Лекции по линейной алгебре (МГИЕМ, ФПМ)

ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

1.Перемещения

Пусть X- множествовсех точекпрямой

,плоскости или трехмерногопространства .Обозначим черезd(P, Q) расстояниемежду точкамиP иQ множестваX.Отображениеf: X ®X f(P) = Pназываетсяперемещением,если для всехP иQ d(P, Q) = d(P,Q).

Примеры.

1.Пусть в

выбрана праваядекартовапрямоугольнаясистема координат(x, y) сначалом О. Поворот плоскости наугол jвокруг точкиО задаетсяформулами R= R.Здесь R= , R= .Очевидно, поворотявляется перемещениемплоскости.

Отметим,что

(О)=О, то есть точкаО остаетсянеподвижнойпри повороте.Аналогично,в можно рассмотретьповорот наугол jвокруг оси,заданной единичнымвектором vи точкой О. Легкопроверить, чтоэто перемещениезадается формулой:R =Rcosj+ (Rґv)sinj+v(1-cosj)(RЧv). Все точкиоси поворотаявляютсянеподвижными.

2. Перемещениембудет и параллельныйперенос

   на вектор v, Очевидно,

R= R+v .Неподвижныхточек переносне имеет.

3. Пустьl некотораяпрямая в

   .(Зеркальное)отражение
   относительноэтой прямойявляетсяперемещением.Если в декартовойпрямоугольнойсистеме координатуравнениепрямой имеетвид y= tg(j/2)x , то отражениезадается формулой: R=
   R. Аналогично,если pнекотораяплоскость в
   ,то отражение
   относительноэтой плоскостибудет перемещением.Если nединичныйвектор нормалик плоскостиp , проходящейчерез началокоординат, то R = R- 2(RЧn)n.

Переносы иотражения(примеры 2 и 3) можнорассматриватьи в

.

4. КомпозицияU*V(последовательноевыполнение) двух перемещенийU иV снова будетперемещением:(U*V)(P)= U(V(P)). Например,

   =
   *
   = I-тождественноеперемещение.

2. Связь слинейнымиоператорами.

Теорема 1

Пустьf: X ®X - перемещение,A, B, C, D -точки X,f(A) = Aи т.д. ЕслиAB =CD(каксвободныевекторы), то AB= CD.

Доказательство.

Достаточнопроверить, чтов условияхтеоремы четырехугольникABDC являетсяпараллелограммом.Пусть О точкапересечениядиагоналейAD иBC.Принадлежностьточки О отрезкуАDравносильноравенству:d(A, O) + d(O, D) = d(A, D). Посколькудля образовэтих точекимеет местоаналогичноеравенство d(A, O)+ d(O,D)= d(A, D), мы видим, чтоO лежитна отрезке ADи делит егопополам, посколькуd(A, O)= d(A,O) = 1/2 d(A ,D) = 1/2 d(A, D). Аналогично,O лежитна CD иделит его пополам.Следовательно,ABDC - параллелограмм.

Изтеоремы 1 следует,что если

- пространствосвободныхвекторов, тодля всякогоперемещенияf: X ®X определеноотображение:f*: V ®V.

Отметим,что если О -некотораяфиксированнаяточка X,то для любойточки Pточка f(P)получаетсяиз Oпереносомна вектор f*(OP).Отсюда вытекает,что перемещениеf однозначноопределяетсяотображениемf* иточкой O.

Теорема2.

Отображениеf* являетсялинейным операторомв V исохраняетскалярноепроизведение.

Доказательство.

Свойствоf*(u+v)= f*(u)+f*(v)следует изопределениясложения векторов: еслиu =AB, v= BC , то u+ v = AC. Так какпри перемещениилюбой треугольникABC переходитв равный треугольник,то сохраняютсяне только длины,но и углы междувекторами, азначит и скалярноепроизведение.Наконец, используюсохранениескалярногопроизведения,имеем:

= -2 + = -2 + =0.Следовательно,f*(lv)= lf*(v), то есть отображениеf* линейно.

Следствие

Отображение

евклидовапространстваV,обладающеесвойством являетсялинейным оператороми сохраняетскалярноепроизведение.

Какизвестно, операторв конечномерномпространствеопределяетсясвоей матрицей.Матрица Aоператора,сохраняющегоскалярноепроизведение,называетсяортогональнойи имеет следующиесвойства:

1. МатрицаА невырождена,более тогоdet(A) =

   1.Операторы сопределителем1 сохраняюториентациюпространства,а с определителем (-1) меняют ее напротивоположную.

2. Всесобственныезначения A- комплексныечисла по модулюравные 1.

Крометого, известныпростейшиеформы ортогональныхматриц в ортонормированномправом базисе.Эти простейшиеформы указаныв следующейтаблице:

dimV	det(A) = 1	Название	det(A) =-1	Название
1	I = (1)	Тождест-венныйоператор	s= (-1)	Отраже-ние
2	=	Поворотна угол j	=	Отраже-ние
3	=	Поворотна угол jвокруг OZ	=	Зеркаль-ныйпово-рот

Замечание1.

Учитываясвязь междуперемещениемf иоператоромf*,можно утверждать,что в подходящейдекартовойсистеме координатимеет местоформула:

R= АR + v, где А - однаиз матриц изтаблицы, а v- некоторыйвектор.Следовательно,всякое перемещениеf имеетобратное

,которое задаетсяформулой R= (R- v) = R- v.Посколькуматрица - ортогональна,обратное отображениетакже являетсяперемещением.Отметим еще,что для всякойортогональнойматрицы Pи любоговектора wпреобразованиеR= PR +wявляетсяперемещением.

Замечание2.

Имеетсясущественноеразличие междуматематическимпонятием перемещенияи физическимпонятием движения.Во втором случаеимеется в видунепрерывноево времениизменениеположенияточки, в то времякак в первомфиксируютсятолько ее начальноеи конечноеположения.

Перемещенияс det(A)= 1 можно представлятьсебе и как движения,в то время какпри det(A)=-1 такое представлениеневозможно,если оставатьсяв пределахисходногопространстваX.

3. Классификацияперемещений.

Напомним, чтонам уже известнынекоторыеперемещения.Перемещениямипрямой

являютсятождественноепреобразованиеI,перенос на вектор vи отражение относительноточки О .

Дляслучая плоскости

перемещениямибудут уже упомянутыеIи ,а также поворот вокруг точкиО на угол jи отражение относительнопрямой l. Определимдополнительноскользящееотражение каккомбинациюотраженияотносительнопрямой lс переносомна вектор vЅЅl.

Наконец,для пространства

мыимеем перемещенияIи ,а, кроме тогоповорот вокругоси, заданнойточкой О и единичнымнаправляющимвектором wна угол jи отражение относительноплоскости p.Определимдополнительнозеркальныйповорот как комбинациюотраженияотносительноплоскости,заданной точкойО и векторомнормали n с поворотом и скользящееотражение - композициюотражения . относительноплоскости pи переноса навектор vЅЅp.Наконец, определимвинтовоеперемещение как комбинациюповорота и параллельногопереноса навектор hw.

Отметим,что некоторыеиз указанныхвыше перемещенийявляются частнымислучаями других.Например,тождественноеперемещениеможно рассматриватькак переносна нулевойвектор (или какповорот нанулевой угол),отражение

является частнымслучаем скользящегоотражения при v= 0и т. д.

Теорема3 .

Каждоеперемещениеf в

(n= 1, 2, 3 ) суть одноиз следующих:

1. n= 1

   ,
   

2. n= 2

   ,
   ,
   

3. n= 3

   ,
   ,
   .

Доказательство.

Какуже отмечалось,можно выбратьтакой ортонормированныйбазис, чтоперемещениеf имеетвид R= АR + v, где v- некоторыйвектор. Еслиизменить началокоординат :R = r + u,R= r+ u, получаем:r= Ar+ v, где v= Au-u+v=(A - E)u+v.Мы видим,что если число1 не являетсясобственнымзначениемматрицы А (или,если угодно,оператора f*), то можновыбрать uтак, что вновой системекоординат v= 0 . (Посколькуматрица A- E невырождена).Тем самым утверждениетеоремы доказанопри n=1и при n=2в случаеdet(A) = 1(так каксобственныезначения

суть exp( ij)№1 при j№2pn).

Вслучае матрицы

можно добиться,чтобы v= ,что приводитк скользящемуотражению .Для матрицы при j№2pn получаемv= ,и мы приходимк винтовомуперемещению .(При j=2pnмы приходимк переносу).Наконец, для приj№2pnможно считатьv= 0 , что приводитк зеркальномуповороту ,а при j=2pn- v= и получаетсяскользящееотражение .

Замечание.( о параметрахперемещений)

Параметр

для поворотаплоскости будем считатьизменяющимсяmod 2p т.е. = .Такое же соглашениебудем использоватьи для винтовогоперемещения приh > 0.Если же h= 0 , и речь идето повороте впространстве,надо учитывать,что = .В частности, = (отражениеотносительнопрямой параллельнойv и проходящейчерез О).Аналогично, = .Если при этом j=p этопреобразованиене зависит отвектора n и являетсяотражениемотносительноточки О.

4*Композиции1.

Теорема4

Еслиf иg дваперемещенияX,а f*, g*- соответствующиеоператоры вV, то(f·g)*= f*g*(Символом· обозначенакомпозицияперемещений).

Доказательство.

Используемкоординатнуюформу записи:f( R) = AR + v,g( R) = BR + w.Тогда:(f·g)(R) = f( (g( R)) = f( BR + w)= A( BR +w)+v= ( AB)R + ( Aw+v).Следовательно,(f·g)*= AB = f*g*.

Следствие.

Композициядвух перемещенийс определителямиодного знакаимеет определитель(+1);если знакиопределителейпротивоположны,композицияимеет определитель(-1).

Вычислениекомпозицииперемещенийпространства

не вызываетзатруднений.Отметим только,что · = ,где v=2AB.

Дляслучая пространства

удобноиспользоватькомплексныечисла. Отождествляяих с точкамиплоскости,получаем удобныйспособ записиперемещений.Например, поворот можно записатьв виде:z ® z+ c. Точка Оявляется неподвижнойи соответствующеекомплексноечисло находится изуравнения = + с, откуда =с/(1- ).Таким образом, Отметим, что = при j+y№0(mod 2p). В то же времяпри j+y = 0указаннаякомпозициябудет переносомна вектор AD,где D= .

Преобразованиеz®

+cявляетсяскользящимотражениемотносительнопрямой Im( =0на вектор0,5 (с + ).Если прямаяl проходитчерез точку и еенаправляющийвектор (рассматриваемыйкак комплексноечисло) имеетаргумент ,то перемещение можнозаписать в виде

Композициядвух скользящихотраженийотносительнопересекающихсяпрямых будетповоротом. Вто же время,если прямыепараллельны,композиция- перенос.

ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

(продолжение)

5.Кватернионы

Удобныйспособ аналитическойзаписи перемещенийв пространстведают кватернионы, являющиесяобобщениемкомплексныхчисел. Чтобыподчеркнутьаналогию междуспособамипостроениякватернионовиз комплексныхчисел и построениемкомплексныхчисел из вещественныхсравним обеконструкции.

