоммутативной,если

Вприведенныхвыше примерахоперация коммутативнав примерах 3 и4 и не коммутативнав остальныхслучаях. Отметим,что для коммутативнойоперации

Элемент

называетсянейтральнымдля алгебраическойоперации (*)на множествеX,если
.В примерах 1-6нейтральнымиэлементамибудут соответственнотождественноеперемещение,тождественнаяперестановка,числа 0 и 1 длясложения иумножениясоответственно(для вычитаниянейтральныйэлемент отсутствует!),нулевой вектор,единичнаяматрица. Длявекторногопроизведениянейтральныйэлемент отсутствует. Отметим,что нейтральныйэлемент (еслион существует)определеноднозначно.В самом деле,если
- нейтральныеэлементы, то
.Наличие нейтральногоэлемента позволяетопределитьстепень с нулевымпоказателем:
.
Допустим,что для операции(*) наX существуетнейтральныйэлемент. Элемент

называетсяобратным дляэлемента
,если
.Отметим, чтопо определению
.Все перемещенияобратимы такжекак и все подстановки.Относительнооперации сложениявсе числа обратимы,а относительноумноженияобратимы всечисла, кроменуля. Обратимыематрицы - этов точности всематрицы с ненулевымопределителем.Если элементx обратим,то определеныстепени сотрицательнымпоказателем:
.Наконец, отметим,что если xиy обратимы,то элемент
также обратими
.(Сначала мыодеваем рубашку,а потом куртку;раздеваемсяже в обратномпорядке!).

Определение(абстрактной)группы.

Пусть на множествеG определенаалгебраическаяоперация (*).(G ,*)называетсягруппой, если

Операция(*)ассоциативнана G.
Дляэтой операциисуществуетнейтральныйэлемент e(единицагруппы).
Каждыйэлемент из Gобратим.

Примерыгрупп.

Любаягруппа преобразований.
(Z,+), (R,+), (C, +).
Матричныегруппы:

-невырожденныеквадратныематрицы порядкаn,ортогональныематрицы тогоже порядка,ортогональныематрицы сопределителем1.
Простейшиесвойства групп.
Влюбой группевыполняетсязакон сокращения:

(левыйзакон сокращения;аналогично,имеет местои правый закон). Доказательство. Домножимравенствослева на
и воспользуемсясвойствомассоциативности:

.
Признакнейтральногоэлемента:

Доказательство Применимк равенству

закон сокращения.
Признакобратногоэлемента:

Доказательство Применимзакон сокращенияк равенству
.
Единственностьобратногоэлемента. Обратныйэлемент определеноднозначно. Следуетиз п.3.
Существованиеобратной операции.Для любых двухэлементов

произвольнойгруппы Gуравнение
имеет и притомединственноерешение. Доказательство Непосредственнопроверяется,что
(левоечастное элементов
)является решениемуказанногоуравнения.Единственностьвытекает иззакона сокращения,примененногок равенству
. Аналогичноустанавливаетсясуществованиеи единственностьправого частного.
Изоморфизмгрупп.

Определение.

Отображение

двух групп Gи Kназываетсяизоморфизмом, если
1.Отображениеj взаимнооднозначно. 2.Отображениеj сохраняетоперацию:

.
Посколькуотображениеобратное к jтакже являетсяизоморфизмом,введенноепонятие симметричноотносительногрупп GиK , которыеназываютсяизоморфными.

Примеры.

1.Группыповоротовплоскости

и
вокругточек
и
изоморфнымежду собой.Аналогично,изоморфнымибудут и группы,состоящие изповоротовпространстваотносительнолюбых двухосей.

2.Группа диэдра

и соответствующаяпространственнаягруппа

изоморфны.

