Математика. Интегралы (стр. 2 из 2)

7.

Интегрирование по частям: òudv=uv-òvdu. До-во: Пусть u(x) и v(x) – функции от х с непрерывными производными. D(uv)=udv+vdu,Þudv=d(uv)-vduÞ(интегрируем) òudv=òd(uv)-òvdu или òudv=uv-òvdu.

Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен:

Первый интеграл табличного вида: òdu/u^k:

Второй интеграл сводится к нахождению интеграла: где u=x+p/2, a=

, q-p²/4>0

– рекуррентная формула.

Интегрирование рациональных функций: R(x)=P(x)/Q(x), R(x)-рациональная функция, P(x) и Q(x)-многочлены. Дробь P(x)/Q(x) можно разложить в сумму простейших дробей, где A_i, B_i, C_i – постоянные, а именно: каждому множителю (x-a)^k в представлении знаменателя Q(x) соответствует в разложении дроби P(x)/Q(x) на слагаемые сумма k простейших дробей типа

а каждому множителю (x²+px+q)^t соответствует сумма t простейших дробей типа . Таким образом при разложении знаменателя Q(x) на множители имеет место разложение дроби P(x)/Q(x) на слагаемые.

Правила интегрирования рациональных дробей:

1. Если рац. дробь неправильная, то её представляют в виде суммы многочлена и неправильной дроби.
2. Разлагают знаменатель правильной дроби на множетели.

Правую рац. дробь разлагают на сумму простейших дробей. Этим самым интегрирование правильной рац. дроби сводят к интегрированию простейших дробей.

8.

Интегрирование тригонометрических функций:

I. 1 Интеграл вида:

2 R(sinx, cosx) – нечетная функция относительно sinx, то cosx=t.

3 R(sinx, cosx) – нечетная функция относительно cosx, то sinx=t.

4 R(sinx, cosx) – нечетная функция относительно sinx и cosx, то tgx=t.

II. 1

2 Оба показателя степени m и n – четные положительные числа: sinxcosx=1/2 sin2x; sin²x=1/2(1-cos2x); cos²x=1/2(1+cos2x).

III. òtg^mxdx и òctg^mxdx, где m-целое положительное число. tg²x=sec²x-1 или ctg²x=cosec²x –1.

IV. òtg^mxsecⁿxdx и òctg^mxcosecⁿxdx, где n – четное положительное число. sec²x=1+tg²x или cosec²x=1+ctg²x.

V. òsinmx*cosnxdx, òcosmx*cosnxdx, òsinmx*sinnxdx; sinacosb=1/2(sin(a+b)+sin(a-b)); cosacosb=1/2(cos(a+b)+cos(a-b)); sinasinb=1/2(cos(a-b)-cos(a+b));

9.

Интегрирование иррациональных функций:

I. 1 òR(x,

, ,…)dx, k-общий знаменатель дробей m/n, r/s…. x=t^k, dx=kt^k–1dt

2 òR(x,

, …)dx, , x= , dx=

II. 1

Вынести 1/Öa или 1/Ö-a. И выделим полные квадраты.

2

3

Разбить на два интеграла.

4

III. 1

2

3

1)p-целое число x=t^S, где s- наименьшее общее кратное знаменателей у дробей m и n. 2) (m+1)/n –целое число: a+bxⁿ=t^S; 3) p+(m+1)/n-целое число: a^-n+b=t^S и где s- знаменатель дроби p.

10.

Определенный интеграл:

1) интервал [a,b], в котором задана функция f(x), разбивается на n частичных интервалов при помощи точек a=x₀<x₁<…<x_n–1<x_n=b;

2) Значение функции f(x_I) в какой нибудь точке x_iÎ[x_i–x_i–1] умножается на длину этого интервала x_i–x_i–1, т.е. составляется произведение f(x_i)(x_i–x_i–1);

3)

, где x_i–x_i–1=Dx_i;

I=

– этот предел (если он существует) называется определенным интегралом, или интегралом от функции f(x) на интервале [a,b], обозначается

*1. Определенным интегралом называется предел интегральной суммы

при стремлении к нулю длинны наибольшего частичного интеграла (в предположении, что предел существует).

Т1. (Необходимое условие существования интеграла): Если ОИ существует, т.е. функция f(x) интегрируема не [a,b], то f(x) ограничена на этом отрезке. Но этого не достаточно. Док-во: Функция Дирихле: