Курслекций
Математическиемодели в естествознании
1996 г.1

Часть1
Основы математическойгенетики2

ЗаконыМенделя4

ЗаконХарди- Вайнберга8

Курс лекций
Математическиемодели в естествознании
1996 г.

Работанад любойматематическоймоделью начинаетсясо сбора и анализафактическогоматериала.Определяютсяцели моделирования.Выделяютсяглавные чертыизучаемогообъекта илиявления. Вводятсяформализованныехарактеристики.Принимаютсяправила работыс ними. В результатевозникаетматематическийобъект, которыйи называетсяматематическоймоделью. Разрабатываютсяметоды математическогоанализа модели,которыми онаисследуется.Полученныерезультатыматематическогомоделированияинтерпретируютсяв рамках исходногофактическогоматериала, чтопозволяетоценить степеньадекватностимодели. Результатымоделированияне должныпротиворечитьвыделеннымранее ключевымэкспериментальнымфактам. Одновременно,модель не можетобъяснить всестороны изучаемогообъекта илиявления.

Хорошаямодель, кромеобъясненияизвестных,должна даватьвозможностьпредсказыватьновые свойства.Математическоемоделированиешироко используетсятам, где экспериментальныеисследованиятрудоемки идорогостоящи,или вообщеневозможны(например, визучении социальныхявлений).

Кромезадачи о прогнозе,математическоемоделированиепомогаетклассифицироватьи систематизироватьфактическийматериал, увидетьсуществующиесвязи в мозаикефактов. Этовытекает изтого, что модельявляетсяспецифическим-ярким и выразительнымязыком, предназначеннымдля описаниядля описанияизучаемогообъекта илиявления.

Мирматематическихмоделей разнообразен.Существуютразличные схемыих классификации.Однако, каждаямодель конкретнаи предназначенадля описаниядостаточноузкого кругаобъектов иявлений. Этонакладываетопределенныйотпечаток напредлагаемыйлекционныйкурс. Он включаетв себя модели.относящиесяк различнымобластяместествознания.Модели сильноотличаютсядруг от другане только предметнымиобластями, номатематическойтерминологией,а также математическимиметодами ихисследования.

Предпочтениеотдается болеепростым моделям.Отметим, что"простота"(иногда в ущербточности)-одиниз принципов,о котором всегданужно помнитьпри разработкематематическоймодели.

Часть1
Основы математическойгенетики

В1865 г. чешский монахГрегор Мендельопубликовалработу о результатахскрещиванияразновидностейгороха. В своихопытах Г. Мендельизучал закономерностинаследованиясеми пар альтернативныхпризнаков. Водном из опытовперекрестноскрещивалисьрастения сгладкими исморщеннымисеменами. Врезультатетакого скрещиванияв первом поколениивсе растенияимели гладкиесемена. Проявляющиесяпризнаки Г.Мендельназвал доминантными,а не проявляющиеся- рецессивными.Растениям,полученнымв первом поколении,была предоставленавозможностьсамоопыляться.Во втором поколениипоявились какгладкие, таки сморщенныегорошины. Приподсчете выяснилось,что 5 474 горошиныбыли гладкими,а 1 850 - морщинистыми.Доля гладкихгорошин оказаласьблизкой к 3/4, аморщинистых- к 1/4. Отношениеблизко к 3:1. Вовсех другихопытах длякаждой парыальтернативныхпризнаков(например, цветгорошин) доминантныйпризнак обнаруживалсяпримерно втроечаще рецессивного.Для объяснениярезультатовопытов Г.Мендельпредположил,что внешниепризнаки определяютсянекоторымивнутреннимифакторами(генами),которые могутнаходитьсяв одной из двухальтернативныхформ (теперьони называютсяаллелями).Были сделаныдва допущения.

1. Двафактора, определяющиеданный признак,в течении жизниорганизмасосуществуютнезависимодруг от друга,не сливаясьи не растворяясьодин в другом.Они расщепляютсяпри формированииполовых клеток,которые возникаютпарами. Однаиз половыхклеток несетв себе один, адругая - оставшийсяфактор.

2. Гены,определяющиеразличныепризнаки, наследуютсянезависимо.

РаботаГ.Менделя былане понята изабыта егосовременниками.В 1900 г. результатыбыли открытывновь. Началосьразвитие новойнауки -генетики.Согласно современнымпредставлениям,носителямигенов являютсянитевидныетела -хромосомы,которые располагаютсяв ядре клетки.Организмы,относящиесяк различнымбиологическимвидам имеютразную структуруи число хромосом.У человекакаждая клеткасодержит 46хромосом, угороха -14.Число хромосомчетно. Каждаяхромосома вклетке присутствуетв двух экземплярах,отличающихся,быть можеттолько аллелями(вариантами,или формами)генов. Такиепары хромосомназываютсягомологичными.Место, занимаемоеаллелью генав хромосоме,называетсялокусом.Можно представитьхромосому какпрямолинейныйотрезок, а локусыкак его последовательныеучастки.

Половыеклетки -гаметывозникают врезультатепроцесса, которыйназываетсямейозом.Гомологичныехромосомырасходятсяв разные концыклетки, и клеткаделится пополам.Гаметы содержатполовинныйнабор хромосом(у человека23). Зародышеваяклетка -зиготаобразуетсяпутем слияниямужской и женскойгамет и содержитполный наборхромосом. Иззиготы путемобычного деления- митозаобразуетсяновый организм.При митозекаждая хромосомасоздает своюточную копию.Оригиналы икопии расходятсяв разные клетки.Набор геновкаждой клеткиназываетсягенотипоморганизма.Описанная схемаупрощена. нов ней отражаютсяключевые моменты,которые используютсяпри разработкематематическоймодели.

Фенотипомназываетсясовокупностьвсех внешнихпризнаковорганизма.Фундаментальныйпринцип генетики- при неизменныхвнешних условияхфенотип организмаопределяетсяего генотипом.Некоторыепризнаки организмаопределяютсяне всем не всемгенотипом, атолько егочастью (в экспериментахГ.Менделя - двумяаллелями одногогена). Пол человекаопределяетсядвумя половымихромосомамиX и Y. Женскаязигота содержитдве хромосомыX, мужская-хромосомы Xи Y.

Матьпередает своемуребенку однуиз хромосомX. Отец передаетдочери хромосомуX, а сыну - хромосомуY. Таким образом,пол ребенказависит толькоот отца.

Совокупностьгенотипов, укоторых частьгенных набороводинакова,называетсяпопуляцией(по данным наборам).Численностьпопуляциисчитаетсядостаточнобольшой (бесконечной).Описыватьпопуляцию будемнабором частотгенотипов вданном поколении.Будем считать,что одно поколениесменяет другое,т.е. поколенияне перекрываются.

ЗаконыМенделя

РассмотримрассужденияГ.Менделя, используяописанные вышетермины. Заформу семянгороха отвечаетдвухаллельныйген. Его доминантнуюаллель (фенотип-гладкие семена)обозначим как, арецессивнуюкак a (сморщенныесемена). Генотипопределяетсяпарой аллелей.Возможны тригенотипа: AA,Aa, aa. ГенотипAa называетсягетерозиготным,а генотипы AA,aa -гомозиготными.Посколькуаллель A являетсядоминантным,то растенияпервых двухгенотипов будутиметь гладкиесемена, а третьего-морщинистые.

Напервом этапесвоего опытаГ.Мендель бралгомозиготныерастения AA, aa. Первый типдавал гамета,имеющие аллельA, второмусоответствовалигаметы с аллельюa.

Скрещиваниегомозиготныхрастений AA иaa (слияние гаметA и a) даетгетерозиготноерастение Aa.Последнее даетгаметы, несущиеаллели A и a.Какую из двухаллелей получитконкретнаягамета -делослучая и вероятностькаждого изсобытий 1/2.

Навтором этапеопыта Г.Менделяскрещивалисьгетерозиготныерастения. ГенотипAA у потомкаимеет место,если каждыйиз родителейпередал гаметус аллелем A.События независимые.ВероятностьP(AA) потомка сгенотипом AAравна 1/4. Аналогично,вероятностьP(aa) появленияпотомка aa также1/4. Вероятностьпоявленияпотомка с генотипомAa можно вычислитьпо дополнению:P(Aa)=1-1/4-1/4=1/2. Вероятностьтого, что растение-потомок двухгетерозиготныхродителей будетиметь гладкиесемена: P(AA)+P(Aa)=1/4+1/2=3/4.Морщинистыесемена будутнаблюдатьсяс вероятностьюP(aa)=1/4.

Таковаматематическаямодель, объясняющаяопыты Г.Менделя.Обсудим вопрособ ее адекватности.Напомним, чтов опытах соответствующиечастоты наблюдалисьприближенно.Это задача опроверкестатистическойгипотезы. Дляпроверки можноиспользоватькритерий Пирсона.

Предположим,что мы наблюдаемсерию из n независимыхиспытаний.Каждое из нихможет завершитьсяодним из m исходов

.Вероятностиисходов

не меняютсяот испытанияк испытанию.Подлежащаяпроверке нуль-гипотеза состоитв том, что этивероятностиравны некоторымзаранее заданнымчислам:

.Относительночисла n предполагается.что оно достаточновелико. Пусть

-полученныев результатеопыта эмпирическиечастоты наступленияисхода

.Составляетсясумма:

котораячасто называетсясуммой Пирсона.Оказывается,что с ростомn распределениестатистикиS стремится кпредельномураспределению

с m-1 степенямисвободы, независящемуни от n, ни от чисел
.Для любого e>0можно указатьпрактическуюграницу

такую, что

Другимисловами, неравенство

практическиневозможно.Число eназываетсяуровнем значимости.