Группатетраэдра Tизоморфнагруппе

состоящей изчетных подстановокчетвертойстепени. Дляпостроенияизоморфизмадостаточнозанумероватьвершины тетраэдрацифрами 1,2,3,4 изаметить, чтокаждый поворот,совмещающийтетраэдр ссобой некоторымобразом переставляетего вершиныи, следовательно,задает некоторуюподстановкумножества{1,2,3, 4} Поворотывокруг оси,проходящейчерез некоторуювершину (например1), оставляетсимвол 1 на местеи циклическипереставляетсимволы 1, 2, 3. Всетакие перестановки- четные. Поворотвокруг оси,соединяющейсередины ребер(например, 12 и34 ) переставляетсимволы 1 и 2 , атакже 3 и 4. Такиеперестановкитакже являютсячетными.
Формула

определяетвзаимно однозначноесоответствиемежду множествомRвещественныхчисел и множеством
положительных чисел. При этом
.Это означает,что
являетсяизоморфизмом.

Замечание.В абстрактнойалгебре изоморфныегруппы принятосчитать одинаковыми.По существуэто означает,что игнорируютсяиндивидуальныесвойства элементовгруппы и происхождениеалгебраическойоперации.

Понятиеподгруппы.

Непустое подмножество

называетсяподгруппой,если

самоявляется группой.Более подробноэто означает,что

Признакподгруппы.

Непустоеподмножество

будет подгруппойтогда и толькотогда, когда

Доказательство.

Водну сторонуэто утверждениеочевидно. Пустьтеперь

-любой элемент.Возьмем

в признакеподгруппы.Тогда получим

.Теперь возьмем

.Тогда получим

Примерыподгрупп.

Длягрупп преобразованийновое и староепонятие подгруппыравносильнымежду собой.
-подгруппачетных подстановок.
и т.д.
ПустьG -любая группаи

- любой фиксированныйэлемент. Рассмотриммножество
всевозможныхстепеней этогоэлемента. Поскольку
,рассматриваемоемножествоявляется подгруппой.Она называетсяциклическойподгруппойс образующимэлементом g.
Пусть

любая подгруппаРассмотриммножество
-централизаторподгруппы Hв группе G.Из определениявытекает, чтоесли
,то
,то есть
.Теперь ясно,что если
,то и
и значит централизаторявляется подгруппой.Если группаGкоммутативна,то
.Если G=H,то централизаторсостоит из техэлементов,которые перестановочнысо всеми элементамигруппы;в этом случаеон называетсяцентром группыG и обозначаетсяZ(G).

Замечаниеоб аддитивнойформе записигруппы.

Иногда,особенно когдаоперация вгруппе коммутативна,она обозначается(+) и называетсясложением. Вэтом случаенейтральныйэлемент называетсянулем и удовлетворяетусловию:g+0=g. Обратныйэлемент в этомслучае называетсяпротивоположными обозначается(-g).Степениэлемента gимеют видg+g+...+g ,называютсякратными элементаg иобозначаютсяng.

Абстрактнаятеория групп

(продолжение)

Реализацияабстрактнойгруппы какгруппы преобразований.

Существуетнесколькоспособов связатьс данной абстрактнойгруппой некоторуюгруппу преобразований.В дальнейшем,если не оговоренопротивное, знакалгебраическойоперации вабстрактнойгруппе будетопускаться.

Пусть

некотораяподгруппа.

А)Для каждого

определимотображение

(левыйсдвиг на элементh)формулой

Теорема1

МножествоL(H,G)=

являетсягруппой преобразованиймножества G.
Соответствие:

являетсяизоморфизмомгрупп Hи L(H,G).

Доказательство.

Надопроверить, чтоотображение

взаимно однозначнодля всякого
.Если
,то
по законусокращения.Значит
инъективно.Если
любойэлемент, то
и
так что
к тому же исюръективно.
Обозначимчерез ·операцию композициив группе Sym(G)взаимнооднозначныхотображений

.Надо проверить,что
и
.Пусть
любой элемент.Имеем:

;
и значит,
.
Пусть

.Надо проверить,что lвзаимнооднозначнои сохраняетоперацию. Попостроениюlсюръективно.Инъективностьвытекает иззакона правогосокращения:
.Сохранениеоперации фактическиуже было установленовыше:

.

Следствие.

Любаяабстрактнаягруппа изоморфнагруппе преобразованийнекоторогомножества(Достаточновзять G=Hи рассмотретьлевые сдвиги).

