Лекции по Математическому анализу

Аксиоматикавещественныхчисел.

Алгебраическиесвойства вещественныхчисел.

1. На множествевещественныхчисел определенаоперация сложения,удовлетворяющаяследующимаксиомам:

   1. 

   2. 

   3. 

   4. 

   5. 

2. Введем операциюумножения:

   1. 

   2. 

   3. 

   4. 

   5. 

3. Дистрибутивность.Распределительныйзакон.

   1. 

Множество,элементы которогоудовлетворяютa, b, c – числовоеполе.

Примеры: множествовещественныхи рациональныхчисел.

Отношениепорядка.

На множествевещественныхчисел вводитсяотношениепорядка

,т.е.

,которое удовлетворяетследующимаксиомам:

1. выполняется
   

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 
   

Из этихаксиом следует,что для любогоаи b

,выполняютсятри случая:

1. a

2. (a =b)

3. b

Множество, накотором вводитсяотношениепорядка, удовлетворяющееаксиомам 1-6,называетсялинейнойупорядоченностью.И множествовещественныхчисел, и множестворациональныхчисел – линейноупорядоченноеполе

Аксиоманепрерывностивещественныхчисел

Пусть

,причем и : ,тогда

Множествомвещественныхчисел называетсялинейно упорядоченноенепрерывноечисловое поле.

Замечание:Аксиома непрерывностигарантирует,что каждомувещественномучислу соответствуетединственныйтип числовойпрямой и, наоборот,каждой числовойпрямой соответствуетединственноевещественноечисло.

Представление(модель) вещественногочисла.

Можно доказать,что аксиомамудовлетворяютдесятичныедроби, причемконечные(периодические)соответствуютрациональнымчислам, а бесконечные(непериодические)– иррациональнымчислам.

Т.к. бесконечныедроби нельзяиспользоватьпри вычислениях(не представимыв ЭВМ), то в реальныхрасчетах пользуютсяисключительнорациональнымичислами, нодоказано, чтолюбое вещественноечисло можнос любой степеньюточности представитьрациональнымчислом.

Свойствочисловогомножества(следует изсвойстваупорядоченности).

Множество

- ограниченосверху, если .

ЧислоM– верхняя границамножества X.

Любоечисло

-точка верхнейграницы, т.к.

Итак,верхних границбесконечномного.

Наименьшаяиз всех верхнихграниц – верхняягрань множестваХ (supX – супремумикс)

Множество

- ограниченоснизу, если .

ЧислоВ –верхняя границамножества X.

Любоечисло

-точка нижнейграницы, т.к.

Наибольшаяиз всех нижнихграниц – нижняягрань множестваХ (infX).

Множество

называетсяограниченным,если оно ограниченои снизу и сверху.

Теорема:Любое непустое,ограниченноесверху (снизу)множество,имеет верхнюю(нижнюю) грань.

Понятиеабсолютнойвеличинывещественногочисла.

Наупорядоченномчисловом множествевведем понятиемодуля (абсолютнойвеличины)вещественногочисла:

Свойства:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

Решениепростейшихнеравенствс модулем.

Эквивалентностьнеравенств:

1. 

2. 

геометрическийсмысл:

1. 

2. 

3. 

Понятие окрестностив точке х₀

 окрестностив точке х₀(U_(x₀))– симметричныйинтервал радиусас центром вточке х₀

Приколотойокрестностив точке х₀называетсяокрестностиэтой точки безсамой х₀

Открытыеи замкнутыемножества

Множество

- называетсяоткрытым, еслидля любой точкиэтого множестванайдется такая ,которая целикомсодержитсяв этом множестве.

,точки, обладающиеэтими свойствами,называютсявнутреннимиточками.

(a,b) – открытоемножество:

Точка x

X Bлюбой окружностисодержит –граничной точкимножества X

Точкиa и b – граничные[a;b]или (a;b).

Граничныеточки могути принадлежать,и не принадлежатьмножествуотрицательных.Множество своихграниц не содержит.

Точкаx называетсяпредельнойточкой X,если любое

-окружностисодержит хотябы точек X.

(x-предельнаядля X)

( (x) ( x, x) (x, (x))

точкиa,b являютсяпредельнымикак для отрезка,так и для интервала( [a;b] и(a;b) )

a,b

отрезку x

a,b

X

Граничныхточек – 2

Предельных– целый отрезок(интервал)

Точкаизолирована– если найдётся

(x),которая .

Совокупностьпредельныхи изолированныхточек – называетсяточками соприкосновениямножества X.

МножествоXзамкнутое, еслионо содержитвсе свои точкиприкосновения.

Замкнутыммножествомявляется сегмент[a;b].

Открытостьи замкнутость– не альтернативныепонятия. Существуютмножества, неявляющиесяни открытыми,ни замкнутыми.

Например,[a;b)или (a;b].

Илиодновременнооткрытые изамкнутые ().

Принципысуществованияпредельнойточки (Вейерштрасс)

Всякоеограниченноебесконечноемножествоопределяетхотя бы однупредельнуюточку. Длянеограниченныхбесконечныхмножеств этоутверждениеневерно.

(Множествоцелых чиселпредельныхточек не имеет,так как состоитих одних изолированныхточек).

_________________________

Дляраспространенияпринципа Вейерштрассана неограниченноемножествовводятся новыеобъекты: +бесконечность,-

,которые числамине являются.Вводятся правиладействия надними.

Бессмысленно:

Понятиефункции.

Основнойобъект - функция

Основнойпредмет - предел.

Функция– закон, по которомуэлементу

ставится

всоответствииед. элемент

.