Зададимсяуровнем значимостиe=0.05, которыйочень популяренв биологии. Врассматриваемомслучае числостепеней свободыm-1=1. Распределениесуммы Пирсонадля столь большогочисла, как n=7 324практическине отличаетсяот

распределенияс одной степеньюсвободы. Потаблицам определяем

»3.84.Вычислим суммуПирсона:

Таккак сумма Пирсонаменьше

,то нуль- гипотезахорошо согласуетсяс результатамиэксперимента.Получаем вескиеоснованиясчитать, чтозакон Менделясправедлив.

Вгенетике развитнекий формализм,позволяющийбыстро выводитьзакономерности.Аллельные парыпредставляютв виде:

,
,
,

Скрещиваниегенотиповобозначаетсязнаком 'ґ'-умножения.Скобки в формулахраскрываютсяпо привычнымправилам изнаки умноженияопускаются.Скрещиваниегетерозиготныхрастений описываетсяформулой:

Полученнаяформула утверждает,что генотипыAA и aa возникаютпри скрещиваниис вероятностью1/4, а генотип Aaс вероятностью1/2. Так как генотипыAA и Aa обладаютгладкими семенами,то 3/4 потомстваимеют гладкиесемена, а 1/4 - морщинистыесемена (генотипaa).

Решимпростую задачуо скрещиваниигенотипов Aaи aa:

Такимобразом, половинагенотипов будетгетерозиготными,а половинагомозиготными.

Большинствопризнаковгенотипаконтролируетсяболее чем двумяаллелями. Такиеаллели называютсямножественными.Такие аллелив любом непарномсочетании могутнаходитьсяв любой клетке,так как толькодве аллелиодного генамогут одновременноприсутствоватьв генотипе.Такие генотипыназываютсядиплоидными.Полиаллельнымиявляются гены,контролирующиегруппы крови.Группа кровичеловека зависитот присутствиялибо отсутствияв эритроцитахспецифическихбелков (A и B).Существуютчетыре группыкрови: Группакрови A с генотипамиAA и AO (группакрови содержитбелок A), группакрови B с генотипамиBB и BO (содержитбелок B), Группакрови AB (содержитоба белка), группакрови OO (отсутствиебелков A и B).Таким образом,группа кровиконтролируетсятремя аллелямиA, B, O одного гена.Аллели A и B-доминанты поотношению кO. В присутствияаллелей A и Bдоминантностьотсутствует.Таким образомгруппы кровиопределяютсяшестью генотипамиAA, AO, AB, BB, BO, OO.

ЗаконХарди- Вайнберга

Взаконе Харди-Вайнберга речьидет о частотахгенотипов впопуляциях.Этот законсформулировалив 1908 г. независимодруг от другаанглийскийматематикДж.Харди иавстрийскийврач В.Вайнберг.Рассматриваласьследующаязадача. Известнычастоты генотиповв двухаллельнойпопуляции внулевом поколении.Требуетсяпроследитьизменениечастот от поколенияк поколению.

Двухаллельнаяпопуляциясостоит изгенотипов: AA,Aa, aa. Их частотыв нулевом (начальном)поколенииобозначим черезu(0), 2v(0), w(0). Естественно,что u(0)+2v(0)+w(0)=1.Скрещиваниепредполагаетсяслучайным.Удобно следитьза эволюциейчастот с помощьюследующейсхемы.

Нулевоепоколение

Генотипы Частоты генотипов

AA u(0)

Aa 2v(0)

aa w(0)

Гаметы Частоты гамет

A p(0)=u(0)+v(0)

a q(0)= v(0)+w(0)

(менделевскоеформированиегамет)

Первоепоколение

Генотипы Частоты генотипов

Гаметы Частоты гамет

Такимобразом, частотыгамет не меняютсяот поколенияк поколению.Дальнейшеескрещиваниене меняет ичастоту зигот.

Второепоколение

Генотипы Частоты генотипов

Частотызигот устанавливаютсяв первом поколениии больше неменяются.

ЗаконХарди-Вайнбергасостоит изследующих двухутверждений.

1.Частоты гамет(аллелей) неменяются отпоколения кпоколению.

2.Равновесныечастоты генотиповдостигаютсяза одно поколение.В популяцииподдерживаетсясоотношениемежду гомозиготнымии гетерозиготнымиорганизмами:

ЗаконХарди-Вайнбергараспространяетсяна любое числоаллелей

.Очевидно, чточисло гомозигот

суть m, а гетерозигот

.Общее числозигот будет

.Рассуждениядля многоаллельногослучая полностьюаналогичныпредыдущему.

Нулевоепоколение

Генотипы Частоты генотипов

Гаметы Частоты гамет

Первоепоколение

Генотипы Частоты генотипов

Гаметы Частоты гамет

Второепоколение

Генотипы Частотыгенотипов

Длявсех последующихпоколенийчастоты генотиповостаются такимиже:

.Это и есть законХарди -Вайнбергадля полиаллельноголокуса.

Обсудимнекоторыеаспекты законаХарди -Вайнберга.В случае доминированияаллеля A надa наблюдаютсялишь фенотипы{AA, Aa}, {a,a}. В силу законаХарди -Вайнбергаих вероятностиравны

где

-частота рецессивногоаллеля a.

Еслирецессивныйаллель -редкий(

),то соответствующийфенотип наблюдаетсяеще реже. Частотанаблюденияальбиносов(генотип aa, онже - фенотип)

.Это - экспериментальныйфакт. В силузакона Харди-Вайнберга,скрытые носителирецессивногоаллеля (генотипAa) встречаютсягораздо чаще:

Еслидоминантныйаллель являетсяредким:

,то частота егопроявленияпримерно вдвоебольше:

Интереснаяситуация складываетсясейчас в человеческойпопуляции.Существуютрецессивныелетальныеаллели (генотипaa нежизнеспособен).Примером можетслужить наследственнаяболезнь фенилкотонурия(ФКУ). Сейчаснайдены способыее лечения.Выздоровевшиелюди могутдавать потомствои передаватьему аллель ФКУ.Тем самым частоталетальных геновбудет возрастать.

Сделаемнекоторыезамечания оматематическихаспектах законаХарди -Вайнберга.Обозначимчастоты генотиповAA, Aa, aa через

.Здесь

Этисоотношениявыделяют втрехмерномпространстветреугольник.В следующемпоколениичастоты

выражаютсячерез частоты

по формулам:

(1)

Формулызадают отображениетреугольникав себя, котороеназовем операторомэволюции иобозначим черезV. Закон Харди-Вайнбергаозначает, что

. (2)

Этаформула отражаетпринцип стационарности,который С.Н.Бернштейнвозвел в рангзакона.

Основнаяпроблема, которойзанимался С.Н.Бернштейн, -выявление всехзаконов наследования,подчиненныхзакону стационарности.Он дал ее полноерешение дляпопуляций,состоящих изтрех генотипов,а также изучилнекоторыеслучаи большегочисла генотипов.Среди них примерпопуляции сm -аллельнымгеном. Пустьего аллели

.Генотипы популяции:

,при этом

.Обозначимчастоты генотиповв текущем поколениичерез

.Неотрицательныечисла

очевидноудовлетворяютсоотношению:

Пусть

частоты генотиповв следующемпоколении.Оператор эволюцииимеет следующийвид:

Иззакона Харди-Вайнберга дляполиаллельныхпопуляцийследует, чтодля данногоэволюционногооператора такжевыполнен принципстационарности(2).

Водной из работС.Н. Бернштейнарассматривалсятак называемыйкадрильныйзакон наследования,генетическаяинтерпретациякоторого принадлежитЮ.И. Любичу. Введемдва вида "женских" X, x и два вида"мужских" генY, y. Будем считать,что могутсуществоватьлишь четырегенотипа: XY, xy,Xy, xY, которымприсвоим номера1, 2, 3, 4. Остальныемыслимые комбинациигенов запретим.Частоты генотиповв нулевом поколенииобозначим через

,а в следующем-через

.Поскольку приобразованиизиготы объединяетсяодна женскаяи одна мужскаягаметы, то следуетговорить очастотах гаметX и x среди женскихи о частотахгамет Y и y средимужских. Частоты женских гаметв нулевом поколении:

Частотымужских гамет:

Частотыгенотипов впервом поколении:

Отсюдаполучаем:

Данноеотображениеи изучал С.Н.Бернштейн.Частоты геновв первом поколении

(аналогичнодля другихчастот), т.е.сохраняются.

С.Н.Бернштейнпоказал неизбежностьконцепции генав условияхМенделя. Сформулируемэтот результат.Обозначим через

вероятностьпоявленияпотомка

у родителей

.Генотип

называетсяисчезающим,если появлениепотомка

у любой парыродителей равнонулю.

Теорема.Если в трехмернойпопуляции

всегенотипы неисчезающиеи

,(при скрещиваниипервого совторым получаетсятолько третий),то популяцияменделевская.