Дляслучая конечныхгрупп получаетсятеорема Кэли:

Любаягруппа из nэлементовизоморфнаподгруппегруппы

подстановокстепени n.

Длякаждого

определимотображение
(правыйсдвиг на элементh)формулой
.

ТеоремаB.

.
Множество

является группойпреобразованиймножества G.
Соответствие

являетсяизоморфизмомгрупп Hи R(H,G).

Доказательствотеоремы Bвполне аналогичнодоказательствутеоремы A.Отметим только,что

.Именно поэтомув пункте 3 теоремыВ появляетсяне

,а

С)Для каждого

определим

(сопряжениеили трансформацияэлементом h) формулой

ТеоремаС.

Каждоеотображение

являетсяизоморфизмомгруппы Gс собой(автоморфизмомгруппы G).
Множество

является группойпреобразованиймножества G.
Отображение

сюръективнои сохраняетоперацию.

Доказательство.

Поскольку

,отображение
взаимно однозначнокак композициядвух отображенийтакого типа.Имеем:
и потому
сохраняетоперацию.
Надопроверить, что

и
.Оба равенствапроверяютсябез труда.
Сюръективностьотображения

имеет местопо определению.Сохранениеоперации ужебыло проверенов пункте 2.

Замечаниеоб инъективностиотображенияq.

Вобщем случаеотображениеq не являетсяинъективным.Например, еслигруппа Hкоммутативна,все преобразования

будут тождественнымии группа

тривиальна.Равенство

означает,что

или

(1) В связис этим удобноввести следующееопределение:множество

называетсяцентрализаторомподгруппы

.Легко проверить,что централизаторявляется подгруппойH.Равенство (1)означает, что

.Отсюда вытекает,что если централизаторподгруппы Hв Gтривиален,отображениеq являетсяизоморфизмом.

Смежныеклассы;классысопряженныхэлементов.

Пусть, как ивыше,

некотораяподгруппа.Реализуем Hкак группуL(H,G) левыхсдвигов нагруппе G.Орбита

называетсялевым смежнымклассом группыG поподгруппе H.Аналогично,рассматриваяправые сдвиги,приходим кправым смежнымклассам

.Заметим,что

стабилизаторSt(g, L(H,G)) (как и St(g,R(H,G)) ) тривиаленпосколькусостоит изтаких элементов

,что hg=g

.Поэтому, еслигруппа Hконечна, товсе левые ивсе правыесмежные классысостоят изодинаковогочисла элементов,равного
.

Орбиты группы

называютсяклассамисопряженныхэлементовгруппы Gотносительноподгруппы Hи обозначаются

Если G=H,говорят простоо классах сопряженныхэлементовгруппы G.Классы сопряженныхэлементов могутсостоять изразного числаэлементов . Эточисло равно

,где Z(H,g)подгруппаH ,состоящая извсех элементовhперестановочныхс g.

Пример.

Пусть

-группа подстановокстепени 3. Занумеруемее элементы:

=(1,2,3);

=(1,3,2);

=(2,1,3);

=(2,3,1);

=(3,1,2);

=(3,2,1).Пусть

.Легко проверить,что левые смежныеклассы суть:

Правыесмежные классы:

Всеэти классысостоят из 2элементов.

Классысопряженныхэлементов Gотносительноподгруппы H:

В тоже время,

ТеоремаЛагранжа.

ПустьH подгруппаконечной группыG.Тогда порядокH являетсяделителемпорядкаG.

Доказательство.

Посвойству орбитGпредставляетсяв виде объединениянепересекающихсясмежных классов:

.Поскольку всесмежные классысостоят изодинаковогочисла элементов,

,откуда и вытекаеттеорема.

Замечание.Число sлевых (илиправых) смежныхклассов называетсяиндексом подгруппы

Следствие.

Двеконечные подгруппыгруппы Gпорядкикоторых взаимнопросты пересекаютсятолько понейтральномуэлементу.

Всамом деле,если

эти подгруппы,то

их общая подгруппаи по теоремеЛагранжа

- общий делительпорядков Hи Kто есть 1.

Нормальныеподгруппы.Факторгруппы.