Д/з₁: Область определения функции

Д/з₂: Областьзначения функции

(f)– E[f] C Y, такое,что

(Каждыйэлемент множестваEимеет прообразво множестве.

Замечание1: в определениине требуется,чтобы каждыйэлемент Xимел

прообразв Y.

Говорят,что функция

отображаетмножества Xво

множествоY.Всегда

отображаетмножество Xна

множествеE.

Нетребуется,чтобы элементыEимели единственныйпрообраз вомножестве X.

Д/з:Отображение,осуществляемыхфункций

,называетсявзаимно однозначнымотображениеммножества Xна Y ,если каждыйэлементY имеетединственныйпрообраз множестваX. .

Д/з:Две функцииравны, если:

1. .

2. совпадаютзаконы соответствия.

Пример: 1) Равны ли функции

и

Нет,так как

.

2)

и

Д/з:Две функциисовпадают намножестве X₁,с вкл. в пересечениеобластей определенияфункций

,если для любой совпадает с .

Пример:

и совпадают намножестве

Д/з:выписать определениячётных, нечётных,периодичныхфункций; ихсвойства исвойства симметрииграфиков, сп.зад. функцийс примерами.

Общиесвойства функций.

1) Ограниченность.Сводится кограниченностимножествазначений.

Функцияограничена,существует

,что для

-огранич.

-неогранич.; при

2) Монотонность.

Д/з:Функция

называетсявозрастающейна промежуткеX,если для любого промежутку;

Убывающей,если

Замечание:если неравенстванестрогие, тоговорят о неубываниив 1 случае иневозрастании(либо неизм.,убыв.) во 2 случае.

Невозрастающиеи неубывающиефункции – монотонные.При строгомнеравенствестрогомонотонные.

Пример:

Докажем,что она убывающаяна любом промежутке.

Например:

Пусть

Понятиемонотонноститолько дляпромежутков.

Промежуток– множество,обладающеесвойством:

нарядус любым 2-мя числами

и емупринадлежатвсе числа,заключённыемежду ними .

Понятиесложной функции.(композициифункции)

Пустьданы отображения

и ,такие, чтопересечения и - непустое множество .

Тогдавводится новоеотображение,

,которое включает новой функции

и закон соответствияполучаетсяпо формуле:

-отображ. сложнаяфункция (композиция).

Пример:

Обратнаяфункция:

Привзаимооднозн.отображенииXна Yс пом. функции

эти множествасимм.относительноэтого отображения,т.е. наряду сфункцией существуетобр. ф-я

Д/з:

называетсяобратнойвзаимооднозн.ф-и ,если каждомуэлементу ставятв соотв. так, что .

Замечание: yвзаимнообр.ф-й D(f)и E(f)мен. местами

Замечание2: если для обр.функцийсделать заменупеременных

,чтобы то гр-ни функций и симм. отн. бессектр.1 и 3 квадратов.

Пример:

обр. ф-я –

Элементытеории пределов.

Теорияпределов формализует(перев. на мат.яз.) фразы: и Зн-я

неогранич.приалинс-сяк числу A,когда xнеогр. приалинс-сяк числу ф; или_nЗн-я неогр. приыл.к Aтогда, когда ит.д.

Д/з:Р/м

втом числе идля x,сколько угодно к0, т.е. хотя зн-я этойт. не имеет.

Определениепредела в терминахокресностей.

ЧислоА называетсяпределом

при ,и обозначается ,если для любой-окресностичисла А найдетсяпроколатаяокресность,так что ля всехх изэтой окресностизначения будут принадлежать-окресностичисла А.

Конечныйпредел ф-ии(А-вещ. число)

ЧислоА-конечныйпредел ф-ии вт. а, если

Частныеслучаи (геометрическаяиллюстрация)

Конечныйпредел в конечнойт.

а– вещественноечисло

Общиесвойства конечногопредела

1. Если

   - const,то ее пределсущ. и равенэтой же const.

,то

2. Есликонечный пределсущ., то он единственный

3. Дляf(x),имеет конечныйпредел в т. а,сущ. такая прколотаяокрестностьэтой т., в которойф-ия ограничена.

4. Еслиф-ия имеет вт. а,конечный предел,неравный нулюто найдетсятакая

   в т. а,в которой
   -ограниченная.
   

5. Еслиf(x),имеет в т. аотрицательныйконечный предел,то найдетсятакое значениеэтой точки, вкотором ф-ияотрицателная.

Бесконечномалые ф-ии и ихсвойства:

Опр:

-бесконечномалая при ,если

Свойства:

Пусть

и являются бесконечномалыми при ,а -ограничена,то бесконечномалыми являетсяалгебраическаясумма ф-ий f(x)и(x),произведенияих и произведенияф-ий на ограниченную.

Представвлениеф-ии, имеющейконечный предел.

Теорема:Для того чтобыф-ия

имела конечныйпредел Ав точке х=а,небходимо идостаточно,чтобы =А+(х),где (х)-бесконечномалая при .

Доказательство:

Алгебраическиесвойства фунццийимеющих конечныйпредел в точкеа.

Пусть

,тогда:

1. Существуетпредел алгебраическойсуммы этихф-ий,равныйалгебраическойсумме этихпределов.

2. Существуетпредел произведенияф-ий произведениепределов

3. Еслипредел знаменателянеравен 0 и Bнеравно0 то

Следствие.

Из1 и 2 следует, чтоконстанты можновыносить зазнак предела

Бесконечнобольшие и ихсвойства

Опр.Ф-ия

называетсябесконечнобольшой в точкеа, еслиее предел вэтой точкеравен бесконечности.

Свойства

Пусть

и -бесконечнобольшие ф-иив точке а.