Построениекомплексныхчисел Построениекватернионов

1.Комплексноечислоz = a+ bi -это матрица вида ,где .Действия надними производятсяпо правиламалгебры матриц.	1.Кватернионq = z + wj- этоматрица вида ,где .Действия надними производятсяпо правиламалгебры матриц
Отсюдавытекает, чтодля этих чиселимеют местоте же законыдействий, чтои для матриц,т.е. ассоциативностьумножения изакон дистрибутивности.Непосредственнопроверяетсякоммутативностьумножениякомплексныхчисел(но некватернионов!)
2. Числовида a+ 0i можноотождествитьс вещественнымчислом aи таким образом .	2. Числовида z+ 0j можноотождествитьс комплекснымчислом zи таким образом .
Модулемчисла zназываетсявещественноечисло = ., =0 Ы z=0	Модулемчисла qназываетсявещественноечисло = .
4. Число = a - biназываетсясопряженнымк числу a+ bi . Легкопроверить,что числосопряженноес произведениемравно произведениюсопряженныхчисел. Заметимеще , что = .Отсюда вытекает,что всякоененулевоекомплексноечисло zимеет обратное .	4.Число = - wjназываетсясопряженнымк числу z+ wj Легко проверить,что числосопряженноес произведениемравно произведениюсопряженныхчисел в обратномпорядке. Заметимеще , что .Отсюда вытекает,что всякийненулевойкватернионимеет обратный ,причем
Обратноечисло определенооднозначнотак как емуотвечает(однозначноопределенная!) обратнаяматрица.
5. Действиянад комплекснымичислами, записаннымив алгебраическойформе производятсяпо обычнымправилам алгебрыс учетом того,что . Таким образом,(a + bi)(c+ di) = (ac-bd) + (ad - bc)i .	Действиянад кватернионами,записаннымив виде z+ wj производятсяпо обычным правилам алгебрыс учетом того,что и jz= Такимобразом, (z+ wj)(z+ wj)= (zz- w )+(zw+ w )j.
6. Если ,число zбудет вещественным.Число, длякоторого называетсячисто мнимым;оно имеетвид bi.z= Re(z) + Im(z).	6. Если ,число qбудет вещественным.Число, длякоторого называетсячисто мнимым;оно имеет видbi+ cj + d ij .Произведениеijобозначаетсяk. q= Re(q) + Im(q).

6. Связь с векторнойалгеброй в

   .

В этом параграфенам придетсярассматриватьодновременнонесколькоразных произведений.Крестом (ґ)будем обозначатьвекторноепроизведениев

,точкой(Ч) - скалярноепроизведение,а звездочка(*) будетиспользованадля умножениякватернионов.Пусть q=bi+ cj +dk - чисто мнимыйкватернион.Пользуясьформуламипредыдущегопараграфа,нетрудно подсчитать,что ,ij= -ji = k, jk = -kj = i, ki = - ik = j. Есликватернионамi , j ,kпоставитьв соответствиеправый ортонормированныйбазис (i,j, k) пространства ,то чисто мнимыйкватернионq = bi + cj +dk можно интерпретироватькак вектор впространствеи мы видим, чтоумножение двухчисто мнимыхкватернионовсводится коперациямвекторногои скалярногоумножения в :q*r= -qЧr+ qґr. Отсюдаследует, чтоq*r+r*q=-2qЧr- вещественноечисло, а q*r-r*q=2qґr- чисто мнимоечисло.

Следствие

Пустьpи q- мнимыечасти кватернионовP иQ соответственно.КватернионыP иQкоммутируют(то есть P*Q= Q*P) тогда и толькотогда, когдавекторы pи qколлинеарны.

Всамом деле,посколькувещественныечисла коммутируютс любым кватернионом,P*Q= Q*P

p*q=q*pто есть -pЧq+ pґq= -qЧp+ qґp pґq= qґp pґq=0.

Используякватернионыможно вывестинекоторыесвойства векторногопроизведения.

Теорема5.

1. Длялюбых трехвекторов p, q , r имеет месторавенство (pґq)ґr+ (qґr)ґp+ (rґp)ґq=0 (ТождествоЯкоби)

2. (pґq)ґr= (rЧp)q- (qЧr)p

Доказательство.

Поскольку qґr= q*r+ qЧr,имеем:(pґq)ґr=(pґq)*r+(pґq)Чr= (p*q)*r+ (pЧq)r+ (pґq)Чr; последнееслагаемое -смешанноепроизведение(pqr).Производякруговуюперестановку,получим:(qґr)ґp= (q*r)*p+ (qЧr)p+ (pqr).Сложимэти формулыи учтем ассоциативностьумножениякватернионов:(pґq)ґr+ (qґr)ґp= (p*(q*r))+ (q*r)*p)+ (pЧq)r+ (qЧr)p+ 2(pqr). (1) Заменяяобратно q*r= -qЧr+ qґr,преобразуемпервую скобкуA= -2 (qЧr)p+ [p*(qґr)+ (qґr)*p].В квадратнойскобке стоитпроизведениечисто мнимыхкватернионови потому онабудет вещественнымчислом. Учитывая,что левая частьформулы (1) - чистомнимое число,получаемокончательно:(pґq)ґr+ (qґr)ґp= (pЧq)r- (qЧr)p.Производякруговыеперестановки,получаем 2аналогичныхравенства:

(qґr)ґp+ (rґp)ґq= (qЧr)p- (rЧp)q (2)

(rґp)ґq+ (pґq)ґr= (rЧp)q- (pЧq)r.Складываявсе 3 равенства,получаем тождествоЯкоби:(pґq)ґr+ (qґr)ґp+ (rґp)ґq=0 Вычитаяиз этого тождестваравенство (2) ,получим:(pґq)ґr= (rЧp)q- (qЧr)p.

7. Связь с перемещениямив

   .

Пусть p- чисто мнимыйкватернион,а s№0- любой кватернион.Пусть q=

.Тогда .Учитывая, что и ,получаем ,то есть этоткватерниончисто мнимый.Таким образомвозникаетотображение : .Заметим,что Поскольку , - линейный оператор,сохраняющийскалярноепроизведение.