Пусть

любая подгруппаи

-любойэлемент. Тогда

такжеявляется подгруппойGпритом изоморфнойH,посколькуотображениесопряжения

являетсяизоморфизмом.Подгруппа

называетсясопряженнойпо отношениюк подгруппеH.

Определение.

ПодгруппаH называетсяинвариантнойили нормальнойв группе G,если все сопряженныеподгруппысовпадают сней самой:

Равенство

можнозаписать в видеHg = gH итаким образом,подгруппаинвариантнав том и тольков том случае,когда левыеи правые смежныеклассы по этойподгруппесовпадают.

Примеры.

Вкоммутативнойгруппе всеподгруппынормальны, таккак отображениесопряженияв такой группетождественно.
Влюбой группеG нормальнымибудут , во первых,тривиальнаяподгруппа

и, во вторых,вся группа G.Если другихнормальныхподгрупп нет,то Gназываетсяпростой.
Врассмотреннойвыше группе

подгруппа
неявляется нормальнойтак как левыеи правые смежныеклассы не совпадают.Сопряженнымис Hбудут подгруппы
и
.
Если

-любая подгруппа,то ее централизаторZ = Z(H,G) -нормальнаяподгруппа вG ,так как длявсех ее элементовz
.В частности,центр Z(G)любой группыG -нормальнаяподгруппа.
ПодгруппаH индекса2 нормальна. Всамом деле,имеем 2 смежныхкласса :H и Hg= G-H = gH.

Теорема(свойство смежныхклассов понормальнойподгруппе).

Еслиподгруппа Hнормальнав G,то множествовсевозможныхпроизведенийэлементов издвух каких либосмежных классовпо этой подгруппеснова будетодним из смежныхклассов, тоесть

Доказательство.

Очевидно,что для любойподгруппы H

.Нотогда

Таким образом,в случае нормальнойподгруппы Hопределенаалгебраическаяоперация намножествесмежных классов.Эта операцияассоциативнапосколькупроисходитиз ассоциативногоумножения вгруппе G.Нейтральнымэлементом дляэтой операцииявляется смежныйкласс

.Поскольку

,всякий смежныйкласс имеетобратный. Всеэто означает,что относительноэтой операциимножество всех(левых или правых)смежных классовпо нормальнойподгруппеявляется группой.Она называетсяфакторгруппойгруппы Gпо Hи обозначаетсяG/H.Ее порядокравен индексуподгруппы Hв G.

Абстрактнаятеория групп

(продолжение)

9Гомоморфизм.

Гомоморфизмгрупп - этоестественноеобобщениепонятия изоморфизма.

Определение.

Отображениегрупп

называетсягомоморфизмом,если оно сохраняеталгебраическуюоперацию, тоесть

Такимобразом, обобщениесостоит в том,что вместовзаимно однозначныхотображений,которые участвуютв определенииизоморфизма,здесь допускаютсялюбые отображения.

Примеры.

Разумеется,всякий изоморфизмявляетсягомоморфизмом.
Тривиальноеотображение

являетсягомоморфизмом.
Если

-любая подгруппа,то отображениевложения
будет инъективнымгомоморфизмом.
Пусть

-нормальнаяподгруппа.Отображение
группы Gна факторгруппуG/H будетгомоморфизмомпоскольку
.Этот сюръективныйгомоморфизмназываетсяестественным.
Потеореме Спредыдущегораздела отображениесопряжения

сохраняетоперацию и,следовательноявляетсягомоморфизмом.
Отображение

,которое каждомуперемещению
n-мерного пространстваставит в соответствиеортогональныйоператор
(см.лекцию №3) являетсягомоморфизмомпоскольку потеореме 4 тойже лекции
.

Теорема(свойствагомоморфизма)

Пусть

-гомоморфизмгрупп,

-подгруппы.Тогда:

,
.
-подгруппа.
-подгруппа,причем нормальная,если таковойбыла
.

Доказательство.