Ф-ия(х)имеет пределв точке а,отличный от0

Ф-ия(х)и (ч)– бесконечномалые

Тогдасправедливыследующиеутверждения:

1. Произведениедвух бесконечнобольших ф-ий– бесконечнобольшая ф-ия.

2. Произведениебесконечнобольших наф-ию, имеющуюотличный отнуля предел- бесконечнобольшая.

3. Ф-ия,обратная величинебесконечнобольшой – естьбесконечномалая, и наоборот.

Доказательство2):

Доказательство3):

Односторонниепределы в конечнойточке и их связьс пределом вэтой точке.

Вопределениипредела окрестноститочки а– симметричныйинтервал сцентром в этойточке, т.е. требуетсясуществованиезначений ф-ийкак справа отточки а, так и слеваот нее.

Когдаа –граничная точкаD(f)-такая ситуацияневозможна.В этом, случаевводится понятиеодностороннегопредела, вопределениикоторого фигурируетлевые и правыеполуокрестноститочки а

-левостороннийпредел, если влевой полуокружноститочки А,значения ф-иилежат в -окрестноститочки А

Аналогичнодается определениеправостороннегопредела.

Теорема:Для того, чтобыв точке а существовалпредел ф-ии,необходимои достаточносуществованияи равенствалевостороннегои правостороннегопределов

Доказательство:

1. Необходимость:

2. Достаточность:

Числовыепоследовательности

Задача,по которойкаждому Nчислу, ставитсяв соответствиеединственноевещественноечисло – называетсячисловойпоследовательностью.

Числоваяпоследовательность– ф-ия натуральногоаргумента.

Обозначается:

Последовательность,множествозначений которойсостоит изодного числа– стационарная.

Таккак числоваяпоследовательность– не симметричноемножество, тодля него несуществуетпонятия четности,нечетности,периодичности.Зато сохраняютсясвойства, связанныес упорядоченностью.

Свойства:

1. Ограниченность.

   1. последовательность

      ограниченасверху, если
      

   2. последовательность

      ограниченаснизу, если
      

   3. последовательность

      ограничена,если
      

2. Монотонность.

   1. последовательность

      возрастает,если
      

   2. последовательность

      убывает,если
      

   3. последовательность

      неубывает, если
      

   4. последовательность

      невозрастает,если
      

Пределпоследовательности

Т.к.N числаимеет 1 т. бесконечности,то для числовойпоследовательностисуществует

Замечания:

1. Аможет бытьконечным илибесконечным

Еслипоследовательностьимеет конечныйпредел, то онаназываетсясходящейся,а если нет –расходящейся.

2. Общиесвойства сходящихсяпоследовательностейаналогичнысвойствамф-ий, имеющихконечный предел.

3. Арифметическиесвойства сходящихсяпоследовательностейаналогичнысвойствамф-ий, имеют конечныйпредел

4. Переходк пределам внеравенствах,для сходящихсяпоследовательностейаналогиченф-ям, имеющимконечный предел.

5. Определениебесконечномалых и бесконечнобольшихпоследовательностейи их свойствааналогичнысоответствующимопределениями свойствамф-ии непрерывногоаргумента.

Критериисуществованияпредела последовательности

1. КритерииКоши (произведенияпоследовательностей)

Длясуществованияпредела последовательностей

необходимои достаточно,чтобы длялюбой..............

Последовательность,для которойвыполняетсяпризнак Коши– фундаменталная

2. КритерийВейерштрасса(монотонностьпоследовательности)

а)неубывающиепоследовательности,ограниченныесверху, имеютпредел.

б)не возрастающиепоследовательности,ограниченныеснизу, имеютпредел.

Доказательство(а):

Переход кпределу в неравенстве

Теорема:Пусть f(х) и(х)имеют конечныепределы в т.y=a, тогда справедливо:

1. 

2. 

3. 

4. 

Доказательство:

1. Пусть

   ,тогда по общемусвойству №6

,

а этопротиворечит1

Замечание:

1. Изутверждения№3 следует, чтопредел неотрицательнойф-ии являетсянеотрицательным.

2. Припределов кпротивоположнымможно обе частиумножать на(-1).

Теорема2(о двух миллиционерах) Пусть в некоторойобласти Д выполняетсясистема неравенств

и а – пределточки.

Пустьсуществуютравные пределы

,

тогдасуществует

.

Доказательство:

Первыйзамечательныйпредел

Д

оказательство:докажем для справедливостьнеравенства

В силучетности входящихв неравенствоф-ий, докажемэто неравенствона промежутке

Из рисункавидно, что площадькруговогосектора

,так как х>0, то ,

2. следовательно,что

3. Покажем,что

   

4. Докажем,что

   

5. Последнееутверждение:

Второйзамечательныйпредел

Понятиекасательнойк прямой.

П

рямая,проходящаячерез две точкикривой – секущая.

Предельноеположениесекущей, котороеона занимаетпри стремлениит. М к т. М₀ называетсякасательнойк кривой в т.М₀

Бесконечныепределы ф-ии.

Еслив общем определениипредела черезокрестностиположить вкачестве Абесконечноудаленнуюточку, то получимопределениебесконечногопредела.

Так какразличают тривида бесконечноудаленныхточек, то существуюттри определения:

1.

2.

3.

Понятиенепрерывностиф-ии.

Непрерывность– такое свойствоф-ии, как отсутствиеточек разрывау графиков этойф-ии. Т.е. строитсяединственнойнепрерывнойлинией.

Графикнепрерывнойф-ии ;Графикф-ии, разрывнойв т. С;

1.Ф-ия

называетсянепрерывнойв точке х₀, если предел вданной точкесовпадает созначением ф-иив этой же точке

2.