Теорема6.

Det(

)= 1.

Доказательство.

Пустьe = (i,j,k).Тогда

=( )и Det( )равен определителюэтой матрицыто есть смешанномупроизведениюее столбцов. Имеем:

= + .Второе слагаемоеравно 0 так как =0,а первое преобразуетсяследующимобразом: = .Поэтому, ( )= =1.

Какнам известно,ортогональнаяматрица сопределителем1 задает поворотв

.Вектор vпараллельныйоси вращенияудовлетворяетусловию (v )=vИнтерпретируяv какчисто мнимыйкватернион,заметим, чтоусловие означает, чтоv иs коммутируют.Значит, еслиIm(s) №0,v =lIm(s).Подсчитаемтеперь уголповорота j.Пусть s= a + v, где v№0.Пусть векторpортогоналеноси вращенияv.Тогда v*p=vґp.Имеем: = (a - v)p(a+ v)= +2apґv- (vґp)ґv.Используяформулы предыдущегопараграфа,получаем:(vґp)ґv= .Итак, = ( )Второе слагаемоев скобке можнозаписать как .Значит, cosj= ,sinj= .Еслиопределитьугол y =arccos( ),то j = 2y+2pn.Таким образом,поворот наугол вокругоси, заданнойединичнымвектором nзадаетсяформулой ,где s= cos(j/2)+ nsin(j/2).Композициядвух поворотов ,заданныхкватернионамиs иt = cos(a/2)+ msin(a/2)задаетсяформулой и, следовательно,равна .Находим:s*t= cos(j/2)cos(a/2)-(nЧm)sin(j/2)sin(a/2)+ nsin(j/2)cos(a/2)+ mcos(j/2)sin(a/2)+ (nґm)sin(j/2)sin(a/2).Вещественнаячасть этогокватернионаравна косинусуполовины углаповорота, амнимая частьопределяетнаправлениеоси вращения.

Преобразование

является зеркальнымповоротом.Особо отметимслучай вещественногоs. В этом случаеоно имеет вид: (зеркальныйповорот на 180градусов) иявляется центральнойсимметрией.Обозначим егобуквой Zи отметим,что оно перестановочнос любым оператором.

Переходяк перемещенияммы видим, чтоформула

,где как и вышеs = cos(j/2)+ nsin(j/2)задает поворотна угол jвокруг оси,заданной единичнымвектором nи точкой ,а та же формуласо знаком (-) задаетзеркальныйповорот.

8. Перемещениекак произведениеотражений.

Теорема 7

1. Всякоеортогональноепреобразованиеn- мерноговекторногопространстваможно представитьв виде композициине более чемn отражений.

2. Всякоеперемещениеn - мерноготочечногопространстваможно представитьв виде композициине более чем(n+1)отражений.

Доказательство.

Условимся,что произведениепустого множествапреобразованийявляетсятождественнымотображением.Приняв этосоглашение,мы видим, чтопри n= 1 первоеутверждениеочевидно. Приn = 2 длядоказательстватого же утверждениядостаточнозаметить, чтокомпозициядвух отраженийотносительноосей, составляющихугол a/2,будет вращениемна угол a.Таким же образомпространственноевращениепредставляетсяв виде композициидвух отраженийотносительноплоскостей,проходящихчерез ось вращения.Наконец, зеркальныйповорот требуетеще одногодополнительногоотраженияотносительноплоскостиперпендикулярнойоси.

Длядоказательствавторого утвержденияотметим преждевсего, что перенос(скажем на плоскости)на вектор hможно представитьв виде композициидвух отраженийотносительнопараллельныхосей, перпендикулярныхh.Посколькувсякое перемещениеможно рассматриватькак композициюперемещения,сохраняющегоначало координат(котороеможно отождествитьс соответствующимортогональнымоператором)и параллельногопереноса, второеутверждениедоказано длявсех такихперемещений,для которыхсоответствующаяматрица представляетсяв виде композиции

ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

(продолжение)

9. Группы преобразований

Пусть Xнекотороемножество,Sym(X) -множествовсех взаимнооднозначныхотображенийX насебя. Элементы

называютсяпреобразованиямимножестваX..Композициядвух такихпреобразованийбудет называтьсяих произведением.Таким образом, (fg)(x) =f(g(x)). Отметим,что это произведениеассоциативно:(fg)h = f(gh).Для каждогопреобразованияf имеетсяобратноепреобразование .Непустоемножество GпреобразованийX называетсягруппой преобразований,если:

1. 

2. 

Заметим,что каждаягруппа преобразованийG содержиттождественноепреобразованиеi.В самом деле,пусть

- любой элемент.Тогда и значит .Число элементовв G,если оно конечно,называетсяпорядком группыпреобразований.Если Hи Gдве группыпреобразованиймножества Xи ,то HназываетсяподгруппойG.

Приведемдва основныхпримера групппреобразований.Пусть

- любое подмножествои любая группапреобразований.

1. Множествовсех такихпреобразований

   ,что
   f(y) =yобразуетподгруппу
   (сиационарныена Yпреобразования).

2. Множествовсех такихпреобразований

   ,что
   
   образуетподгруппу
   (G - симметриимножества Y).

Приведемтеперь болееконкретныепримеры.

1. ЕслиX ={ 1, 2,... , n } то группаSym(X)обозначается

   и состоит извсех подстановокстепени n. Эта группасостоит из n!элементов.

2. Множество

   всех перемещенийn - мерногопространстваобразует группупреобразований
   .
   - подгруппа.

3. Пусть

   некотораяточка (началокоординат).Группа
   состоит извсех перемещенийсохраняющихначало координат.Как нам известно,такие перемещенияможно отождествитьс ортогональнымиоператорамив
   .Эта группаназываетсягруппой ортогональныхпреобразованийn - мерногопространстваи обозначается
   .Каждое перемещениеимеет определитель±1 . Множествоперемещенийс определителем1 образует группу,которая обозначается
   (специальнаягруппа). Аналогичныйсмысл имеетобозначение
   .