и по признакунейтральногоэлемента
.Теперь имеем:
.
Пустьp = a(h), q = a(k). Тогда

и
.По признакуподгруппыполучаем 2.
Пусть

то есть элементыp = a(h), q = a(k)входят в
.Тогда
то есть
.Пусть теперьподгруппа
нормальнаи
-любой элемент.

и потому

.

Определение.

Нормальнаяподгруппа

называетсяядром гомоморфизма

.Образэтого гомоморфизмаобозначается

Теорема.

Гомоморфизмa инъективентогда и толькотогда, когда

Доказательство.

Поскольку

,указанноеусловие необходимо.С другой стороны,если

,то

и если ядротривиально,

и отображениеинъективно.

Понятие гомоморфизматесно связанос понятиемфакторгруппы.

Теоремао гомоморфизме.

Любойгомоморфизм

можно представитькак композициюестественного(сюръективного)гомоморфизма

,изоморфизма

и (инъективного)гомоморфизма

(вложения подгруппыв группу):

Доказательство.

Гомоморфизмыp иi описанывыше (см. примеры)Построим изоморфизмj. Пусть

.Элементамифакторгруппы

являются смежныеклассы Hg. Все элементы

имеют одинаковыеобразы приотображенииa :

.Поэтому формула

определяетоднозначноеотображение

.Проверим сохранениеоперации

.Посколькуотображениеj очевидносюръективно,остается проверитьего инъективность.Если

,то

и потому

.Следовательно,

и по предыдущейтеореме jинъективно.

Пусть

- любой элемент.Имеем :

.Следовательно,

10Циклическиегруппы.

Пусть Gпроизвольнаягруппа и

-любой ее элемент.Если некотораяподгруппа

содержит g, то она содержити все степени

.С другой стороны,множество

очевидноявляется подгруппойG .

Определение.

ПодгруппаZ(g)называетсяциклическойподгруппойG собразующимэлементом g.Если G= Z(g) , то и всягруппа Gназываетсяциклической.

Такимобразом, циклическаяподгруппа собразующимэлементом gявляетсянаименьшейподгруппойG,содержащейэлемент g.

Примеры

ГруппаZ целыхчисел с операциейсложения являетсяциклическойгруппой с образующимэлементом 1.
Группа

поворотовплоскости науглы кратные2p¤nявляетсяциклическойс образующимэлементом
-поворотом наугол 2p¤n.Здесь n= 1, 2, ...

Теоремао структурециклическихгрупп.

Всякаябесконечнаяциклическаягруппа изоморфнаZ.Циклическаягруппа порядкаn изоморфнаZ / nZ .

Доказательство.

ПустьG = Z(g) -циклическаягруппа. Поопределению,отображение

-сюръективно.По свойствустепеней

и потому j- гомоморфизм.По теореме огомоморфизме

.H = KerjМZ.Если H- тривиальнаяподгруппа, то

.Если Hнетривиальна,то она содержитположительныечисла. Пустьn -наименьшееположительноечисло входящеев H.Тогда nZМH.Предположим,что в Hесть и другиеэлементы тоесть целыечисла не делящеесяна nнацело и kодно из них.Разделим kна nс остатком:k = qn +r , где 0ОH , что противоречитвыбору n.Следовательно,nZ = H итеорема доказана.

Отметим,что

»Z / nZ .

Замечание.

Впроцесседоказательствабыло установлено,что каждаяподгруппагруппы Zимеет видnZ ,где n= 0 ,1 , 2 ,...

Определение.

Порядкомэлемента

называетсяпорядок соответствующейциклическойподгруппы Z(g ) .

Такимобразом, еслипорядок gбесконечен,то все степени

- различныеэлементы группыG.Если же этотпорядок равенn,то элементы

различны иисчерпываютвсе элементыиз Z(g ), а

Nкратно n. Из теоремыЛагранжа вытекает,что порядокэлемента являетсяделителемпорядка группы.Отсюда следует,что для всякогоэлемента gконечнойгруппы Gпорядка nимеет месторавенство

Следствие.

ЕслиG - группапростого порядкаp,то

-циклическаягруппа.

Всамом деле,пусть

- любой элементотличный отнейтрального.Тогда его порядокбольше 1 и являетсяделителем p,следовательноон равен p.Но в таком случаеG = Z( g )»

Теоремао подгруппахконечной циклическойгруппы.