3. Разность

-приращениеаргумента вточке х₀

4. Разность

-приращениеф-ии в точке х₀вызывает приращениеаргумента

5. Ф-ия

называетсянепрерывнойв точке х₀, если бесконечномалому аргументусоответствуетбесконечномалое значениеф-ии в точке х₀.

Общиесвойства ф-ии,непрерывнойв точке.

Представимф-ию с помощьюбесконечномалых

1.

2.Пустьф-ия

непрерывнав точке х₀и ее значениев этой точкеотлично отнуля, то существуетцелая окрестностьх₀, в которойф-ия не равнанулю и сохраняетзнак f(x₀)

sign(х)(сигнум)

Доказательство:

а)

б)

Из а) иб) следует:

Непрерывностьи арифметическиеоперации

Пусть

и непрерывнав т. х₀, тогда справедливо:

1. Сумма этихф-ий непрерывнав т. х₀;

-непрерывнав точке х₀

2. Произведениеэтих ф-ий непрерывнов т. х₀

-непрерывнав точке х₀

3. Отношениеэтих функцийнепрерывнов тех точках,в которых знаменательотличен отнуля, т.е. еслизнаменатель0.

Доказательство:

Непрерывностьсложной ф-ии.

Пусть:

Ф-ия -непрерывнав т. y0. Ф-ия -непрерывнав т. х0.

тогдасложная ф-ия -непрерывнав т. х0.

Доказательство:

А).

Б).

из А) и Б) следует:

Sl.

Непрерывностьф-ии на множестве.

Df.Ф-ия непрерывнана множествеХ , еслиона непрервнав каждой точкеэтого меожества.

Непрерывностьобратной ф-ии:

Пусть

-непрерывнаи строго монотоннана промежутеХ , тогдасправедливо:

1. *****

2. На промежуткеYсуществуетнепрерынаяобратная ф-ия

   .

3. Характермонотонностиобратной ф-иитакой же каки прямой.

Непрерывностьэлементарнойф-ии:

1. **********

2. Доказательствонепрерывностиосновнойэлементарнойф-ии tgиctg, следуетиз свойствнепрерыностиэлементарныхф-ий.

3. Непрерывностьlog, arcsin, arccos, arstgследует изопределениянепрерывностиобратной ф-ии.

DfЭлементарныеф-ии, полученныеиз основныхэлементарныхф-ий с помощьюарифметическихопераций, взятыхв конечномчисле,********

Характеристикаточек разрываф-ии.

1. Точка устранимогоразрыва.

D(f)т. х₀называетсяточкой устранимогоразрыва ф-ии

,если она неопределенав этой точке,но имеет конечныйпредел.

Ф-ию можносделать непрерывнойв этой точке,доопределивей значениев этой точкеравным пределом.

2.Точка разрывапервого рода.

D(f)х₀– точка разрывапервого рода,если существуетконечныйлевостороннийи правостороннийпредел не равныемежду собой.

Разницу(b-a)называютскачком ф-иив т. х₀

3.Точка разрывавторого рода.

*********************************

Односторонняянепрерывностьф-ии.

1. Если вD(f)1непрерывностипредел заменитьодностороннимпределом, тополучим определениеодностороннейнепрерывностиф-ии.

2. Ф-ия называетсянепрерывнойв точке х₀справа, еслиправостороннийпредел совпадаетсо значениемф-ии.

3. Ф-ия называетсянепрерывнойв точке х₀слева, есдилевостороннийпредел совпадаетсо значениемф-ии.

Например:

-исследуемпредел ф-иисправа и слева:

ф-иянепрепывнав точке х=0.

Для непрерывностив точке х₀необходимои достаточно,чтобы она быланепрерывнаслева и справав этой точке.

Свойстваф-й, непрерывныхна отрезке

Ф-ия называетсянепрерывнойна отрезке[a,b],если она непрерывнана интервале(a,b)и в т. анепрерывнасправа а в т. b– слева.

Т₁:Ф-ия

,непрерывнаяна [a,b],ограниченана этом отрезке.

-непрерывнаяна [a,b]

D(f): число Мназываетсянаибольшимзначением ф-иина отрезке[a,b],если существуеттакое число

.

D(f):точка называетсянаименьшимзначекниемф-ии на [a,b],если

Т₂: ф-ия

,непрерывнаяна [a,b],имеетна [a,b]наибольшееи наименьшеезначения.

Т_3: *************

Sl₁: (f)ф-ии, непрерывнойна отрезке,является отрезок

Sl₂(Т₃):ф-ия, непрерывнаяна отрезке[a,b],имеющая различныепо знаку значения,на его границахобязательнообращаетсяв ноль, хотя-быв одной точкеэтого отрезка.

*******************************************

Дифференциальноесчисление.

Ф-ия однойпеременной.

1. Задачи,приводящиек понятиюпроизводной.

3.1. Задача овычислениискорости точки,движущейсявдоль прямой.

Пусть точкадвижется вдольпрямой х.

****************************************** - l-единичныйвектор, задающийнаправлениевдоль прямой.

3.2 Построениекасательнойк кривой с уравнением

в т. х₀.

********************

Задачи, различныепо смыслу, изразных областейнауки, свелиськ вычислениюодного и тогоже предела. Втаких случаяхв математикеабстрагируютсяот крнкретныхзадач и изучаютотдельно пределф-й.

Определениепризводнойф-ии в точке.

Обозначение:

Df1Производнойф-ии

вт. хназывают пределотношенияприращенияф-ии в этой т.к приращениюаргумента, пристремлениипоследнегок нулю.

Пример:

-непрерывная.

Степень ф-иис вещественнымпоказателем.