4. ПустьY -прямоугольник(не квадрат!)на плоскости

   .Группа
   состоитиз четырехпреобразований:тождественного,поворота на180° и двухотраженийотносительновзаимно перпендикулярныхосей. Стандартноеобозначениеэтой группы
   .Аналогично,группа
   издвух элементови обозначается
   .

5. ПустьY -правильныйn - угольник( n = 3, 4,... ) на плоскости.Группа

   состоящая из2n элементовобозначается
   ,а
   -
   и состоит изn элементов.Первая из нихназываетсядиэдральной,а вторая - циклической. Смысл этихназваний будетпояснен вдальнейшем.По определениюбудем считать,что группа
   состоит изодного тождественногоперемещенияi.

6. ПустьY - фигура,образованнаябесконечнойв обе стороныпоследовательностьюбукв Г:...Г Г Г Г ...Еслиh -вектор, началокоторого совпадаетс «углом»одной изэтих букв, аконец с «углом»соседней,то группа

   состоитиз переносовна векторыравные nh, где n= 0, ±1,±2,... . Эта группаназываетсябесконечнойциклическойи обозначается
   .

7. Орбиты и стационарныеподгруппы.

   
   

   ПустьG группа преобразованиймножества X,

   некотораяточка. Множество
   называетсяорбитой точкиx.Подгруппа
   называетсястационарнойподгруппойточки x.Приведем некоторыепримеры.

   1.Рассмотримгруппу G=

   вращений плоскостивокруг некоторойточки P.Если xнекотораяточка плоскостиотличная отP,то ее орбита
   представляетсобой окружностьс центром Pрадиусомd(x , P).Орбита же точкиP состоитиз этой единственнойточки. Стационарнаяподгруппа впервом случаетривиальна(то есть состоитиз одноготождественногоперемещения),а во второмсовпадает совсей группой
   .

   2.Возьмем группуG =

   симметрийправильноготреугольникаABC наплоскости (см.пример 5 выше).Пусть
   оси симметриитреугольника,пересекающиесяв центре треугольникаточке P.Если точка xплоскостине лежит ни наодной из осейсимметрии, тоее орбита состоитиз 6 точек, являющихсявершинамишестиугольникасо сторонамиперпендикулярнымиэтим осям.Стационарнаяподгруппа вэтом случаетривиальна.Если xлежит наодной из осей,но не совпадаетс P,то
   - правильныйтреугольникс вершинамина осях симметрии,а группа St(x)совпадаетс
   .Наконец,
   состоит изединственнойточки P,а St(P)совпадаетсо всей группой
   .

3.Пусть X={ 1, 2, ... , n }, G=

.Орбита любойточки совпадает совсем множествомX.В этом случаегруппа называетсятранзитивнойна множестве.

Установимтеперь некоторыеобщие свойстваорбит и стационарныхподгрупп.

Теорема8

ПустьG группапреобразованиймножества X.Тогда:

1. 

2. 

3. 

Доказательство.

Какотмечалосьвыше, тождественноепреобразованиеi содержитсяв любой группепреобразований.Следовательно,i(x) = x

и первое утверждениедоказано. Если ,то y= g(x) для некоторогоg .Если любой элемент,то (y)= и потому .Но посколькуx = (y)и значит справедливои обратноевключение. Темсамым доказанои второе утверждение.Наконец, если иz =g(y) = (x),то y= (x),то есть ,что доказываеттретье утверждение.

Следствие.

Любаягруппа Gпреобразованиймножества Xзадает разбиениеD этогомножествана непересекающиесянепустые подмножества- орбиты

: .

Теорема9.

Пусть,как и выше Gгруппапреобразованиймножества X.Если x= g(y), то отображение

является взаимнооднозначнымсоответствиеммежду подгруппамиSt(x) иSt(y).

Доказательство.

Поскольку

,отображениеj имеетобратное: и потому взаимнооднозначнона множествеX.Если то есть h(x)= x, то j(h)(y)= = (h(g(y)))= (h(x))= (x)= y. Следовательно, .Аналогично, ,что и требовалось.

Следствие.

Еслиx иy точкиодной орбитыи St(x)конечнаягруппа из kэлементов,то и St(y)- конечнаягруппа из kэлементов.Число kназываетсяпорядкомстабилизатора орбиты.

Теорема10.

ПустьG конечнаягруппа преобразованиймножества X. Число элементоворбиты

равно ,где - число преобразованийв G,а k -порядокстабилизатораорбиты.

Доказательство.

Пустьy

любой элемент,y = g(x).Если ,то (gh)(x)= g(h(x)) = g(x) = y. Обратно,если (gh)(x)= y, то h(x)= (y)= x и, следовательно, .Итак, количествоэлементов G,переводящихx вyравно порядкустабилизатораорбиты k.Следовательно,общее числоэлементов Gравно числуэлементоворбиты, умноженномуна k,что и требовалосьдоказать.

ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

(продолжение)

11. Конечныегруппы перемещений.

Вэтом параграфебудут установленынекоторые общиесвойства конечныхподгрупп группы

,n = 1, 2, 3.Пусть G- такая подгруппа.

Теорема11.

Всеперемещенияиз группы Gимеют общуюнеподвижнуюточку:

.

Доказательство.

Пустьзадан наборчисел

исистема точек в пространстве .Выберем началокоординат изададим точкирадиусамивекторами .Положим .Если выбратьдругое началокоординат, торадиусы векторыизменятся: .Следовательно, .Мы видим, чтоположение точкиP срадиусом векторомr независит отвыбора началапри условии,что .В частностиможно взять .Соответствующаяточка называетсяцентром тяжестиданной системыточек.