Вернемсяеще раз к вопросуо группах крови.В 1925 г. Ф. Бернштейнвыдвинул гипотезу,что группакрови определяетсятремя аллелямиA, B, O одноголокуса с доминированиемA и B над O (вслучае присутствияA и B доминантностьотсутствует).Фенотипы: {AB},{AO, AA}, {BO, BB}, {OO}. Согласнозакону Харди-Вайнберга дляодного трехаллельноголокуса имеем:

откудавытекает соотношение:

ДлянаселенияЯпонии известныследующиестатистическиеданные:

.Экспериментальноезначение величины

,что хорошосогласуетсясо статистическимпрогнозом.Данное обстоятельствоможно интерпретироватьв пользу гипотезы.

-26 -

Инбридинг

ЗаконХарди -Вайнбергадействуеттолько тогда,когда скрещиваниеслучайно, т.е.вероятностьскрещиваниямежду двумягенотипамиравна произведениюих частот. Втех случаях,когда скрещиваниенеслучайно,имеет местоассортивное,или предпочтительноескрещивание.Особи с определеннымигенотипамискрещиваютсячаще, чем следуетожидать наоснове случайности.Ассортивноескрещиваниене меняет частотгенов, но изменяетчастоты генотипов.

Особенноинтереснуюформу ассортивногоскрещиванияпредставляетсобой инбридинг,при которомскрещиваниемежду родственнымиособями происходитчаще, чем этогоможно было быожидать наоснове случайности.Инбридинг ведетк повышениючастот гомозиготи уменьшаетчастоту гетерозиготпо сравнениюс ожидаемымипри случайномскрещивании.Самым крайнимслучаем инбридингаявляется самоопыление-форма размножения,широко распространеннаядля некоторыхгрупп растений.

Меройгенетическихпоследствийинбридингаслужит коэффициентинбридинга.Это вероятностьтого, что особьявляется гомозиготнойи оба (одинаковых)аллеля идентичныпо происхождению,т.е. унаследованыу одного и тогопрародителяиз некоторогопредшествующегопоколения.Отметим, чтодва одинаковыхаллеля могутбыть наследованыот разных предков.Коэффициентинбридингаобозначим через

Результатыинбридига вслучае самоопыленияанализировалисьеще Г. Менделем.Он исследовалпотомствогетерозиготныхрастений (генотипAa)после nпоколенийсамоопыления.В первом поколениичастоты гомозиготныхрастений:

Ясно, что гомозиготныерастения идентичныпо происхождению.Гетерозиготныерастения неидентичны попроисхождениюи их частота

Здесь и ниженижний индекс-номер поколения.Коэффициентинбридинга-частота гомозиготныхрастений, т.е.

Вовтором поколениипотомки гомозиготныхрастений такжегомозиготныи идентичныпо происхождению.Частоты гомозиготныхрастенийувеличиваютсядополнительноза счет потомковгетерозиготныхрастений:

Частотагетерозиготныхрастений вовтором поколении:

Коэффициентинбридинга

Дляпроизвольногоn-ого поколения при самоопылениирастений частотагетерозиготныхрастений

Еслиучесть, что

то в n-ом поколениичастоты гомозиготныхрастений суть

Коэффициентинбридингасоответственно

Онмонотонновозрастаетс ростом номерапоколения Длясамоопыляющихсярастений сростом номерапоколения,снижается долягетерозиготныхи растут частотыгомозиготныхрастений. Вкаждом поколениикоэффициентинбридингав потомствегетерозиготныхрастений одини тот же и равен

.В пределегетерозиготныерастения вообщеисчезают. Этотрезультат ибыл полученГ.Менделем.

Определимзначение коэффициентаинбридингав потомствесибсов, т.е, особейимеющих общуюпару родителей.Родословнаяпотомства отскрещиваниясибсов изображенана диаграмме.

ПустьAи B-несостоящие вродстве родители,из гамет которыхобразуютсязиготы Cи D.Зигота Eвозникает отслияния гаметот Cи D,т.е. от сибсов.Поскольку Aи Bне состоялив родстве, чтоих аллели врассматриваемомлокусе не идентичныпо происхождению.Эти аллели дляособи A обозначим как

,а для особи B- как

(аллели не идентичныпо происхождению,но могут бытьидентичны поструктуре).Нужно определитьвероятностьпоявления впотомствесибсов гомозиготнойособи. Она можетпринадлежатьодному из четырехгенотипов: или

,или

.Вероятностьтого, что родительAпередаст аллель

сибсу Cсуть

.В свою очередь,если особь Cполучила аллель

,то она передастее особи Eтакже с вероятностью

.В итоге особьEполучит аллель

от AчерезCс вероятностью

.Вторую алелль

особь Eот Aчерез Dприобрететтакже с вероятность

.Вероятностьтого, что интересующаянас особь Eгомозиготнаи принадлежитгенотипу

есть

.Совершенноаналогичныерассужденияпозволяютопределитьдля особи Eвероятности

принадлежатьсоответствующемугенотипу. Получаемкоэффициентинбридинга

,совпадающийс вероятностьютого, что особьEгомозиготнаи получила обааллеля либоот прородителяA,либо B.

Существуетпростой метод,так называемыйанализпутей,позволяющийопределитькоэффициентинбридингадля любогоорганизма сизвестнойродословной.На диаграмме,отражающейродословнуюрассматриваютсявсе замкнутыепути, включающиев себя изучаемуюособь, ее родителейи их общих предков.Для каждогоi -ого циклаопределяетсякоэффициент

,где

-число звеньевв цикле. Коэффициентинбридинга

Пояснимсказанное,вычислив коэффициентинбридингадля особи K,родословнаякоторой изображенана диаграмме.

Согласнодиаграмме Aи Bобщие предкидля родителейJи Hособи K.Имеются двазамкнутых путиK-J -G -C -A -D -H -Kи K-J -G -C -B -D -H -K,каждый из которыхсостоит из 7звеньев. Соответственно

.Коэффициентинбридинга

Напомним,что в результатеинбридингачастоты гомозиготв популяциивозрастаютза счет гомозигот.В популяциис постоянным(не растущим)коэффициентоминбридинга

частота гомозиготбудет составлять

от частоты вслучайноскрещивающейсяпопуляции.Пусть частотыаллелей Aи aсуть pи q.Частоты генотиповв инбреднойпопуляции спостояннымкоффициентоминбридингаможно представитьследующимобразом:

Генотип Частота

Частотыаллелей, а вместес ними и генотиповсохраняютсяпри переходеот поколенияк поколению.При отсутствии имбридинга

частоты удовлетворяютзакону Харди-Вайнберга.

Селекционерыстремятсявывести сортарастений ипороды животных,отличающиесямаксимальнымипоказателямихозяйственнополезных признаков.При этом в качестверодителейиспользуютнаилучшиеорганизмы, т.е.проводятискусственныхотбор. Селекционерытакже стараютсяполучить какможно болееоднородныесорта и породы.Для этого применяютсистематическийинбридинг,повышающийгомозиготность.Однако, хорошоизвестно, чтоинбридингобычно понижаетприспособленностьпотомства. Этоявление принятоназывать инбреднойдепрессией.Оно обусловленоповышениемстепени гомозиготностипо вреднымрецессивнымаллелям.

Инбреднойдепрессиипротивопоставляютскрещиваниемежду представителяминезависимыхинбредныхлиний. Гибридыобычно обнаруживаютзаметно возросшуюприспособленность- в плодовитости,жизнеспособностии т.д. При скрещиваниимежду двумяинбреднымилиниями можносохранить впотомствегомозиготностьпо искусственноотобраннымпризнакам,тогда как повредным аллелямособи являютсягетерозиготными.

Сцеплениеи кроссиговер

Г.Мендельнаблюдал независимоенаследованиесеме признаков.Это происходилопотому, что всесемь соответствующихгенов расположеныв локусах разныхнегомологиныххромосом. Напомним,что у горохав каждой клеткенаходится семьпар гологичныххромосом. Наблюдатьнезависимоенаследованиедополнительноеще одногопризнака впринципе невозможно.Гены, расположенныев одной хромосоме,называютсясцепленными.Рассмотримдва локуса,одной и той жехромосоме(такие же локусыприсутствуютв гомологичнойхромосоме).Обозначималлели генапервого локусачерез Aи a,а другого -какBи b.В отличие отоднолокусногослучая, гаметыбудем обозначатьсловами. Такихслов - четере:AB,Ab,aB,ab.Если бы каждаяхромосома быланеразрывнымцелым, то мысленноможно было быобъдинить двалокуса в одини рассматриватьоднолокуснуючетерехаллельнуюпопуляцию.Законы наследованияв такой популяцииизучались выше.Однако, предсказаниятакой теориивступают всильные противоречияс некоторымиэкспериментальнымиданными.