ПустьG -циклическаягруппа порядкаn иm - некоторыйделитель n.Существуети притом толькоодна подгруппаHМGпорядка m.Эта подгруппациклична.

Доказательство.

Попредыдущейтеореме G»Z/ nZ. Естественныйгомоморфизм

устанавливаетвзаимно однозначноесоответствиемежду подгруппамиHМGи теми подгруппамиKМZ, которыесодержат Kerp= nZ . Но, как отмечалосьвыше, всякаяподгруппа Kгруппы Zимеет видkZ ЕслиkZЙnZ, то k- делительn иp(k)- образующаяциклическойгруппы Hпорядка m= n /k. Отсюда иследует утверждениетеоремы.

Вернаи обратнаятеорема:если конечнаягруппа Gпорядкаnобладаеттем свойством,что для всякогоделителя mчисла nсуществуети притом ровноодна подгруппаHпорядкаm, то G- циклическаягруппа.

Доказательство.

Будемговорить, чтоконечная группаG порядкаN обладаетсвойством (Z),если для всякогоделителя mчисла Nсуществуети притом толькоодна подгруппаHМGпорядка m.Нам надо доказать,что всякаягруппа, обладающаясвойством (Z)циклическая.Установимпрежде всегонекоторыесвойства такихгрупп.

Лемма.

ЕслиG обладаетсвойством (Z),то

Любаяподгруппа Gнормальна.
Еслиx иyдва элементатакой группыи их порядкивзаимно просты,то xy= yx.
ЕслиH подгруппапорядка mтакой группыG порядкаNи числа mи N/mвзаимно просты,то Hобладаетсвойством (Z).

Доказательстволеммы.

1. ПустьHМG. Для любого

подгруппа
имеет тот жепорядок, чтои H.По свойству(Z)
то есть подгруппаH нормальна.
2. Пустьпорядок xравен p,а порядокy равенq.По пункту 1)подгруппы Z(x)и Z(y)нормальны.Значит, Z(x)y= yZ(x) и xZ(y)= Z(y)x и потомудля некоторыхa и b

.Следовательно,
.Но, посколькупорядки подгруппZ(x) иZ(y)взаимно просты,то
.Следовательно,

и потому xy= yx.
Используясвойство (Z), выберем вG подгруппуK порядкаN/m.По 1) эта подгруппанормальна, апосколькупорядки Hи Kвзаимно просты,эти подгруппыпересекаютсялишь по нейтральномуэлементу. Крометого по 2) элементыэтих подгруппперестановочнымежду собой.Всевозможныепроизведенияhk=kh,где hОH,kОKпопарно различны,так как

=eпоскольку этоединственныйобщий элементэтих подгрупп.Количествотаких произведенийравно mN/m =
и, следовательно,они исчерпываютвсе элементыG.Сюръективноеотображение
являетсягомоморфизмом
с ядром K.Пусть теперьчисло sявляетсяделителем m.Выберем в GподгруппуS порядкаs.Поскольку sи N/mвзаимнопросты,
и потому
- подгруппапорядка s.Если бы подгрупппорядка sв Hбыло несколько,то посколькувсе они былибы и подгруппамиG условие(Z) дляG былобы нарушено.Тем самым мыпровериливыполнениеусловия (S)для подгруппыH.
Доказательствотеоремы.

Пусть

- разложениечисла Nв произведениепростых чисел.Проведем индукциюпо k.Пусть сначалаk = 1,то есть
.Выберем в Gэлемент xмаксимальногопорядка
.Пусть yлюбой другойэлемент этойгруппы. Егопорядок равен
,где uЈs. Группы
и
имеют одинаковыепорядки и посвойству (Z)они совпадают.Поэтому
и мы доказали,что x- образующийэлемент циклическойгруппы G.Пусть теоремауже доказанадля всех меньшихзначений k.ПредставимN ввиде произведениядвух взаимнопростых множителейN = pq(например,
). Пусть Hи Kподгруппы Gпорядка pи q.Использую 3) ипредположениеиндукции , мыможем считать,что H= Z(x), K = Z(y), причемxy = yx .Элемент xyимеет порядокpq = N и,следовательно,является образующимэлементомциклическойгруппы G.
11.Некоторыетеоремы о подгруппахконечных групп.