Справка:

.

Геометрическийсмысл производной.

Из второйзадачи следует,что поизводнаяф-ии

в т. х₀=тангенсу угланаклона касательной,проведеннойк графику ф-иив этой точке.

Sl1: Уравнениекасательнойк кривой. Егоможно написать,зная точку,через которуюона проходит,и угловой коэффициент

гдеx иy– координатыт. на касательной.

Sl2: Уравнениенормали. Егоможно написать,зная точку,через которуюона проходити угловой коэффициент

,x иy– точки на нормали.

Механическийсмысл производной.

************

Дифференцируемостьф-ии.

Df: Ф-ия

дифференцируемав точке х₀, если приращениеф-ии в точкесможет бытьпредставленов виде:

,А – const.

Dh:Для дифференцированияф-ии в т. х₀, необходимои достаточно,чтобы в этойточке существовалапроизводная.

Доказательство:(необходимость)

(достаточность):

Производнаясуммы, произведения,частного.

Dh:Пустьф-ия

и дифференцируемыв точке х₀, тогда в этойточке дифференцируемыих сумма, произведениеи частное, причемвыполняютсяформулы:

1. 

2. 

3. ,если
   

Лемма:Ф-ия, дифференцируемав точке х₀, непрерывннав этой точке.

-дифф. в т. х₀

обратноеутверждениеневерно!!!

Производнаяот constф-ии =0.

Если

Доказательство:

Zm1:При вычислениипроизводной,константу можновыносить зазнак производной.

Zm2:Данные формулыможно рассматриватьна большеечисло слагаемыхи сомножителей.

Df:Линейным колебанемсистемы из т.ф-ий

называетсясумма призведенияэтих ф-ий напроизводнуюи постоянную.

Zm:Свойство линейностипроизводной.

Из доказанныхсвойств, следует,что производнаяот линейныхколебаний ф-й= линейные комбинациипризводных.

Производнаяот обратнойф-ии.

Dh:Пусть

в точке х₀имеет:

1. 

2. на промежутке,содержащемх₀, обратную ф-ию

   

3. 

тогда в точкех₀существует

,равная

Производнаяот обратнойф-ии.

Dh: Пусть

в точке х₀имеет:

1. 

2. на промежутке,содержащемх₀, обратную ф-ию

   

3. 

тогда в точкех₀существует

,равная

Доказательство:

1. Пусть

идвум различнымзначениям хсоответствуете различныхзначений y.

2. Пусть

дифф. в точкех₀, тогда

3. т.к.

Производнаяот сложнойф-ии.

Dh: Пусть:

1. -дифф. в точкеy₀.

2. -дифф. в точкех₀.

3. 

тогда сложнаяф-ия

-дифф. в точкех₀и справедливаформула:

Доказательство:

1.

-дифф. в точкеy₀

2.

-дифф. в точкех₀

3.

-дифф. в точкех₀а значит непрерывнав этой точке .

Односторонниепроизводные.

Заменим вопределениипроизводнойпредел – одностороннимпределом, получитсяопределениеодностороннейпроизводной.

Производнаяот параметрическизаданной ф-ии.

Df: Ф-ия

называетсязаданнойпараметрически,если ее аналитическоевыражение можетбыть представленов виде:

t- параметр.

Dh: Пустьф-ия заданапараметрически,где

и дифф. в точкех₀, тогда

Доказательство:Предположим.что

имеет обратнуюф-ию ,тогда -сложная ф-ияот хи определениюсложной ф-ииимеет:

Производныевысших порядков.

Df: Пустьф-ия

дифф. на Х, то есть дифф.в каждой т. Х.

Каждомузначению Хсоответствуетединственноезначение

,т.е. получаем как ф-ию, заданнуюна Х.

Если онаокажется дифф.на Х,то мы можемвычислитьследующую

,которая будетназыватьсявторой и т.д.

Df: Производнойn-гопорядка от ф-ии

называетсяпервая производнаяот производнойn-1 порядка.

Пример:

Теоремы одифф. ф-ях.

ТеоремаФерма:Пусть

дифф.на и наибольшееили наименьшееее значениев т. х₀, тогда производнаяв этой точкеравна нулю.

**************************

Доказательство:

Пусть

-наибольшеена

Но из дифф

в т. х₀

Zm: Издоказательстват. Ферма следует:Пусть

непрерывнана промежуткеи внутреннихточках этогопромежуткапринимаетнаибольшееи наименьшеезначение, тогдаесли в этойточке ф-ия дифф.,то .

ТеоремаРолля:Пусть ф-ия

:

1. непрерывнана

   

2. дифф. на

   

3. Принимаетна концах этогоотрезка одинаковыезначения.

Тогда на

существуетт. х₀, в которой

*************

Доказательство:

Из непрерывностиф-ии на отрезкеследует, чтоимеет на этомотрезке своинаименьшее(m)и наибольшее(M)значения.

Возьмем дваслучая:

1. m=M ; наименьшеезначение совпадаетс х₀следовательно:

   

2. ;из (3) следует:
   ***********

Dh: Междудвумя корнямиф-ии есть точкапроизводной.

ТеоремаЛагранжа:Пусть ф-ия

непрерывнана промежутке ,дифф. на ,тогда на существуеттакая х₀такая, что вернаформула:

Если ее переписатьв виде

**************************

Доказательство:

Рассмотримвспомогательнуюф-ию

.

1. Она непрерывнана

   как сумманепрерывныхф-ий.

2. F(x) – дифф.на

   как сумма дифф.на интервалеф-ий.