Известнейшийгенетик ТомасМорган проводилэкспериментыс мухами - дрозофилами.Отслеживалисьдва признака:окраска телаи длина крыльев.В результатеэкпериментовпо скрещиваниюсразу же былаопровергнутагипотеза, чтосоответствующиелокусы находятсяв разных хромосомах(в этом случаепризнаки должныбыли бы наследоватьсянезависимо,что не соответствуетреальности).Пусть за окраскутела отвечаетпервый локус.Его аллели: A(доминантный)- коричневаяокраска, a(рецессивный)-черная окраска.Длина крыльевопределяетсявторым локусом.Доминантныйаллель Bсоответствуетдлинным крыльям,а рецессивныйаллель b- коротким. Приинтерпретацииопытов постараемсяопираться наоднолокусовуючерырехаллельнуюмодель. На первомэтапе Т.Морганскрещивалчерных длиннокрылыхсамок и коричневыхсамцов с короткимикрыльями. Генотипсамок -(aB)(aB),генотип самцов(Ab)(Ab).Результатскрещивания:

Особиэтого генотипаимеют коричневуюокраску и длинныекрылья. На данномэтапе предсказаниятеории полностьюсоответствовалирезультатамопыта. На второмэтапе полученныхсамок Т.Морганскрещивал счерными самцами,имеющими короткиекрылья. Онипринадлежалигенотипу (aa)(bb).Попытаемсяпредсказатьрезультатскрещивания:

Такимобразом, в результатеописаннойстратегиисрещиваниядожны появлятьсяс вероятностью

особи двухгенотипов(aB)(ab)и (Ab)(ab).Первые имеютчерную окраскуи длинные крылья,а вторые коричневуюокраску и короткиекрылья. Результатопыта оказалсяв противоречиис предсказаниямитеории: появилисьмухи коричневыес длиннымикрыльями (8.5%) ичерные мухис короткимикрыльями (8.5%). На8.5% по сравнениюс теорией уменьшилосьчисло особейкаждого изпервых двухгенотипов.

Былавысказанагипотеза (онаподтверждена),что в процессемейоза (образаванияполовых клеток)гамологичныехромосомы могутобмениватьсясвоими частями.Такой обменаллелями междугомологичнымихромосомаминазываетсякросинговером.Его иллюстрируетрисунок.

Обратимвнимание наважное обтоятельство,которое легкопонять, глядяна рисунок.Пусть в одномиз локусовобеих гомологичныххромосом находитсяодин и тот жеаллель. Тогдакроссигговер,даже если онпроизошел, неменяет локусныепары.

Благодарякроссинговерусцепленныегены могутпередаватьсяпотомству всочетаниях,отличных оттех, которыебыли у родителей.В частностина рисункеродительскаяособь генотипа(AB)(ab)в результатекроссинговерапородила гаметы(Ab)и (aB).Без кроссинговерамейоз привелбы к появлениюгамет (AB)и (ab).

Обратимсяк уравнениям,описывающимэволюцию впопуляции сдвумя двухаллельнымилокусами приусловии кроссинговера.Частоты гаметв текущям ипоследующемпоколенияхбудем обозначатькак

.Так, например,

-частота гамет,у которых впервом локусенаходитсяаллель A,а во втором -аллель b.Частоты генотиповв текущем поколениисвязаны с частотамигамет этогоже поколения(до мейоза). Приведемпримеры. Частотагомозиготногогенотипа (AB)(AB)суть

,а частотагетерозиготногогенотипа (AB)(ab)- соответственно

.Эти и все подобныеформулы полностьюсоответствуютслучаю одногополиаллельноголокуса. Обозначимчерез mи lвероятноститого, что примейозе соответственнопроизошел илине произошелкроссинговер.Здесь, естественно,m+l=1.Выпишем уравнениядля эволюциичастот гамет:

(3)

Дадимкомментариик правой частипервой формулы(остальныеформулы выписываютсяаналогично).Первое слагаемое- частота генотипа(AB)(AB).При мейозекаждая особьданного генотипас единичнойвероятностьпорождаетгаметы (AB).Второе слагаемое- половиннаячастота генотипа(AB)(Ab).В силу сделанноговыше замечания,несмотря накроссиговер,каждая особьэтого генотипас вероятностью

при мейозе даетгаметы (AB)и (Ab)(нас в данномслучае интересуютгаметы (AB)).Совершенноаналогично,отражает вкладгенотипа (AB)(aB)в образованиегамет (AB).Четвертоеслагаемоевыписываетсяиз следующихсоображений.При условии,что кроссинговерне произошел(вероятностьl),особь генотипа(AB)(ab)с вероятностью

даст гамету(AB).Частота генотипа(AB)(ab)суть

.Обратимся кпоследнемуслагаемому.При условиикроссинговера(вероятностьm)особь генотипа(Ab)(aB)(частота

)с вероятностью

порождаетгамету (AB)(см. рисуноквыше). Осталосьзаметить, чтокроссинговерни в каком другомгенотипе неможет привестик появлениюгаметы (AB).

Преобразуемформулы (3). Выкладкипроведем напримере первойформулы. Подставляя

,получим

Здесьучтено, что

.Введем обозначение

В результатыпреобразованийформулы (3) приобретаютвид:

(4)

Величина

называетсямерой неравновесностисостояния (если

,то частотыгамет постоянны).Рассмотримэволюцию

.В силу (4) имеем:

Итак

. (5)

Проследимза эволюциейчастот

(нижний индекс- номер поколения).В силу (4) и(5)

(6)

Этосистема такназываемыхразностныхуравнений. Онарешается следующимобразом. Выписываетсяматрица правыхчастей уравнений:

Находятсяее собственныезначения

.Матрица

- диагональная,поэтому

.Собственныевекторы

(нетривиальныерешения систем

)суть

Привычислении

использованоравенство:

.Система резностныхуравнений (6)имеет два линейнонезависимыерешения:

.Общим решениемявляется ихлинейная комбинация:

Константы

определяютсяиз начальногоусловия (при

Получаем

.В результатеполучаем решениесистемы (6):

Совершенноаналогичноисследуетсяизменениечастот гамет(ab),(Ab),(aB):

Изполученныхформул следует,что при

(с ростом номерапоколения)

Темсамым, частотыгамет стремятсяк состояниюравновесия,которое недостижимо законечное числопоколений.Частоты генотиповопределяютсячерез частотыгамет, а, следовательно,также стабилизируются.В отличии отслучая, соответствующегозакону Харди-Вайнберга,стабилизацияв первом поколениине наступает.

Какуже говорилось,начальноесостояниеравновесно,т.е. частотыгамет в дальнейшемне меняются,если

,т.е.

Исследуемусловия равновесности.Рассмотримчастоты генов

Легковидеть, что

.Прямые вычисленияпоказывают:

Такимобразом,

.Совершенноаналогично:

Вравновесныхсостоянияхчастоты гаметявляютсяпроизведениямичастот соответствующихгенов. Вернои обратноеутверждение.

Часть2

Математическиемодели нейронныхсистем

Изучениенейронныхсистем -одноиз самых романтическихнаправленийнаучных исследований,посколькунейронныесистемы присущикак человеку,так и животным.Самая совершеннаяинтеллектуальнаясистема -человеческиймозг. Никакойкомпьютер внастоящее времяне может воспроизвестиее феномен.Более того,даже поведениетаких относительнопростых организмов,как кальмары,в настоящеевремя в полноймере невозможносмоделироватьна компьютере.Законы функционированияотдельныхэлементовнервной системыв целом не плохоизучены. Однако,законы функционированияассоциацийнельзя свестизаконам поведенияотдельныхэлементов. Насамом деле обэффектах,обусловленныхколлективнымповедениемнейронныхпопуляций,известно мало.Понятны некоторыесамые общиепринципы. Например,нейронныесистемы способныадаптироватьсяк меняющимсяусловиям, т.е.им не нужныжесткие программы.Одновремено,последние, хотябы в форме рефлексов,присутствуютв нервной системе.Экспериментальноеизучение эффектовколлективногоповедениянейронныхсистем затруднено.Эти системыслишком сложноустроены. Такв мозге человекаи животныхкаждый нейроннаходится подвоздействиемтысяч другихнейронов и,соответственно,влияет на тысячинейронов. Всегоже по современнымоценкам в мозгепорядка миллиарданейронов. Огромноезначение имеетматематическоемоделирование,как метод косвенногоисследования.Оно помогаетпонять, какиепроцессы могутпроисходитьв нейронныхпопуляциях.Затем уже можнопытаться обнаружитьсоответствующиеявления экспериментально.Модели различаютсяв зависимостиот целей моделирования.Некоторыемодели достаточноадекватно вдеталях описывают поведениеотдельныхнейронов ипомогают понятьзакономерностиих функционирования.Они же являютсябазовыми длямоделей малыхнейронныхпопуляций. Дляописания большихпопуляцийиспользуютупрощенныемодели нейронов.Упор делаетсяна изучениеэффектовколлективногоповедения.Результатымоделированияиспользуютсякак в нейрофизиологии,так и в технике.Уже сейчасвыпускаютсянейронныеплаты. Пока ихвозможностине велики. Онииспользуются,например, вобработкеизображений,а также прирешении некоторыхэкономическихзадач. Следуетотметить, чтосейчас всезадачи, которыеможно решитьс помощью нейронныхплат, в принципеможно решитьи с помощьюобычного компьютера. Однако, нейронныеплаты увеличиваютбыстродействие.Перспективнымсчитаетсянаправление,связанное сиспользованиемнейроннойтехники дляпроведениявычислений.Ряд вычисленийна нейроподобныхсистемах можетпроводитьсянетрадиционнымспособом -путемимитации явлений.