Пусть

.Выберем любуюточку и пусть О центртяжести орбитыточки P: .Пусть теперь произвольныйэлемент. Посколькуорбиты точекP иg(P)совпадают,имеем: ,что и требовалось.

Замечание.

Есливыбрать неподвижнуюточку Oза началокоординат, томожно считать,что G- подгруппагруппы

.

Теорема12.

Пусть

- все те перемещениягруппы G,которые имеютопределитель1. Предположим,что в Gсодержитсятакже перемещениеg сопределителем(-1). Тогда всеэлементы попарноразличны изадают полныйсписок перемещенийиз Gс определителем(-1).

Доказательство.

Умножаяравенство

на ,получаем: и потомууказанныеэлементы различнымежду собой.Посколькуопределительпроизведенияравен произведениюопределителей,все эти перемещенияимеют определитель(-1). Остаетсяпроверить, чтоданный списоксодержит всеперемещенияс определителем(-1). Пусть такоеперемещение.Элемент имеетопределитель1 и потому равенодному из элементов .Но тогда .

12. Конечныегруппы перемещенийплоскости.

Теорема13.

Пусть

подгруппа,состоящая изn элементов.Тогда Gсовпадаетс циклическойгруппой .

Доказательство.

Будеминтерпретировать

как множествовсевозможныхповоротов плоскости на угол aвокруг некоторойточки O.Пусть любая точкаотличная отО. Если ,то - тождественноепреобразование.Следовательно,St(A,G) -тривиальнаяподгруппа ипо теореме 10 орбита состоит из nточек, расположенныхна окружностирадиуса d(O,A)с центромО. Будем проходитьокружностьв положительномнаправлениии последовательнонумероватьточки орбиты: ( ).Из всех углов = выберем наименьший .Если ,то преобразование и переводитточку в точку ,то есть g= .Но тогда, если - любая точкаорбиты, то также точкаорбиты и, посколькувнутри дуги нет точек орбиты,из предположения следовало бы,что угол меньше j,что невозможно.Итак, .Отсюда следует,что j=2p/n,точки орбиты- вершины правильногоn -угольникаY иGсовпадает смножествомвсех поворотов,которые переводятY всебя, что итребовалось.

Замечание.

Мыне исключаемслучаи n= 1 или 2. В первомслучае

- тривиальнаягруппа, а вовтором онасодержиттождественноеперемещениеи поворот на180°.

Теорема14

Всякаяконечная группаG перемещенийплоскостисовпадает содной из групп

или ( - группа, состоящаяиз тождественногопреобразованияи отраженияотносительнонекоторойпрямой.).

Доказательство.

Потеореме 11 можносчитать, чтовсе преобразованияиз Gимеют общуюнеподвижнуюточку О так что

.Если все преобразованияиз Gимеют определитель1 , по предыдущейтеореме Gсовпадаетс одной изциклическихгрупп. Пустьв Gимеетсяпреобразованиеg сопределителем(-1). По теореме12 полныйсписок элементовGвключает nповоротов и nотражений .Повороты, входящиев G,образуют подгруппу ,совпадающуюс по предыдущейтеореме. Пусть - прямые, относительнокоторых происходятотражения(зеркала из G).Заметим, чтовсе эти прямыепроходят черезначало координатО. Если и g -любой элементэтой группы,то - отражениеотносительнопрямой g(l).Значит, G- группапреобразованиймножества .Отсюда следует,что - диагоналиправильного2n - угольника с центром О.Поэтому -правильныйn угольники Gреализуетсякак его группасимметрий тоесть .(Случаиn = 1 иn = 2 следуетрассмотретьотдельно).

13. Лемма Бернсайда

Чтобы продвинутьсядальше в изученииконечных групппреобразованийустановимважный результато количествеорбит такойгруппы. В следующейтеореме предполагается,что G- конечнаягруппа преобразованийконечногомножества X.Знак модуляиспользуетсядля обозначениячисла элементовсоответствующегомножества.Обозначимчерез Fixgмножествонеподвижныхточек преобразованияg

: .

Теорема15.

ЧислоN = N(X,G)орбит группыG наX даетсяформулой:

.

Доказательство.

Напомним,что по теореме10

,где kпорядокстабилизатораорбиты, то естьчисло элементовгруппы St(x,G).Пусть - все орбиты Gи - любой элемент.Тогда и потому .Как нам известно, ,если xи точки однойорбиты. Поэтомуформулу можнозаписать ввиде: (1) Для всех и определимфункцию q(x,g)= .Заметим, что ; . Поэтому(1) можно переписать: ,что и требовалось.

Пример

Стандартныйпример применениялеммы Бернсайда- перечислениеобъектов, обладающихопределеннойсимметрией.Подсчитаем,например, количествоправильныхшестиугольниковвершины которыхпомечены символами1 и 2, причем одинаковымисчитаются такиепомеченныефигуры, которыесовмещаютсяпри некоторомповороте («проблемаожерелья с 6бусинками»).Здесь элементамимножества Xявляютсяправильныешестиугольники(в некоторомстандартномрасположениина плоскости),у которых ввершинах расставленысимволы 1 и 2. Ясно,что всего имеется

=64таких фигур.Группа является группойпреобразованийXи надо подсчитатьчисло орбит.Используя леммуБернсайда,сводим задачук вычислению для каждого .Принадлежностьнекоторогопомеченногошестиугольникаэтому множествуозначает, чтоте его вершины,которые переходятдруг в другапри поворотеgимеют одинаковуюметку. Если g- тождественноепреобразование,то и содержит 64элемента. Еслиg поворот(в ту или другуюсторону) на60°, то всевершины шестиугольникаиз имеютодинаковыеметки и потомуих количестворавно 2. Аналогично,для поворотана 120° состоит из 4, адля поворотана 180° - из8 элементов.Отсюда находимчисло орбит:N=1/6*(64+2*2+2*4+8) = 14. Еслипомеченныешестиугольникиможно не толькоповорачивать,но и подвергатьотражению, тогруппа преобразованийувеличиваетсядо ,а число орбит,как нетрудноподсчитать,уменьшаетсядо 13.