3. F(а) = 0; F(b)= 0

   

Sl: Пустьф-ия

дифф. на ,тогда для любойвнутреннейточки интерваласправедливаформула Лагранжа:

х₀между

Действительно***************

Из дифф. ф-иина

следует еенепрерывностьна

ТеоремаКоши: Пусть

и :

1. Непрерывнына

   .

2. Дифф. на

   

Тогда на

существуетт. х₀, для которойсправедливаформула Коши:

Доказываетсякак теоремаЛагранжа.

Приложениепроизводнойк исследованиюф-ий.

1. Исследованиена монотонность.

Пусть

дифф.на ,тогда справедливо:

• Ф-ия возрастаетна

  на
  .

• Ф-ия не убываетна

  на
  .

• Ф-ия постояннана

  на
  .

• Ф-ия не возрастаетна

  на
  .

• Ф-ия убываетна

  на
  .

2.Исследованиена экстремум.

Df:т. х₀называетсяточкой локальногоминимума, еслиф-ия непрерывнав этой точкеи существуеттакая окрестностьх₀, что для любогох

**************************

Исследованиеф-ии на выпуклостьграфика.

**************************

Df:График ф-ии

на направленвыпуклостьювниз (вогнутый),если он расположенвыше касательной,проведеннойв любой точке ,а график ф-ии - выпуклый, еслион расположенниже касательной,проведеннойв любой точке .

Df2:Точка х₀, в которой

непрерывна,называетсяточкой перегиба,если она отделяетинтервал выпуклостиот интервалавогнутости.

Достаточныеусловия выпуклостиф-ии на интервале.

Пусть ф-ия

дважды дифф.на и сохраняетна нем свойзнак, то:

1. ,то график на
   -вогнутый.

2. ,то график на
   -выпуклый.

Асимптотыграфика ф-ии.

В некоторыхслучаях, когдаграфик ф-ииимеет бесконечныеветви, оказывается,что при удаленииточки вдольветви к бесконечности,она неограниченностремится кнекоторойпрямой. Такиепрямые называютасимптотами.

.Вертикальныеасимптоты –прямая

называетсявертикальнойасимптотойграфика ф-ии в точке b, если хотя быодин из разностороннихпределов равенбесконечности.

Если ф-иязадана дробно-рациональнымвыражением,то вертикальнаяасимптотапоявляетсяв тех точках,когда знаменательравен нулю, ачислитель неравен нулю.

********************

Наклоннаяасимптота –прямая

наклоннаяасимптота ф-ии ,если эта ф-ияпредставленав виде

Необходимыйи достаточныйпризнак существованиянаклоннойасимптоты:

Для существованиянаклоннойасимптоты

к графику ф-ии необходимои достаточносуществованиеконечных пределов:

Доказательство:Пусть:

Пусть:

Следовательносуществуетасимптота.

Общаясхема исследованияф-ий

1. По ф-ии

   1. D(f)

   2. E(f)

   3. Непрерывностьв областиопределения

   4. Четность,нечетность.

   5. Переодичность

   6. Асимптоты

2. По первойпроизводной

   1. Экстремумы

   2. Интервалымонотонности

3. По второйпроизводной

   1. Интервалывыпуклостей

   2. Точки перегиба

4. Построениеграфика ф-ии.

Приложениепроизводнойк вычислениюпределов.

(ПравилоЛопиталя).

Пусть:

1. Ф-ии

   и
   дифф.в проколотойокрестноститочки х₀

2. 

3. 

то справедливо:

Доказательство:

1. Доопределимф-ии

и вточке х₀так, чтобы онистали непрерывными,т.е. ф-иянепрерывнана всей окрестности

2.

применимт.Коши на интервале или

, где ζ лежитмежду хи х₀следовательно

Zm:Еслипроизводнаяф-ии удовлетворяетправилу Лопиталя,то можно вычислятьпоследнююнесколько раз(2,3,4…), пока онаудовлетворяетусловию.ПравилоЛопиталя применимо,когда x₀– бесконечноудаленнаяточка.

Дифференциалф-ии.

Из Dfдифференцируемостиследует, чтоприращениедифф. ф-ии

можнопредставитьв виде

Из равенстванулю пределаследует, что

-б.м. более высшегопорядка малости,чем ,и

Поскольку

-б.м. одного порядкамалости.

-б.м. одногопорядка малости -б.м. эквивылентные,т.е.

Пусть

**************

Zm1:

их –независимыепеременные,т.е.

Zm1:

для независимыхпеременных.

Свойствадифференциала:

1. 

2. 

3. 

Дифференцированиесложных ф-ий.Инвариантностьв форме дифференциала

Интегрированиес помощьюподстановки.

Пусть подынтегральнаяф-ия в интеграленепрерывнана Хи ф-ия

дифф. на промежуткеТ и имеетна нем обратнуюф-ию с напромежуткеХ , тогдасправедливо:

Алгоритминтегрированияподстановкой.

1. Для интегралаподынтегральнаяф-ия

   такая,что
   является табличнымили сводитсяк нему так, чтолегко находится
   .

2. Нах. обратнуюф-ию

   и подставляемв
   ,которая и будетпервообразнойдля исходногоинтеграла.

Алгоритм:

1. Часть подынтегральноговыражениявводится подзнак дифференциалаи полученноевыражение подзнаком дифференциалаобозначаетсякак новаяпеременная.

2. В подынтегральнойф-ии делаетсязамена переменнойна новую, находится

   от новой переменной.

3. В

   возвращ. к старойпеременной.

Интегрированиепо частям.

Интегрируювыражениелюбого дифференциалапроизведения,получим:

Пример:

Рекомендации:

В интегралахс подынтегральнымвыражениемвида:

(Pn–многочленстепени n)

Pn принимаетсяза u

В интегралахс подынтегральнымвыражениемвида:

за u

Интегрированиес подстановкойвыражений вида

после двукратногоинтегрированияпо частям приводитсяк линейномууравнениюотносительновычисляемогоинтеграла.