Возбудимыесистемы

Нервнаяклетка, илинейрон являетсяструктурнойединицей нервнойсистемы живыхорганизмов.Индивидуальныеграницы нейрона,как и любойдругой клетки,определяютсяклеточноймембраной. Влюбой клеткесуществуетразность потенциаловмежду содержимымклетки -цитоплазмойи внеклеточнойсредой. Мембранаполяризована.Ее внутренняяповерхностьзаряжена отрицательнопо отношениюк внешней. Разностьпотенциаловназывают мембраннымпотенциалом.Его величинасоставляетнесколькодесятков милливольт.Причина возникновениямембранногопотенциала-неравенствоконцентрацийионов в цитоплазмеи в тканевойжидкости. Этообусловленотем, что клеточныемембраны обладаютизбирательнойпроницаемостьюдля различныхионов.

Живыеорганизмы, всеклетки и, вчастности,нейроны обладаютраздражимостью-способностьюреагироватьна различногорода воздействия.Реакции насятсложный, комплексныйхарактер, новсегда сопровождаютсяизменениемэлектрическогозаряда мембраны.Воздействия,вызывающиереакции, называютсяраздражителями,или стимулами.Хотя живыеорганизмысостоят изклеток, реакцииорганизма вцелом не сводятсяк реакциямотдельныхклеток. Напомнимуниверсальноеправило:закономерностисистемы немогут бытьсведены кзакономерностямотдельныхэлементов.

Нервныеклетки и некоторыеткани (мышечная,железистая)специальноприспособленык осуществлениюбыстрых реакцийна раздражение.Такие клеткии ткани называютсявозбудимыми,а их реакция-возбудимостью.Клетки привозбуждиниипереходят изсостоянияфизиологическогопокоя в состояниеактивности.В частности,нервная клеткагенерируетодин, или несколькоэлектрическихимпульсов. Этосвязано с тем,что при возбуждениипроницаемостьмембраны дляионов резкоувеличивается.Возникаютионные токи,что естественноприводит кизменениюразности потенциаловна поверхностимембраны. Этоизменениемембранногопотенциаланазываетсяпотенциаломдействия.Генерируемыенервными клеткамиимпульсы такженазываютсяспайками. Группы,тесно следующихдруг за другомспайков, называютсяпачками, илиберстами. Амплитудыспайков относительностабильны длядля каждоготипа нейронов,поэтому частоговорят, чтонейрон реагируетна раздражениепо закону “все,или ничего”.

Нервноевозбуждение-распространяющийсяпроцесс. Возникнувв одном, илинесколькихнейронах, онопередаетсядругим клеткам.Проведениевозбужденияобусловленотем, что потенциалдействия, возникнувв одной клетке,становитсяраздражителемдля связанныхс ней клеток.То же самоеотносится кдругим возбудимымтканям, например,к сердечноймышце. Согласнонаиболеераспространеннойв настоящеевремя точкизрения считается,что “сообщения”в нервной системепередаютсяв виде импульсов“все,или ничего”в форме частотногокода.

Обсудимприроду мембранногопотенциала.Мембрана, отделяющаяцитоплазмунейрона отмежклеточнойсреды, состоитв основном излипидов -жироподобныхвеществ. В неевстроеныбелковые молекулы.Некоторыемолекулы пронизываютлипидный слойнасквозь, адругие погруженылишь до сердцевины(своеобразныеворсинки). Некоторыебелки выполняютроль каналов,осуществляющихтранспорт ионовчерез мембрану.Другие -служатрецепторами,позволяющиминейрону реагироватьна поступающиеот других нейроновпотенциалыдействия.

Механизмыпереноса ионовчерез мембрануделятся на двакласса:пассивный иактивный транспорт.Пассивныйтранспорт нетребует затратэнергии. Онопределяетсядвумя факторами.Диффузия способствуетвыравниваниюконцентрациирастворов.Носители зарядов-ионы перемещаютсяпод действиемэлектрическогополя. При активномтранспортеза счет химическойэнергии, освобождающейсяпри окисленииаминокислот,может осуществлятьсяперенос ионовкак в областис более высокойих концентрацией,так и противэлектрическихсил.

Закономерностипассивноготранспортаопираются нанекоторыеположенияэлектрохимии.Как уже говорилось,мембраныбиологическогопроисхожденияобладаютизбирательнойпроницаемостью.Одни ионы достаточнолегко диффундируютчерез них. Длядругих ионовмембраны практическинепроницаемы.Рассмотримна примереположение обэлектрохимическомравновесии.Пусть в сосуд

с раствором

помещена полость

,ограниченнаямембраной, гдетакже находитсяраствор

.Обозначим через

концентрациираствора всосуде и в полости.Предположим,что мембранапроницаемадля ионов

и непроницаемадля ионов

.Пусть концентрациярасвора в сосудениже, чем в полости,т.е.

.Тогда ионыкалия будутпереходитьиз полости всосуд, посколькудиффузия стремитсявыровнятьконцентрации.В полости образуетсяотносительныйдефицит положительнозаряженныхионов и оназаряжаетсяотрицательно.Течнее, отрицательныйзаряд сосредотачиваетсяна внутреннейповерхностимембраны. Наоборот,внешняя поверхностьмембраны заряжаетсяположительно.Электрическоеполе направленотак, что диффузияположительныхионов

будет затруднена.в результатепри некоторойразности потенциалов

междувнутреннейи внешнейповерхностьюмембраны диффузияионов вообщепрекратится.Величина

называетсяравновеснымэлектрохимическимпотенциалом.Она вычисляетсяпо формулеНернста:

, (1)

где

-универсальнаягазовая постоянная,

-абсолютнаятемпература,

-число Фарадея,

-заряд иона.

Пусть

текущее значениемембранногопотенциала.привлечемнекоторыеположениятеории электрическихцепей. Мембранаявляется диэлектриком(изолятором) и поэтому обладаетемкостью. Ток

,текущий череземкость и напряжение

(оно же мембранныйпотенциал)связаны соотношением:

,где коэффициентпропорциональности

называетсяемкостью. Отметим,что в некоторомсмысле ток,текущий черезмембрану, являетсяфиктивным. Онне сопровождаетсяпереносомзарядов. Согласнозакону Нернстамембрана являетсяисточникомнапряжения

.Ток

,текущий черезисточник напряженим

,связан с напряжением

на его полюсах формулой:

.По закону Кирхгофасумма токовравна нулю:

.Таким образом,получаемдифференциальноеуравнение:

. (2)

Проведемтривиальныйанализ уравнения(2). Перепишемего в виде:

Отсюдаполучаем:

Такимобразом, поэкспонентемембранныйпотенциал

при

Сделаемряд замечаний.При анализеуравнения (2) ыпредполагали,что коэффициенты

не зависят от

.Действительнодля мембраныемкость практическипостоянна.Однако, проводимость

есть функцияот

.Проведенныйанализ справедливлишь при малыхотклонениях

от равновесногозначения

Пустьтеперь дополнительнок

в полости и всосуде присутствует

,концентрациикоторого вполости и всосуде различны.Ионам

отвечает своеравновесноезначение

.Натриевый ток

связан с мембраннымпотенциалом

соотношением:

.Привлекая сновазакон Киргофа,получаем:

. (3)

Теперьв силу (3) равновесноезначение мембранногопотенциаласуть:

Однаиз первых гипотезо природе мембранногопотенциалабыла высказанав 1902 г. Бернштейном,который использовалположенияэлектрохимии.Он предположил,что предположил,что концентрацияионов

в клетке выше,чем во внеклеточнойсреде. Вследствиеэтого ионы

диффундируютиз клетки. Образуетсяих относительныйдефицит положительныхионов внутриклетки и внутренняяповерхностьмембраны заряжаетсяотрицательно.Тем самым, потенциалпокоя определяетсяравновеснымэлектрохимическимпотенциаломдля ионов

.Далее, Бернштейнпредположил,что в жизнинейрона иногданаступаетособый момент-состояниевозбуждения,когда на короткоевремя мембранастановитсяпроницаемойи для другихионов, в частности,для натрия ихлора. В результатепритока внутрьклетки положительныхионов величинамембранногопотенциалападает, а затем,после восстановленияизбирательныхсвойств мембраны,снова входитв норму. Таквпервые былаобъснена генерацияспайка.

Натриево-калиевый цикл

ГипотезаБернштейнахорошо объясняламногие известныефизиологамтого временифакты. В частности,зависимостьпотенциалапокоя от концентрациикалия в межклеточнойсреде, а такжеот температуры.Однако в товремя гипотезунельзя былоподвергнутьэкспериментальнойпроверке. Враспоряженииисследователейне было методикинепосредственногоизменениямембранногопотенциалаи концентрацийионов. ГипотезаБернштейнавызывала массуспоров.

Ситуацияизмениласьпосле сообщенияанглийскогозоолога Дж.Юнга, сделанногов 1936 г. Он обнаружил,что длинныетяжи у кальмарови каракатицявляются некровеноснымисосудами, какэто считалосьранее, а необычайнотолстыми аксонами(отросткаминервных клеток).Они получилиназвание гигантскихаксонов и сталиестественнымобъектом дляизучения мембран.Диаметр аксоновдостигает 1 мми дает возможностьвводить в нихэлектроды икапилляры. Врезультатеможно измеритькак мембранныйпотенциал, таки концентрациювнутриклеточногораствора.