Другойпример применениялеммы Бернсайдабудет дан вследующемпараграфе.

ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

(окончание)

14. Группы правильныхмногогранников.

Хорошо известно(по крайнеймере со временЕвклида), чтов пространствесуществуетровно 5 правильныхмногогранников. Это - тетраэдр,гексаэдр (куб),октаэдр, додекаэдри икосаэдр.Названия этихмногогранниковпроисходятот латинскихчислительных,указывающихколичествограней этихфигур. В переводеэто 4-, 6-,8-,12-, и 20- гранники.Некоторыеавторы причисляютк числу правильныхмногогранниковеще и диэдр -многогранникс 2 гранями, которыеявляются правильнымиn-угольниками.Эта фигураудовлетворяетвсем условиям,которые задаютправильныймногогранник,за исключениемтого, что егообъем равен0. Опишем краткогруппу

-симметрийкаждого из этихмногогранников.

1. Диэдр. Пустьдиэдр реализованв виде правильногоn- угольникав плоскостиp и l- прямая,перпендикулярнаяp , проходящаячерез его центрсимметрии.Группа симметрийдиэдра содержитповороты науглы, кратные2p/nвокруг l.Кроме того,если m-любая осьсимметриимногоугольника,то поворотвокруг этойоси на 180°переводитдиэдр в себяи действуетна многоугольниктак же как отражениеотносительноэтой оси в плоскостимногоугольника.Таким образом,группа симметриидиэдра намногоугольникесовпадает сдиэдральнойгруппой

   ,но все ее элементыв рассматриваемомслучае реализуютсявращениями.Эта группаобозначается
   и называетсяпространственнойдиэдральной.(заметим,что
   ).

2. Тетраэдр.

   Тетраэдримеет 4 грани,6 ребер и 4 вершины.Это единственныйправильныймногогранникне имеющийцентра симметрии. Повороты,переводящиететраэдр всебя это, преждевсего, вращенияна углы, кратные2p/3 вокруг4 осей, проходящихчерез вершинуи центр противоположнойграни (ось Lна рисунке1). Кроме тоготетраэдр самосовмещаетсяпри поворотахна угол 180°вокруг осей,соединяющихсерединыпротивоположныхребер (ось Mна рисунке1). Таким образомгруппа тетраэдраT содержит12 элементов.
3. 
   

4. Октаэдри куб. Эти двамногогранникадвойственныв следующемсмысле:центры гранейкуба являютсявершинамиоктаэдра инаоборот - центрыграней октаэдрасуть вершиныкуба (рис. 2, 3)

   
   Кубимеет 6 граней,12 ребер и 8 вершин,а октаэдрсоответственно8,12 и 6.Перечислимповороты, которыепереводят кубв себя. Преждевсего это вращенияна углы кратныеp/2 вокругтрех осей,проходящихчерез центрыпротивоположныхграней (осьL). Затем этовращения науглы кратные2p/3 вокруг4-х осей, проходящихчерез противоположныевершины (осьN).Наконец имеетсяеще 6 поворотовна углы pвокруг осей,проходящихчерез серединыпротивоположныхребер (осьM).Добавляятождественноепреобразованиемы получаемгруппу октаэдраW (онаже группа куба)из 24 элементов.

5. Икосаэдри додекаэдр. Эти двамногогранниканаходятся втакой же двойственности,как куб и октаэдр- центры гранейодного из нихявляются вершинамидругого и поэтомуих группы симметрийсовпадают.

   Икосаэдримеет 20 граней,30 ребер и 12 вершин,а додекаэдрсоответственно12, 30 и 20. Группаикосаэдрасодержит поворотына углы кратные2p/3 вокруг10 осей, проходящихчерез центрыпротивоположныхграней, поворотына углы кратные2p/5 вокруг6 осей, проходящихчерез противоположныевершины и, наконец,повороты наp вокруг15 осей, проходящихчерез серединыпротивоположныхребер. Вся группаикосаэдраP содержит60 элементов.

Замечание1.

Потеореме 12 полныегруппы симметриимногогранников(включающиеи перемещенияс определителем(-1) ) содержат ровновдвое большеэлементов, чемгруппы

- симметрий.Это группы , ,содержащиесоответственно4n,24, 48 и 120 элементов-поворотов изеркальныхповоротов.

Замечание2.

Группыправильныхмногогранниковможно задаватьсоответствующимнабором кватернионов.Напомним, чтоповорот на уголa вокругоси, заданнойединичнымвектором

задается кватерниономq = cosa/2+nsina/2.Приведем (безобоснования) описание группT, W иP спомощью кватернионов.

ГруппаT.

Выберемоси координаттак, чтобы онипроходили черезсерединыпротивоположныхребер тетраэдра(эти прямыепопарно ортогональны).Рассмотрим16 единичныхкватернионоввида

,а также 8 кватернионов Оказывается,что произведениелюбых двухкватернионовуказанноговида сновабудет кватерниономтакого же вида.Всего мы имеем24 кватерниона.Если рассмотретьповороты, заданныеэтими кватернионами,то учитывая,что qи (-q)задают одинаковыевращения, получаемгруппу вращенийиз 12 элементов.Оказывается,что это в точностигруппа T.

ГруппаW.