Интегрированиедробно-рациональныхвыражений

Df Дробно-рациональнаяф-ия

-отношение 2^хмногочленов -многочленыстепени nи mсоответственно.

Рациональнаядробь правильная,если степеньчислителястрого меньшестепени знаменателя,обратно - неправильная.

Zm Неправильнаярациональнаядробь путемвыделения целойчасти приводитсяк сумме многочленаи правильнойрациональнойдроби; многочленназываетсяцелой частьюнеправильнойдроби.

Простейшие(элементарные)рациональныедроби и ихприменение.

К простымрациональнымдробям относятсярациональныедроби типов:

-вещественныепостоянные

2.

-вещественныепостоянные,

3.

4.

Интегрирование1^готипа:

Интегрирование2^готипа:

Интегрирование3^готипа:

проводитсяв два этапа:

1. В числителевыделяетсядифференциалзнаменателя:

2. Выделениеполного квадратав знаменателевторого интеграла.

Интегрирование4^готипа:

1. Выделяемв числителе*** знаменателя:

Выделяемв знаменателе2^гоинтеграла ф-лыквадрата:

Рекуррентнаяформула длявычисленияJ_m (вычислениепроисходитпутем подстановкив известнуюформу)

Метод неопределенныхкоэффициентов.

1. Разложимзнаменательна множители:

2. Правильнаядробь разлагаетсяв сумму простейшихи каждому множителювида

соотв.сумма из nпростейшихдробей вида:

с неопределеннымкоэф. A₁…n

Каждомумножителю вида

соот. сумма изm простейшихдробей вида:

с неопределеннымкоэф.B₁C₁…

3. Неизвестныйкоэф. находитсяметодом неопределенныхкоэф., основанномна: определении,что 2 многочленатождественносовпадают, еслиу них равныекоэффициентыпри одинаковыхстепенях.

4. Приравниваякоэф. при одинаковыхстепенях влевой и правойчастях, получимсистему линейныхуравненийотносительнонеизвестногоуравнения.

Определенныйинтеграл

Задача, приводящаяк понятиюопределенногоинтеграла.

Вычислениеплощади криволинейнойтрапеции:

Df.Криволинейнаятрапеция –фигура на площади,ограниченнойлиниями с уравнениями

1. Отрезок

разобьемна nчастей:

*********

Длина каждогоотрезка

2. Т.к.

-непрерывнана ,то она непрерывнана каждом частичномотрезке, принад.****

3. Впишем втрапецию мн-к,состоящий изпр-в с основаниями,совпадающимис частичнымиотрезками ивысотой m_i

Суммируемплощади пр-в– получаемплощадь трапеции.

Меняя n, получаем числовуюпоследовательностьплощадей, вписанныхв многоугольник.

**********

4. Опишем околотрапециимногоугольник

**********************************

Необходимоеусловие существованиеопределенногоинтеграла.

Df. Пустьсуществуетинтеграл

подынтегральнаяф-ия ограниченана

Доказательство:

Пусть

-неограниченнана ,то при любомразбиении этогоотрезка онанеограниченнана каком-то изчастичныхотрезков *** начастичномотрезке, мыможем сделатьзначение ф-иив т. сколь угоднобольшим помодулю интегральнаясумма, соотв.этому прозв.разб. будетнеограниченнане имеет пределапротиворечитусловию ф-ия ограниченана

Некоторыеклассы интегральныхф-ий.

Df. Любаяф-ия, для которойсуществуетопределенныйинтеграл на

,интегрируемана этом промежутке.

Множествотаких ф-ий обозначают

К интегрируемымна

ф-иям относятся:

1. Ф-ии, непрерывныена

   

2. Монотонныена

   

3. Имеющие наотрезке конечноеили счетноемн-во точекразрыва 1-города.

Свойстваопределенногоинтеграла.

Df. Промежутокс гранич. т. Aи Bориентированным,если указанонаправлениеперехода отт. Aк т. B.

1. Пусть сущ.определенныйинтеграл

сущ. определенныйинтеграл и справедливоравенство

2.

Док-во:

3. Свойстволинейностиопределенногоинтеграла:

1. Пустьф-ии

интегрируемына ***

2. Пусть

,то для любойпроизвольнойпостоянной - справедливаформула

4. Аддитивностьопределенногоинтеграла:

Пустьф-ия

интегрируемана большем ихтрех помежутков ,тогда онаинтегрируемана обоих меньшихпромежуткахи справедливаформула:

Свойствомонотонности.

1. Пустьф-ия

неотрицательнана и интегрируемана нем,

Док-во:В силу н-ва дляф-ий любаяинтегрируемаф-ия неотрицательналюбая последовательностьинтегрируемыхсумм будетиметь неотрицательныйпредел интеграл будетнеотрицательным.

2. Пустьф-ия

на ,искл. конечн.точек, и интегрируемана ,тогда

Док-во: Из интегрируемостиследует, чтопредел не зависитот выбора разбиенияна

.Достаточностроить инт.разбиения так,чтобы точки,в которых ф-ияравна нулю,являлись точкамиразбиения. Аследовательнов силу аддитивностиинтеграл повсему прмежуткуравен суммеинтеграловпо частичнымпромежуткам,т.к ****

DfДве ф-ии

,заданные на ,значения которыхразличны на лишь в конечномч. точек называютсяэквивалентнымина этом отрезке.

3. Инт. от эквивалентныхф-ий совп.