Выяснилось,что мембраннаятеория Бернштейнав целом верна,хотя и нуждаетсяво внесенииряда существенныхдополненийи изменений.В частностиверным оказалосьутверждение,что потенциалпокоя обусловленвосновномэлектрохимическимпотенциаломионов

.Наоборот, согласнотеории Бернштейнав точке максимумапотенциаладействия (спайка)мембранныйпотенциалдолжен бытьравен нулю (токионов прекращается,когда напряжениеравно нулю).Однако, английскиефизиологи А.Ходжкин и А.Хаксли в 1939 г.показали, чтона максимумепотенциаладействия мембранныйпотенциал неуничтожается,а меняет знак.Внешняя поверхностьмембраны заряжаетсяположительнопо отношениюк внутренней.Явление получилоназвание “овершут”ине имело объясненийв рамках теорииБернштейна.Оно связанос неравномернымраспределениемионов натрия.Оказалось, чтоконцентрацияионов

внутри клеткипримерно вдесять раз нижечем в межклеточнойжидкости. Вначале спайкаионы натрияпод действиемэлектрическогополя и концентрационногоградиентаустремляютсяиз межклеточнойсреды в клетку(в клетке ихконцентрацияниже, а внутренняяповерхностьмембраны заряженаотрицательнопо отношениюк внешней). Вэтом гипотезаБернштейнаоказаласьверной. Послесмены знакамембранногопотенциалаионы натрияпродолжаютперемещатьсяв клетку толькопод действиемконцентрационногоградиента.Мебранныйпотенциал намаксимумеовершута приближаетсяк равновесномуэлектрохимическомупотенциалудля ионов

.В дальнейшемпронуцаемостьмембраны дляионов натрияпадает и активируетсяпроводимостьдля ионов колия,которые движутсяиз клетки, гдеих концентрациявыше. Ионы калияуносят из клеткиположительныйзаряд. Внутренняяповерхностьмембраны заряжаетсяотрицательно.Этотнатриево -калиевыйциклниже будетрассмотренподробнее.

В течениецикла ионынатрия заходятв клетку, а ионыкалия ее покидают.Такое замещениедолжно выравниватьконцентрацииионов. Казалосьбы, что послеряда цикловнервная клетканедолжна генерироватьспайков (концентрацииионов внутрии вне клеткиуравняются).В действительностиэто не так.Неравномерноераспределениеионов внутрии вне клеткиподдерживаетсяактивным транспортомионов. Механизмы,осуществляющиетранспорт ионовчерез мембранув сторону повышеннойконцентрации,называютсямембранныминасосами (помпами).Они потребляютэнергию, котораяосвобождаетсяв результатеокисленияаминокислот.

Наиболееизучен натриевыйнасос. Он выводитионы

из клетки иодновременнотранспортируетионы

внутрь клетки.Этот процессвключает в себяобязательныйобмен двухионов

во внешнейсреде на трииона

в клетке (еслиудалить изсреды ионы

,то ионы

из клетки выводитьсяуже не будут).Если мембранныйпотенциалотрицателен(внутренняяповерхностьмембраны заряженаотрицательно),то натриевыйнасос выполняетэлектрическуюработу, выводяиз клетки суммарноодин положительныйзаряд. Натриевыйнасос действуетизбирательно.Например, онне способенпереноситьионы лития.Молекулярныймеханизм активноготранспортав настоящеевремя до концане ясен.

Натриевыйнасос - один изглавных механизмов,благодарякоторому внутриклетки поддерживаетсяизбыточнаяпо сравнениюс внешней средойконцентрацияионов

и недостаточная,примерно вдесять разменьшая, чемво внеклеточнойжидкости,концентрацияионов

Дляисследованияпроцесса генерацииспайка А.Ходжкиными А.Хаксли былразработаноригинальныйприем, которыйназываетсяметодом фиксациипотенциала.Внутриклеточноводятся электродыи используетсясистема с обранойсвязью, позволяющаяпозволяющаяподдерживатьмембранныйпотенциал налюбом заданномуровне. Темсамым, можноимитироватьразличные фазыпотенциладействия, как-бы“замораживая”его. Системапозволяетизмерять ионныетоки. Изменяяионный составсреды (так жечерез микрокапиллярыменяют составвнутриклеточнойжидкости) можноможно итентифицироватьионы, которыеобуславливаютток. Исследованияобнаружили,что даже пассивныйтранспорт ионов(в соответствиис градиентомконцентрацийи направлениемэлектрическогополя) подчиняетсяспецифическимзакономерностям.Для их объясненияА.Ходжкиными А.Хаксли былавысказанагипотеза оналичии в мембранеспециальныхионных каналов,служащих дляих транспортировки.

Приположительномотклонениимембранногопотенциалаот потенциалав состояниипокоя (значениепотенциалауменьшаетсяпо абсолютнойвеличине)активируются,т.е. открываютсяканалы для

,пропускающиеэти ионы внутрьклетки. Ионы

движутся всоответствиис направлениемэлектрическогополя, причемв область сменьшей концентрацией.Каналы играютроль селективных(избирательных)фильтров,пропускающихионы

инепроницаемыхдля другихионов. Механизмы,приводящиек открытию изакрытию каналов,называютсяворотами.При деполяризации(уменьшенииабсолютнойвеличины мембранногопотенциала)открываютсяактивационныетак называемые

-ворота длянатриевыхканалов. Чемсилнее деполяризованамембрана, тембольше

-ворот открыто,что в свою очередьуделичиваетдеполяризацию.Процесс открытияворот протекаетлавинообразно.

Приотносительнодлительнойдеполяризациинатриевыеканалы инативируются.Срабатываюттак называемые

-ворота, которыеблокируютканалы черезвремя порядка1 мсек послеоткрытия

-ворот. В 1980 г. Ф.Сигворс и Э.Неер зарегистрировалитоки черезединичныенатриевыеканалы. Оказалось,что они подчиняютсязакону “всеили ничего”,Открываютсяпрактическимгновенно, ачерез времяоколо 1 мсек.так же практическимгновеннозакрываются.Ионные каналыпредставляютсобой молекулыбека, вкрапленныев липидный слоймембраны.

Врайоны максимумапика потенциаладействия большинствонатриевыхканалов инактивируется,т.е. закрываются

-ворота. Встаетвопрос:каким образоммембранныйпотенциалвозвращаетсяк исходномууровню -состояниюпокоя?ЭкспериментальноА. Ходжкин и А.Хаксли обнаружили,что с некоторымзапаздываниемпо отношениюк началу натриевоготока возникаеткалиевый ток.Ионы калияначинают покидатьклетку, посколькуактивируютсякалиевые каналы.Гипотеза связываетэто с открытиемтак называемых

-ворот. Ионыкалия движутсяв область сменьшей концентрацией(пассивныйтранспорт). Приэтом в районеовершута (мембранныйпотенциалположителен)движениеосуществляетсяв соответствиис направлениемэлектрическогополя. Калиевыйток уносит изклетки (точнеес внутреннейповерхностимембраны)отрицательныйзаряд. Мембранаснова поляризуется.

Считается,что в отличиеот натриевыхканалов, длякалиевых каналовнет инактивационныхворот. Активационные

-ворота самизакрываются,когда мембранавозвращаетсяк уровню потенциалапокоя (реполяризуется).

Важнаотметить, чтоколичествоионов, котороепроходит черезмембрану приодиночномпотенциаледействия, практическине вызываетизменениявнутриклеточныхконцентрацийионов. Исключениемогут составлятьлишь мельчайшиенервные клетки.По некоторымоценкам приодном потенциаледействия содержание

внутри гигантскогоаксона кальмараизменяетсявсего лишь на

от исходного.Если блокироватьактивные натриевыенасосы каким-нибудьядом, то аксонвсе равно сможетсгенерироватьнесколько тысячимпульсов.Непосредственноактивный транспортне участвуетв генерацииспайков. Однако,он поддерживаетна должномуровне концентрационныеградиенты,наличие которыхприводит квозникновениюпотенциаловдействия.

Послеописания механизмагенерацииспайка, обратимсяк системе уравнений,описывающейэто процесс.Она предложенаА. Ходжкиными А. Хаксли.

-85-

АксонХоджкина - Хаксли

Модельбазируетсяна электрохимическомуравнении (3).Мембранныйпотенциал будемотсчитыватьот его уровня

в состояниипокоя, т.е. положим

,или же

.Аналогичновведем обозначениядля отсчитываемыхот

равновесныхэлектрохимическихпотенциалов

.Ясно, что сохраняютсяразности:

.В созданиимембранногопотенциалакроме ионов

принимаютучастие и другиеионы, в частности,ионы

.Обозначим ихсуммарныйэлектрохимическийпотенциал через

,соответственно

.В уравнение(3) для балансамембранныхтоков следуетдобавить слагаемое

.Данный токназываетсятоком утечки.Для гигантскогоаксона кальмараА. Ходжкиными А. Хаксли былиэкспериментальнонайдены значения:

мв,

мвт,

мвт.

Электрохимическоеуравнение (3)суть обыкновенноедифференциальноеуравнениепервого порядка.Как показановыше, его коэффициентыследует считатьфункциями отмембранногопотенциала

.По биологическомусмыслу решенияуравненияограниченына положительнойполуоси

.Можно доказать,что все решениятакого уравнениямонотонностремятся ксостояниямравновесия.Объяснить врамках одногоэлектрохимическогоуравнениягенерациюпотенциаладействия невозможно.