ТеоремаКоши.

Еслипорядок конечнойгруппы делитсяна простоечисло p,то в ней имеетсяэлемент порядкаp.

Преждечем переходитьк доказательствуэтой теоремы,отметим, чтоесли g№eи

,где p- простоечисло, то порядокg равенp.В самом деле,если m- порядок g,то pделится наm,откуда m=1или m=p.Первое из этихравенств невозможнопо условиямвыбора g.

Индукция, с помощью которойпроводитсядоказательствотеоремы, основанана следующейлемме

Лемма.

ЕслинекотораяфакторгруппаG/H конечнойгруппы Gимеет элементпорядка p,то тем же свойствомобладает и самагруппа G.

Доказательстволеммы.

Пусть

- элемент порядкаp.Обозначим черезm порядокэлемента

.Тогда

и значит mделится наp.Но тогда

- элемент порядкаp.

Доказательствотеоремы Коши.

Зафиксируемпростое числоp ибудем проводитьиндукцию попорядку nгруппы G.Если n=p,то G»Z/pZи теоремаверна. Пустьтеорема ужедоказана длявсех групппорядка меньшеn и

,причем nделится наp.

Рассмотримпоследовательнонесколькослучаев

Gсодержитсобственную( то есть несовпадающуюсо всей группойи нетривиальную)подгруппу H, порядоккоторой делитсяна p.В этом случаепорядок Hменьше nи по предположениюиндукции имеетсяэлемент

порядка p.Поскольку
в этом случаетеорема доказана.
Gсодержитсобственнуюнормальнуюподгруппу.Если ее порядокделится на p,то по 1 теоремадоказана. Впротивномслучае на pделитсяпорядок факторгруппыG/H итеорема в этомслучае следуетиз доказаннойвыше леммы.
ЕслиG -коммутативна,то возьмемлюбой

.Если порядокg делитсяна p,то теоремадоказана по1, посколькуZ(g)МG.Если это нетак, то , посколькув коммутативнойгруппе всеподгруппынормальны,теорема доказанапо 2.
Остаетсярассмотретьслучай, когдапорядки всехсобственныхподгрупп Gне делятсяна p,группа Gпроста ( тоесть не имеетсобственныхнормальныхподгрупп ) ине коммутативна.Покажем, чтоэтого быть неможет. Посколькуцентр группыGявляется нормальнойподгруппойи не может совпадатьсо всей группой,он тривиален.Поэтому Gможно рассматриватькак группупреобразованийсопряженияна множествеG.Рассмотримразбиениемножества Gна классысопряженныхэлементов:

.Здесь отдельновыделен класс
и классы неединичныхэлементов.СтабилизаторSt(g)элементаg№e представляетсобой подгруппугруппы G,не совпадающуюсо всей группой.В самом деле,если St(g)= G, то gкоммутируетсо всеми элементамииз Gи потомуgОZ(g)= {e}. Значит,порядок этойподгруппы неделится на p,а потому
делится на p:
.Но тогда
- не делитсяна p,что не соответствуетусловию.

Замечание.

Есличисло pне являетсяпростым, тотеорема невернадаже для коммутативныхгрупп. Например,группа

порядка 4 коммутативна,но не являетсяциклической,а потому неимеет элементовпорядка 4.

Теоремао подгруппахкоммутативнойгруппы.

Дляконечнойкоммутативнойгруппы Gсправедливатеорема обратнаяк теореме Лагранжа:если m- делительпорядка группы,то в Gимеется подгруппапорядка m.

Доказательство.

Проведеминдукцию попорядку nгруппы G.Для n= 2 теоремаочевидна. Пустьдля всех коммутативныхгрупп порядкаестественныйгомоморфизм,то

- подгруппаG порядкаm.

Замечание.

Длянекоммутативныхгрупп даннаятеорема неверна.Так, например,в группе