Пусть

эквивалентныи интегрируемына ,тогда (они не совпадаюта интегралысовпадают).

Д-во:

на лишь в конеч.ч. точек отр. ,следовательнопо 2^му

4. Пусть

на ,кроме конечногоч. точек, инт. на , ,то

5. Пусть

инт-ма на модуль ф-иитоже интегрируемна и справедливонеравенство:

6. Пусть

интегрируемана , ,то существуетМ,такая что

Интегралкак ф-ия переменноговерх. предела.

Пусть ф-ия

инт. на , ,то она инт. налюбом отрезкемежду

Рассмотримопределенныйинтеграл

.Из определенияопр. интеграласледует,чтолюбому хсоот. единст.значние этогоинтеграла.

Определенныйинтеграл сперемнноговерх. предела– есть ф-ия своегопредела

1 теоремаГульдена

PhГульдена Пусть криволинейнаятрапеция вращ.вокруг оси oX.Тогда она опишеттело вращенияс массой

из формулыдля центра массзнаем:

Объем тела,полученноговращением крив.трапеции, равнопроизведениюплощади этойтрапеции надлину окружности,описанную изцентра масс.

Однороднаяплоская дуга

От точки сабсциссой хотложим дугудлины

.Тогда ,

2 теоремаГульдена

Пусть плоскаядуга вращаетсявокруг оси oX.Она опишетплощадь:

Площадьповерхности,полученнаявращением дуги,равна произведениюдлины этой дугина длину окр-ти,описыв-ю ц. масс.

Несобств.интегралы.

Для существованияопределенногоинтеграладолжны выполнятьсядва условия:

1. Пределинтегрированияконечный;

2. Подынтегральнаяф-ия ограничена.

Нарушениеэтих двух условийприводит кнесуществующемуинтегралу.

В этом случаевводится обобщениеопределенногоинтеграла,который называетсянесобственныминтегралом.

1. Несобственныйинтеграл сбесконечнымпределоминтегрирования.

а)

-Пусть -интегрируемана любом ,где ,то по определению:

Если пределв правой частисуществуети конечен, говорят,что, инт. сходится;нет - расходятся.

б)

в)

Этот случайсводится кпредыдущему***

, ;Результат отс независит

Zm: Инт.в левой частисуществует,если интегралв правой частисуществуетпо отдельности,т.е. пределинтегрированияв этих интервалахнадо обозначатьразными буквами.

Признакисходимости

В некоторыхслучаях достаточнознать, сходитсяинтеграл илинет, без еговычисления.Для этого применяетсяпризнак сравнения.

1). Пусть

и интегрируемына иудовлетворяютна этом промежуткенеравенству: ,то справедливоследующееутверждение:

Обратноеутверждениеневерно!!!

R_n

*******

1. 

2. 

3. 

4. 

На арифм.эмерном пространствеметрика вводитсяпо формуле:

,где

Арифм. эмерноепространство,сведенное сметрикой поформуле - евклидовопространство.

Понятиеокрестностив R_n

Интегрированиес помощьюподстановки.

Пусть подынтегральнаяф-ия в интеграленепрерывнана Хи ф-ия

дифф. на промежуткеТ и имеетна нем обратнуюф-ию с напромежуткеХ , тогдасправедливо:

Алгоритминтегрированияподстановкой.

1. Для интегралаподынтегральнаяф-ия

   такая,что
   является табличнымили сводитсяк нему так, чтолегко находится
   .

2. Нах. обратнуюф-ию

   и подставляемв
   ,которая и будетпервообразнойдля исходногоинтеграла.

Алгоритм:

1. Часть подынтегральноговыражениявводится подзнак дифференциалаи полученноевыражение подзнаком дифференциалаобозначаетсякак новаяпеременная.

2. В подынтегральнойф-ии делаетсязамена переменнойна новую, находится

   от новой переменной.

3. В

   возвращ. к старойпеременной.

Интегрированиепо частям.

Интегрируювыражениелюбого дифференциалапроизведения,получим:

Пример:

Рекомендации:

В интегралахс подынтегральнымвыражениемвида:

(Pn–многочленстепени n)

Pn принимаетсяза u

В интегралахс подынтегральнымвыражениемвида:

за u

Интегрированиес подстановкойвыражений вида

после двукратногоинтегрированияпо частям приводитсяк линейномууравнениюотносительновычисляемогоинтеграла.

Интегрированиедробно-рациональныхвыражений

Df Дробно-рациональнаяф-ия

-отношение 2^хмногочленов -многочленыстепени nи mсоответственно.

Рациональнаядробь правильная,если степеньчислителястрого меньшестепени знаменателя,обратно - неправильная.

ZmНеправильнаярациональнаядробь путемвыделения целойчасти приводитсяк сумме многочленаи правильнойрациональнойдроби; многочленназываетсяцелой частьюнеправильнойдроби.

Простейшие(элементарные)рациональныедроби и ихприменение.

К простымрациональнымдробям относятсярациональныедроби типов:

-вещественныепостоянные

2.

-вещественныепостоянные,

3.

4.

Интегрирование1^готипа:

Интегрирование2^готипа:

Интегрирование3^готипа:

проводитсяв два этапа:

1. В числителевыделяетсядифференциалзнаменателя:

2. Выделениеполного квадратав знаменателевторого интеграла.

Интегрирование4^готипа:

1. Выделяемв числителе*** знаменателя:

Выделяемв знаменателе2^гоинтеграла ф-лыквадрата:

Рекуррентнаяформула длявычисленияJ_m(вычислениепроисходитпутем подстановкив известнуюформу)

Разложениерациональнойдроби на простейшие.

В курсе алгебрыдоказываютсяутверждения