Здесьестественновыбрать оси,параллельныеребрам куба.К рассмотреннымвыше 24 кватернионамдобавим еще24 вида

,где sи tкакая то пара(различных)единиц 1,i, j, k. Всего получаем48 кватернионов,которые задаютгруппу вращенийпространстваиз 24 элементов.Оказывается,что это в точностигруппа W.Отметим, что,по построению - подгруппа.Это включениевозникаетпотому, чтотетраэдр можновписать в куб- две пары противоположныхвершин параллельныхграней кубаявляются вершинамитетраэдра икаждый поворот,входящий вгруппу Tпереводиткуб в себя, тоесть содержитсяв группе W.

ГруппаP.

Вкачестве координатныхосей выберемдиагонали трехсмежных гранейдодекаэдра.Рассмотрим24 кватернионаиз первогопримера. Присоединимк ним еще 96 единичныхкватернионов,которые получаютсяследующимобразом. Рассмотрим4 числа

, , , .Заметим, что Пусть - четная перестановкаиндексов 1, 2, 3, 4 .Рассмотримчисла Их действительно96, поскольку .Всего получается120 кватернионов,задающих группуP из60 элементов.

15.Классификацияконечных группвращений впространстве.

Теорема16.

Всякаяконечная подгруппа

совпадает содной из групп ;

Доказательство.

Мыдокажем только,что всякаятакая группасодержит столькоже элементов,что и одна изгрупп указанныхв списке. Остающуюся(чисто геометрическую!)часть рассуждениймы оставляемчитателю.

ПустьG состоитиз Nэлементов.Каждый элемент

,отличный оттождественногопредставляетсобой вращениевокруг некоторойоси, проходящейчерез началокоординат О.Назовем полюсамиточки пересеченияэтих осей сосферой радиуса1 с центром О.Пусть -множество всехполюсов. Еслиs -вращениевокруг оси l,проходящейчерез полюсx ,то s(x)= x. Если g(x)= y , то ,то есть -вращение сполюсом y.Значит, G- группапреобразованиймножества X.Пусть орбиты Gна X.Число полюсовв орбите согласно теореме10 равно ,где -порядок стабилизатораорбиты. Значит, .Заметим, что .По лемме Бернсайда .Отсюдаполучаем: .Если N=1,то .Пусть N>1.Тогда праваячасть последнегоравенства -число aмежду 1 и 2 (1Јa1.Но, поскольку ,каждое слагаемоеслева не меньше1/2. Поэтому, 4 илибольше слагаемыхслева быть неможет. Итак, k=2 или k=3. Если k=2 , то или ,откуда .Два полюса (наодной оси!)порядка Nсоответствуютслучаю группы .Пусть теперьk = 3.Соотношениепринимает вид: .Пусть .Если ,то сумма слеваменьше 1, чтоневозможно.Значит, и равенствопринимает вид: .Если ,то сумма небольше 1/2, чтоневозможно.Итак, или =3. Если ,то .Это случайгруппы .Пусть, наконец, .Имеем: ,откуда .Для находим N= 12, что соответствуетслучаю группыT.Для получаем N= 24 - случайгруппы W,Наконец при - N = 60 имы приходимк группе P.

16.Пространственныегруппы, содержащиезеркальныеотражения.

ПустьS конечнаягруппа перемещенийв пространствесодержащаяпреобразованияс определителем(-1). По теореме12 такая группасодержит 2nэлементов

,причем первыеn ееэлементов имеютопределитель1 и составляютподгруппуG=G(S), а последниеn имеютопределитель(-1) и получаютсяиз элементовподгруппы путемих умноженияна любой фиксированныйэлемент gс определителем(-1): Напомним, чтобуквой Zбыла обозначенасимметрияотносительноначала координат(зеркальныйповорот на p).Это перемещениеперестановочнос любым другими .

Теорема17.

ПустьS конечнаягруппа перемещенийв пространствеи

.Если G(S)= { },то S = { }.

Доказательство.

Теоремаочевидна, таккак det(Z)= -1.

Замечание.

ГруппаS в этомслучае обозначается

Теорема18.

ПустьS конечнаягруппа перемещенийв пространствеи

.Если G(S)= { },то множество является группой -преобразований. Обратно, еслиГ любая группавращений из2n элементов,содержащаяG,то, домножаявсе элементыиз Г-Gна Z,получаем группуперемещенийS, для которойG(S)= G.

Доказательство.

Надопроверить, что

и .Если ,то эти условиявыполненыпоскольку G- группапреобразований.Если ,тони один из элементов не входит в Gи потому этомножествосовпадает смножеством{ }.Поэтому .Аналогично,поскольку ниодин из элементов не входит в G,все произведения и потому .Таким же образомубеждаемся,что и, значит, .Обратное утверждениетеоремы проверяетсяточно такимже образом.

Замечание.

Стандартноеобозначениедля S вэтом случае-

.

Следствие.

Конечнаягруппа перемещенийпространства,содержащаязеркальныевращения совпадаетс одной из групп( в скобкахуказаны ихпорядки):

(2n), (4n), (24), (48), (120);

(2n), (2n), (4n), (24).

Замечание1.

Полныегруппы симметрийправильныхмногогранниковполучаютсяпо способу,указанномув теореме 17, еслиэтот многогранникимеет центрсимметрии. Впротивномслучае используетсяконструкциятеоремы 18.

Следовательно,это следующиегруппы:

, , , , .

Замечание2.

Назовем флагоммногогранникатройку (D,R, v), где D-некоторая егогрань, R- одно из ребер,ограничивающихэту грань и v- вершина,лежащая на этомребре. Многогранникназываетсяправильным(это одно извозможныхопределений), если для любыхдвух его флагов

и существуетперемещение,переводящеемногогранникв себя и отображающеепервый флагво второй. Посколькуперемещениеоставляющеефлаг неподвижнымочевидно являетсятождественным,мы видим, чтопорядок группыG правильногомногогранникасовпадает сколичествомего флагов.Таким образом, =2Гr,где Г - количествоего граней, r- количестворебер, ограничивающихнекоторуюгрань, 2 - количествовершин на ребре.