7.
Интегрирование по частям: òudv=uv-òvdu. До-во: Пусть u(x) и v(x) – функции от х с непрерывными производными. D(uv)=udv+vdu,Þudv=d(uv)-vduÞ(интегрируем) òudv=òd(uv)-òvdu или òudv=uv-òvdu.
Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен:
Первый интеграл табличного вида: òdu/uk:
Второй интеграл сводится к нахождению интеграла: где u=x+p/2, a=
Интегрирование рациональных функций: R(x)=P(x)/Q(x), R(x)-рациональная функция, P(x) и Q(x)-многочлены. Дробь P(x)/Q(x) можно разложить в сумму простейших дробей, где Ai, Bi, Ci – постоянные, а именно: каждому множителю (x-a)k в представлении знаменателя Q(x) соответствует в разложении дроби P(x)/Q(x) на слагаемые сумма k простейших дробей типа
Правила интегрирования рациональных дробей:
Правую рац. дробь разлагают на сумму простейших дробей. Этим самым интегрирование правильной рац. дроби сводят к интегрированию простейших дробей.
8.
Интегрирование тригонометрических функций:
I. 1 Интеграл вида:
2 R(sinx, cosx) – нечетная функция относительно sinx, то cosx=t.
3 R(sinx, cosx) – нечетная функция относительно cosx, то sinx=t.
4 R(sinx, cosx) – нечетная функция относительно sinx и cosx, то tgx=t.
II. 1
2 Оба показателя степени m и n – четные положительные числа: sinxcosx=1/2 sin2x; sin2x=1/2(1-cos2x); cos2x=1/2(1+cos2x).
III. òtgmxdx и òctgmxdx, где m-целое положительное число. tg2x=sec2x-1 или ctg2x=cosec2x –1.
IV. òtgmxsecnxdx и òctgmxcosecnxdx, где n – четное положительное число. sec2x=1+tg2x или cosec2x=1+ctg2x.
V. òsinmx*cosnxdx, òcosmx*cosnxdx, òsinmx*sinnxdx; sinacosb=1/2(sin(a+b)+sin(a-b)); cosacosb=1/2(cos(a+b)+cos(a-b)); sinasinb=1/2(cos(a-b)-cos(a+b));
9.
Интегрирование иррациональных функций:
I. 1 òR(x,
2 òR(x,
II. 1
2
3
4
III. 1
2
3
10.
Определенный интеграл:
1) интервал [a,b], в котором задана функция f(x), разбивается на n частичных интервалов при помощи точек a=x0<x1<…<xn–1<xn=b;
2) Значение функции f(xI) в какой нибудь точке xiÎ[xi–xi–1] умножается на длину этого интервала xi–xi–1, т.е. составляется произведение f(xi)(xi–xi–1);
3)
I=
*1. Определенным интегралом называется предел интегральной суммы
Т1. (Необходимое условие существования интеграла): Если ОИ существует, т.е. функция f(x) интегрируема не [a,b], то f(x) ограничена на этом отрезке. Но этого не достаточно. Док-во: Функция Дирихле: