Момент инерции плоской пластины относительно осей ох, оу, начала координат:
J0=Jx+Jy
если пластина однородная, то ро вышвыривается на фиг и считается равной 1.
2 Сходимость функциональных последовательностей и рядов
Функциональной последовательностью заданной на множестве Е, наз. последовательность ф-ций {fn(x)} (1)определенных на Е и принимающих числовые действительные значения.
Пусть задана поледовательность числовых ф-ций {un(x)} Формальнг написанную сумму:
(2) называют функциональным рядом на множестве Е, а ф-цию un(x) – его членами. Аналогично случаю числовых рядов сумма: Sn(x) = u1(x)+u2(x)+…+un(x) называется частичной суммой ряда n порядка, а ряд: un+1? un+2… - его n-ным остатком. при каждом фиксированном х = х0 Î Е получим из (1) числовую последовательность {fn(x0)}, а из (2) – числовой ряд , которые могут сходится или расходится. если кто-нибудь из оных сходится, то сходится и функциональная посл (1) в т х0, и сия точка наз. точкой сходимости.Если посл(1) сход на м-ж Е, то ф-ция f, определенная при "xÎEf(x) =
назывется пределом посл (1), если ряд(2) сходится на м-ж Е, то ф-ция S(x) определенная при "xÎ Е равенствомS(x)=
называется суммой ряда (2).
Остаток ряда сходится только когда на этом же м-ж сходится сам ряд., если обозначить сумму остатка ряда через rn(ч), то S(x) = Sn(x)+rn(x)
Если ряд (2) сходится абсолютно, то он наз абсолютно сходящимся на м-ж Е. Множество всех точек сходимости функционального ряда наз областью сходимости. Для определения области сходимости можно использовать признак Даламбера и Коши. С ихнею помашшю ф-ц ряд исследуется на абсолютную сходимость Например, если существует и , то ряд (2) абсолютно сходится при k(x)<1 и расходится при k(x)>1.№11
1 Тройные интегралы
Пусть на некоторой ограниченной замкнутой области V трехмерного пространства задана ограниченная ф-ция f (x,y,z). Разобьем область V на n произвольных частичных областей, не имеющих общих внутренних точек, с объемами DV1… DVn В каждой частичной области возбмем произв. точку М с кооорд Mi(xi,hi,ci) составим сумму:
f(xi,hi,ci)×DVi, кот наз интегральной суммой для ф-ции f(x,y,z). Обозначим за l максимальный диаметр частичной области. Если интегральная сумма при l- 0 имеет конечный предел, то сей предел и называется тройным интегралом от ф-ции f(x,y,z) по области V И обозначается:2 Равномерная
сходимость функциональных
последовательностей и рядов.
Признак Вейерштрасса.
Ф-циональную последовательность {fn)x)} xÎE наз. равномерно сходящейся ф-цией f на м-ж Е, если для Îe >0, сущ номер N, такой, что для " т х ÎE и "n >N выполняется ¹-во: |fn(x)-f(x)|<e. Если м-ж {fn)x)} равномерно сходится на м-ж Е, то она и просто сходится в ф-ции f на сем м-ж. тогда пишут: fn-f.
наз. равномерно сходящимся рядом, если на м-ж Е равномерно сходится последовательность его частичной суммы. , т. ен. равномерная сходимость ряда означает:Sn(x) -f(x) Не всякий сходящийся ряд является равномерно сходящимся, но всякий равномерно сходящийся – есть сходящийся (не, вот это наверное лет 500 выдумывали.)Т. (Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда)
Если числовой ряд:
(7),где a >=0 сходится и для "xÎE и "n = 1,2… если выполняется нер-во |un(x)|<=an(8), ряд
(9) наз абсолютно и равномерно сходящимся на м-ж Е.Док-вы:
Абсолютная сходимость в каждой т. х следует из неравенства (8) и сходимости ряда (7). Пусть S(x) – сумма ряда (9), а Sn(x) – его частичная сумма.
Зафиксируем произвольное e >0 В силу сходимости ряда (7) сущ. номера N, "n >N и вып. нерво
Следовательно: |S(x)-Sn(x)| =
Это означает, что Sn(x) -S(x) что означает равномерную сходимость ряда..
№12
1 Замена переменных
в тройном интеграле.
Если ограниченная замкнутая область пространства V = f(x,y,z) взаимно однозначно отображается на область V’ пространства = (u,v,w) Если непрерывно дифференцируемы функции: x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w) и существует якобиан
то справедлива формула:
При переходе к цилиндрическим координатам, с вязанными с x,y,z формулами: x=rcosj, y=rsinj, z=z (0<=r<=+¥, 0<=j <= 2p, -¥<=z<=+¥)
Якобианпреобразования:
И поэтому в цилиндрических координатах переход осуществляется так:
При переходе к сферическим координатам: r? jq, связанными с z,y,z формулами x=rsinq×cosj,
y=r sinqsinj, z=rcosq.
(0<=r<=+¥, 0<=j <= 2p,
0<=q <=2p)
Якобиан преобразования:
Т. е. |J|=r2×sinq.
Итак, в сферических координатах сие будет:
2 Свойства равномерно
сходящихся рядов
Т1 Если ф-ция un(x), где х Î Е непрерывна в т. х0 ÎE и ряд
(1) равномерно сходится на Е, то его сумма S(x) = также непрерывна в т. х0.Т2 (Об поюленном интегрировании ряда)
Пусть сущ. ф-ция un(x) ÎR и непрерывная на отр. [a,b] и ряд
(3) равномерно сходится на этом отрезке, тогда какова бы ни была т. х0 Î [a, b] (4) тоже равномерно сходится на [a,b]. В частности: при x0 = a, х = b: т. е. ряд (3) можно почленно интегрировать.Т3 (о почленном дифференцировании ряда)
Пусть сущ. ф-ция un(x) ÎR и непрерывная на отр. [a,b] и ряд её производных
(6) равномерно сходящийся на отр [a,b] тогда, если ряд сходится хотя бы в одной точке x0 Î [a,b] то он сходится равномерно на всем отрезке [a,b], его сумма S(x) = является непрерывно дифференцируемой ф-цией иS’(x)=
(9)В силу ф-л ы (8) последнее равенство можно записать:
(
)’ =So ряд (7) можно почленно дифференцировать
№13
1 Приложения
тройных интегралов
Объем тела
Масса тела:
, где r(М) = r(x,y,z) - плотность.Моменты инерции тела относительно осей координат:
Момент инерции относительно начала координат:
Координаты центра масс:
m – масса.Интегралы, стоящие в числителях выражают статические моменты тела: Myz, Mxz, Mxy относит коорд плоскостей oyz, oxz, oxy. Если тело однородное: r(М) = const, то из формул она убирается и оне упрощаются как в 2ных интегралах.
2 Степенные ряды. Теорема Абеля
Степенным рядом наз функциональный ряд вида: a0+a1x+a2x2+… + anxn =
(1) xÎR членами которого являются степенные ф-ции. Числа anÎR, наз коэффициентами ряда(1). Степенным рядом наз также ряд:a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2… + an(x-x0)n =
(2)Степенной ряд (1) сходится абсолютно по крайней мере в т. х = 0, а ряд (2) в т х = х0, т .е в этих случаях все лены кроме 1 равны 0. Ряд (2) сводится к ряду (1) по ф-ле у = х-х0.