Математическая теория захватывания (стр. 1 из 2)
Введение и краткое резюме
Настоящая работа посвящена исследованию движений автоколебаний системы с одной степенью свободы под действием внешней периодической силы. Такие движения представляют интерес для радиотелеграфии (например, к исследованию таких движений сводится теория регенеративного приемника). Особенно замечательно здесь явления так называемого "захватывания". Это явление заключается в том, что, когда период внешней силы достаточно близок к периоду автоколебаний системы, биения пропадают; внешняя сила как бы "захватывает" автоколебания. Колебания системы начинают совершаться с периодом внешнего сигнала, хотя их амплитуда весьма сильно зависит от амплитуды "исчезнувших" автоколебаний. Интервал захватывания зависит от интенсивности сигнала и от автоколебательной системы.
Теоретически этот вопрос уже разбирался, однако методами математически недостаточно строгими; кроме того, бралась характеристика весьма частного вида - кубическая парабола. Поэтому мы будем рассматривать случай произвольной характеристики при колебаниях близких к синусоидальных.
В этой работе мы рассмотрим периодические решения с периодом, равным периоду внешней силы, и их устойчивость при малых отклонениях. Мы оставим в стороне другие стационарные движения, возможные в исследуемой системы, например периодические решения с периодом, кратным периоду внешней силе, или квазипериодические решения. Мы оставим в стороне важный вопрос об устойчивости при больших отклонениях
Для отыскания периодических решений воспользуемся методом Пуанкаре, которые позволяют быстро решить задачу для случая колебаний, достаточно близких к синусоидальным. С этой целью введем в наше уравнение параметр m таким образом, чтобы при m = 0 уравнение превращалось в линейное и колебания делались синусоидальными. Этот параметр m, который мы предполагать достаточно малым, может иметь различный смысл в зависимости от выбора системы.
Для решения вопроса об устойчивости найденного решения при малых отклонениях воспользуемся методами Ляпунова, требуя, чтобы искомые решения обладали "устойчивостью по Ляпунову".
В настоящей работе мы не будем вычислять радиусы сходимости тех рядов, с которыми нам придется иметь дело; грубая оценка может быть сделана по Пуанкаре.
В § 1 и 2 рассматривается область достаточно сильной расстройки; § 3 и 4 посвящены рассмотрению области резонанса; в § 5 показывается, как общие формулы для амплитуд и для устойчивости, полученные в § 1- 4, могут быть применены в конкретных случаях, причем в качестве примера рассматривается случай Ван дер Поля. Результаты применения общих формул совпадают с теми, которые получил нестрогим путем Ван дер Поль.
§ 1 Отыскание периодического решения в случае достаточно сильной расстройки.
Уравнение, которое нас будет интересовать:
При m = 0 это уравнение имеет единственное периодическое решение
Рассмотрим случай, когда m бесконечно мало. Согласно Пуанкаре мы будем искать решение (1) в следующем виде:
Начальные условия выберем так:
F2 - степенной ряд по b1b2, m начинающийся с членов второго порядка. Подставим (3) в (1):
 |
Сравнивая коэффициенты при b1b2, m получим уравнение для А, В, С. Начальные условия можно получить для них, подставив (4) в (3).
Решая задачи Коши, получим:
Для того, чтобы (3) представляли периодические решения необходимо и достаточно, чтобы
Введем обозначения
; для остальных функций аналогично.Тогда (6) запишется в виде:
Если в этой системе можно b1b2 представить в виде функции m так, чтобы b1b2, m исчезли из системы (7) , то (3) - периодическое решение уравнения (1). Иначе Х- не периодично. Достаточным условием существования периодического решения при малых m служит неравенство 0 Якобиана.
 |
В нашем случае:
Т.е. мы всегда имеем периодические решения при малых m и любых f. Искомое периодическое решение может быть найдено в виде.
§ 2 Исследование устойчивости периодического решения
Составим уравнения первого приближения, порождаемое решением (8). Сделаем замену: x =Ф(t) + x; в уравнении (1) при этом отбросим члены , содержащие квадраты и высшие степени x и x'.
 |
Воспользуемся тем фактом, что Ф (t) - решение уравнения. Получим уравнение первого приближения:
 |
Это линейное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами. Его решение мы будем искать в виде
функции времени 
Удовлетворяют тому же уравнению, что и x, то есть (10). Начальные условия для них определены следующим образом. 
; аналогичным образом можно показать, что 
(11).Представим правую часть уравнения в виде степенного ряда по m.
будем искать в виде: 
(12).Подставим (12) в (10) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях m, получим:
Начальные условия для Ао , Во, …. Следует выбрать так, чтобы выполнялись условия (11). Действительно подставляя (11) в (12) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях m, получим
Для В'о и Во аналогично. Для остальных же как видно из уравнений условия будут нулевые. Итак:
(14)Решение (13) можно найти при помощи квадратур:
(15)Если вспомнить общую теорию линейных диффуров с периодическими коэффициентами, то общее решение (10) имеет вид:
S1, S2 - периодические функции с тем же периодом, что и Ф (t). a1, a2 - характеристические показатели.
Если все
, т.е. колебания затухают, то в этом случае выполняется теорема, доказанная Ляпуновым, относительно того, что периодическое решение уравнения первого приближения вполне устойчиво. Согласно Пуанкаре характеристические показатели можно определить из следующего уравнения: 
=0 (16) Полагаем 
; 
Тогда определитель будет:
Вопрос об устойчивости, как сказано выше, решается знаком Re (a), или что все равно ÷l÷ . Если ÷l÷ < 1 имеет место устойчивость ÷l÷ = 1 этот случай для нашей задачи не представляет интереса. ÷l÷> 1 имеет место неустойчивость.
При рассмотрении (18) имеют место 2 случая q > р2; q < р2; В первом случае l-комплексные; ½l2½=q; (20) если q<1; устойчивость q>1 - неустойчивость.
Случай второй - l - действительные:
; (21) устойчивость соответствует 
p и q нетрудно получить в виде рядов по степени m из формул (19) (12). 
(22)Если принять во внимание (15)
(22a) 
(23)Мы видим, что при достаточно малом m и w¹n; n 'Z вопрос об устойчивости решается величиной q и следовательно знаком b, если b < 0- имеет место устойчивость, b > 0 - неустойчивость.