Изприведенныхвыше построенийследует, проводимости

следует считатьфункциями нетолько мембранногопотенциала

,но и времени.НижеследующиепостроенияА. Ходжкина иА. Хаксли вомногом носятфеноменологическийхарактер, т.е.не имееют подсобой прочнойтеоретическойосновы и опираютсяна ряд допущенийи догадок. Рассмотримнатриевуюпроводимость.Для описанияее зависимостиот времени имембранногопотенциалаА. Ходжкин и А.Хаксли ввелидве новые переменные

,которые характеризуютпроцессы активациии инактивациинатриевыхканалов. Винтерпретацииавторов

-вероятностьоткрытия

-ворот,

-вероятностьзакрытия

-ворот, или же-отношениечисла открытыхи закрытыхворот соответствующеготипа к числуканалов наповерхностимембраны единичнойплощади. Авторымодели положили:

,где коэффициент

был названмаксимальнойнатриевойпроводимостью.ПредложенноеА. Ходжкиными А. Хакслиобоснованиевида зависимостив настоящеевремя выглядитискуственным.Методом подборабыли выписанылинейные обыкновенныеуравненияпервого порядкадля переменных

.При этом в уравнениедля

не входит переменная

,а в уравнениедля

не входит

.Коэффициентыуравненийзависят толькоот мембранногопотенциала

.Более менееубедительноеобоснованиенеобходимостиименно такойзависимостиотсутствует.

Дляописания изменениякалиевой проводимости

А. Ходжкиными А. Хаксли былавведена функция

.Она интерпретироваласькак вероятностьоткрытия

-ворот для каливыхканалов, т.е.как вероятностьактивациипоследних.Напомним, чтопо гипотезеА. Ходжкина иА. Хаксли инактивационныеворота длякаливых каналовотсутствуют.Авторы опытнымпутем подобралилинейное обыкновенноедифференциальноеуравнение для

и положили

.Коэффициентыуравнениязависят толькоот мембранногопотенциала

.Коэффициент

называетсямаксимальнойкалиевойпроводимостью.

Относительнопроводимости

для тока утечкиА. Ходжкин и А.Хаксли предложилисчитать егопостоянным:

.В результатедля описанияпроцесса генерациипотенциаладействия былапредложенасистема четырехуравнений,Первое из них-электрохимическоеуравнение длябаласа мембранныхтоков токов:

.Напомним, что

, (4)

. (5)

Второеи третье уравненияописываютсоответственнопроцессы открытия

и закрытия

-ворот для натриевыхканалов. Наконец,четвертоеуравнениеотражает процессоткрытия

-ворот для калиевыхканалов. Система уравненийХоджкина -Хакслиимеет следующийвид:

, (6)

, (7)

, (8)

, (9)

где,напомним,

.В (7) -(9) функции

положительныи непрерывны.Функции

относятся кклассу такназываемыхсигмоидныхфункций, т.е.они монотонныобладают следующимисвойствами:

при

.В работах А.Ходжкина и А.Хаксли указаних конкретныйвид. Функциивесьма сложноустроены. Реальносистема уравненийдопускаеттолько численноеисследование.Ограничимсярядом замечанийна качественномуровне, иллюстрирующихвпечатленияот численногоисследования.Входящие всистему (6) -(9) функцииподобраны так,что выполненряд свойств.Она имеет устойчивоесостояниеравновесия

,где

-положительны.Пусть

.Если значение

не слишкомвелико, то всилу устойчивостисостоянияравновесия с течениемвремени

.Существуеттакое пороговоезначение

,что при

решения системыведут себя подругому. Первоначально

убывает. Однаконачинает растивеличина

.Слагаемое

уравнении (6)положительно,т.к.

,а

близко к нулю.В результатепроизводная

становитсяположительной.Мембранныйпотенциалначинает расти(момент началагенерацииспайка). Вместес ним растети величина

,что приводитк дальнейшемуувеличению

и ускорениюроста

.Однако, чутьпозже начинаетуменьшатьсявеличина

.Это замедляетрост

,тем более, чтоуменьшаетсяразность

.Одновременнорастет величина

.Соответствующееслагаемое

в уравнении(6) отрицательно,т.к.

.Существуетмомент времени

,где

.Это точка максимумапотенциаладействия. Значениемембранногопотенциала

относительноблизко к

.После прохожденияточки максимумазначение производной

определяетсязначениемслагаемого

и становитсяотрицательным.Скорость убываниямембранногопотенциалана нисходящемучастке спайкаменьше по абсолютнойвеличине, чемскорость ростана восходящемучастке. Нисходящийучасток продолжительнеевосходящего.В дальнейшемзначение

становитсяотрицательным,а после этого

.Величины

также стремятсяк своим равновеснымзначениям.Процесс генерацииспайка закончен.

Особоподчеркнемзначимостьфакта, что система(6) -(7) обладаетпороговымисвойствами.Существуеттакое критическоезначение

мембранногопотенциала,что при начальномотклонениимембранногопотенциала

с течениемвремени значение

.Если же

,то через некотороевремя (его называютскрытым, илилатентнымпериодом)генерируетсяспайк. Мадельадекватноотражает пороговыесвойства реальногоаксона. Есливоздействоватьна мембранукратковременнымтолчком деполяризующеготока (отклоняющегомембранныйпотенциал вположительномнаправлении),то после слабоговоздействиямембранныйпотенциалвозвращаетсяв равновесноесостояние.Вследствиедостаточносильного воздействияспустя латентныйпериод генерируетсяспайк.

Обсудимеще одно свойствоаксона. Гигантскиеаксоны достигаютдлины несколькихдесятков сантиметров.Мебранныйпотенциал наразных участкахаксона можетразличаться. Аксон представляетсобой так называемуюраспределеннуюсистему. Еслиподействоватьна некоторыйучасток аксонадопороговымдеполяризующимтолчком тока,то мембранныйпотенциал наэтом и некоторомпримыкаюшемк нему участкеотклонитсяот равновесногосостояния вположительномнаправлении.Такое отклонениеназываетсялокальнымответом. Возмущениес течениемвремени затухает,одновременно,как капля, растекаясьпо аксону. Врезультателокальныеответы, возникшиепри стимулированииразличныхучастков, могутнакладыватьсядруг на друга,т.е., как говорят,суммироватьсяпо пространству.Если же на участокаксона повторноподаетсядеполяризирующийток, то новыйлокальный ответнакладываетсяна предыдущий.Говорят, чтопроисходитвременноесуммирование.Локальныеответы градуальны.Их амплитудазависит от силыстимула (точнее,силы -длительности).В случае, когдалокальный ответв результатесуммации, илиже после достаточносильного одноразовоголокальноговоздействиядостигаетпороговогоуровня, запускаютсямеханизмыгенерациипотенциаладействия. Зародившисьлокально, потенциалдействияраспространяетсяпо аксону.

Явлениераспространенияобъясняетсяследующимобразом. Цитоплазма- электролит,а, следовательно,хороший проводник.Если междуточками существуютненулевыеразности потенциалов,то вдоль мембранывозникают токи(вблизи поверхности).Они направленыот точек с болеевысоким потенциаломк точкам, гдеон меньше, иподчиняютсязакону Ома.Вследствиеэтого потенциална участках,прилегающих,к области генерацииспайка, растети достигаетпороговогозначения. Врезультатеэти участкисами генерируютпотенциалыдействия. Процессраспространяетсявдель аксона.

Проведениенервных импульсовобладает важнойособенностью.При “столкновении”они аннигилируют,т.е. уничтожаются.С помощью локальноговоздействиявозбудим аксонв двух точках.По нему будутраспространятьсячетыре импульса,два из которыхдвижутся вовстречныхнаправлениях.Данные импульсывстретятсяи не пропустятдруг друга. Этосвязано с тем,что мембранаобладает следующимсвойством. Вовремя потенциаладействия инекоторое времяпосле его завершенияона не реагируетна воздействие.В частности,после завершенияспайка некотороевремя не способнасгенерироватьнового потенциала действия. Данноесостояниеназываетсяабсолютнойрефрактерностью.Отметим, чтопостепенноабсолютнаярефрактерностьсменяетсяотносительной.Для того, чтобыинициироватьпотенциалдействия всостоянииотносительнойрефрактерности,нужно применитьболее мощныйстимул, нежелив состояниипокоя.

Дляописания процессараспространенияпотенциаладействия вдольаксона А. Ходжкини А. Хксли модернизировалиуравнение (6).Пусть

-координататочки вдольаксона, а

-значение мембранногопотенциалав этой точке.Используетсязакон Ома, согласнокоторому токчерез сечениепропорционаленградиентунапряжения(в одномерномслучае -производной).Ток через сечение

равен

,где направлениевыбрано в сторонувозрастания

,коэффициент

-проводимость.Выделим участокаксона, координатыточек которогозаключены винтервале

.Суммарный токчерез сечения

равен

.Используяформулу Лагранжаполучим:

,где

.Через поверхностьмембраны выбранногоучастка аксонапроходят емкостной

,натриевый

,калиевый

токи, а такжеток утечки

.Пусть

.Суммарныймембранныйток приближенноравен

.Привлекая законКирхгофа, получим:

.Используяприведенныеранее формулы(4), (5) для мембранныхтоков и устремляя

к нулю, приходимк уравнению:

(10)

Егочасто называютуравнениемаксона Ходжкина-Хаксли. В (10) функции

как и выше подчиняютсяуравнениям(7) -(9).

А.Ходжкин и А.Хаксли исследовалитак называемыеавтоволновыерешения системыуравнений, т.е. решения типабегущих волн:

(аналогичнодля

).Здесь параметр

-скоростьраспространенияволны. Послеподстановкив (11) для

получаетсяобыкновенноедифференциальноеуравнение:

(11)

Система (7) -(9), (11) исследоваласьчисленно. Методомподбора былонайдено значениескорости

,при которойсистема уравненийимела приемлемоепо мнению автороврешение. Параметрыполученногопри исследованиисистемы уравненийраспространяющегосяпотенциаладействия оказалисьблизкими креально надлюдаемымв эксперименте.

Скоростьраспространенияимпульса погигантскомуаксону относительноне велика (посравнению саналогичнымипо назначениюпроводникаминервных импульсову человека).Она растет сувеличениемдиаметра аксона.Увеличениедиаметроваксонов избралаприрода длявысокоскоростногопроведенияимпульсов убеспозвоночных.Однако, когдаорганизму нужнане только быстротареакции, но иогромное количествосвязей, гигантскиеаксона становятсяне приемлимыми.Например, взрительномнерве, где большемиллиона связей,для большихаксонов нехватило быместа. Длинныеаксоны у человекаи позвоночныхживотных покрытыдостаточнотолстым липиднымслоем -миелиновойоболочкой(точнее, ониобвиты клеткамисодержащимии вырабатывающимимиелин). В миелиновойоболочке присутствуютрегулярнорасположенныеразрывы, гдемембрана асконаоголена. РазрывыназываютсяперехватамиРанвье. Миелинизированныеучастки иеютдлину порядка1 -2 мм. ПротяженностьперехватовРанвье около1 мкм. ПерехватыРавье способныгенерироватьспайки. Миелинизиро-ванныеучастки обладаютемкостью иомическимсопротивлением,но они не генерируютспайков. Импульсыпо миелинизированнымучасткамрапространяютсяпассивно, т.е.с затратамиэнергии наомическоесопротивлениеи на перезарядучастка, предствляющегособой конденсатор(обратимыепотери). Суммарнозатраты энергиине велики.

Рассмотриммиелинизированныйучасток, ограниченныйдвумя перехватами.Пусть левыйперехват генерируетспайк. Возмущение(положительное)по миелинизированномуучастку передаетсяправому перехвату.Когда отклонениемембранногопотенциалаправого участкадостигаетпороговогозначения, онгенерируетспайк. Этотимпульс неможет вызватьгенерациюнового спайкалевым перехватомРанвье, посколькутот находитсяв рефрактерномсостоянии (всостояниииневосприимчивости).Однако, данныйперехват потой же схемевозбуждаетперехват, следуюшийза ним справа.По миелинизированномуаксону, перескакиваяот перехватак перехвату,будет распространятьсяимпульс. Процессназываетсясальтаторнымпроведениемвозбуждения(saltare - прыгать). Онообеспечиваетскоростьраспространенияимпульсов в20- 25 раз болеевысокую, чемв гигантскихаксонах тогоже диаметра.

Описанныйпроцесс сальтаторногопроведенияимпульсов легкоформализуется.В простейшемслучае этовыглядит следующимобразом. Пусть

- мембранныепотенцилылевого и правогоперехвотовРанвье, а

-потенциалмиелинизированногоучастка (считаемего во всехточках участкаодинаковым).Тогда междуучастком исоответствующимиперехватамипроходят токи:

,где

-сопротивлениеперехода отперехвата кмиелинизированномуучастку. Черезмиелиновуюоболочку проходятемостной ток

и ток утечки

,где

- суммарнаяемкость, а

суммарноесопротивлениемиелиновойоболочки. Всилу первогозакона Кирхгофаполучаем:

Дляописания мембранныхпотенциалов

перехватовслужит уравнение(6), в правую частькоторого согласнозакону Кирхгофаследует добавитьдля левогоперехватаслагаемое

,а для правого-слагаемое

.Это токи, проходящиемежду соответствующимиперехватамии миелинизированнымучастком. Врезультатеполучим уравнения:

Величины

удовлетворяютуравнениям(7) -(9), в которыхдля левого иправого перехватовследует положить

соответственно.

-89-

Структураи функции нейронов

Нервныеклетки различаютсякак по форме,так и по размерам.Существуютразные способыих классификации.Один из важнейшихкритериев-наличие илиотсутствиеаксона. Знаменитыйфизиолог КамильюГольджи назвалнервные клеткис аксонамиклетками типа

,а без аксонов-типа

.Последниеобразуют лишьлокальныесвязи, т.е. толькос непосредственноприлегающимик ним клетками.Кроме нервныхклеток в мозгеприсутствуюттак называемыеглиальныеклетки. Их числопримерно вдесять разбольше, чемнервных клеток,но их размерыв три -четырераза меньше,чем у нервныхклеток. Глиальныеклетки не генерируютпотенциаловдействия. Внастоящиймомент считается,что они в целомвыполняютвспомогательныефункции (некоторыеиз них хорошоизучены). Нижебудем говоритьо клетках типа

. Именно их будемназывать нейронами.

Вкаждом нейронеразличаютцентральнуючасть -тело(оно же -сома)и отростки.Многочисленные,относительнокороткие, сильноветвящиесяотростки называютсядендритами.Они проводятимпульс, какправило, к телунейрона. Единственныйдлинный отростокназываетсяаксоном.Он также сильноветвится. Аксонпроводит нервныеимпульсы отнейрона к другимклеткам. Местоотхожденияаксона от теланазываетсяаксонным холмиком.На протяжениипервых

мкм. аксон неимеет миелиновогопокрытия. Этотучасток вместес аксоннымхолмиком называетсяначальнымсегментомаксона. Последнийзначительночувствительнеек воздействию,чем остальныеучастки нейрона.Для возникновенияпотенциаладействия достаточнодеполяризоватьмембрану вначальномсегменте на

мвт. В теле клеткипотенциалдействия возникаетпри деполяризациимембраны на

мв.

Разветвленияаксона заканчиваютсявблизи тел,дендритов иаксонов другихнейронов. МестаконтактовЧ.Шерингтонназвал синапсами.По способупередачи возбуждениясинапсы делятсна химическиеи электрические.Последниепредставляютсобой участкинепосредственногоконтакта мембран.Электрическийимпульс распросраняетсячерез них всоответствиис законамиэлектрическихцепей ( проходятомический иемкостнойтоки).

Рассмотримподробнеехимическиесинапсы. Ониразличаютсяпо своемуместоположению:аксо -соматические,аксо- аксонные,аксо- дендритные(аксон заканчиваетсяна соме, т.е. теле,аксоне, дендрите).Синапсы различаютсяпо анатомическойструктуре,например, бываютпуговичныеи шипиковыесинапсы. В первомслучае аксонзаканчиваетсяобразованиемпохожим напуговицу. Вовтором - синапснапоминаеткнопку, надетуюна штырек (выступмембраны нейрона).Несмотря наразличия, химическиесинапсы объединяетряд общих признакови сам принципфункционирования.

Каждыйсинапс состоитиз трех частей.Окончаниеаксона (пуговица,или “ кнопочка”для шипиковогосинапса) называетсяпресинаптическойчастью. Участокнейрона, накотором расположенконтакт, называетсяпостсинаптическойчастью. Этичасти разделенысинаптическойщелью. В цитоплазмепресинаптическойчасти постояннонакапливатсяспецильноевещество -медиатор,которое служитпосредникомпри передачевоздействия.В результатеспайка, пришедшегов пресинаптическуючасть от нейрона-передатчика(пресинаптическогонейрона), происходитвыброс в синаптическуючасть медиатора,заключенногов пузырьки. Количествовыделившегосямедиаторабыстро нарастает,относительностабилизируется,а затем медиаторраспадается.Пересекаясинаптическующель, пузырькидостигаютпостсинаптическоймембраны. Медиаторсвязываетсяс молекулами-рецепторами(запускаетсяцелый комплексбиохимическихреакций). Впостсинаптическоймембране активируютсяспециальныеионные каналы.Они называютсямедиатор -зависимыми.Происходитлокальноеизменениемембранногопотенциала.

Воткрытом состояниимедиатор -зависимымканалам отвечаетсвое равновесноезначение мембранногопотенциала

, которое называютпотенциаломреверсии. Длямоделированиявлияния открытыхмедиатор -зависимыхканалов в правуючасть уравнения(6) Ходжкина -Хакслиследует добавитьслагаемое

,где

-коэффициентпроводимости.Если

,то значениелокальногомембранногопотенциалаотклоняетсяв положительнуюсторону. Когдаэто отклонениепревышеетпороговоезначение, запускаютсямеханизмыгенерацииспайка. Еслиже

,то, наоборот,локальныймембранныйпотенциалотклоняетсяв отрицательнуюсторону. Генерацияспайка затруднена.

В первомслучае говорят,что медиаторобладаетвозбуждающим,а во втором-тормознымдействием.Аксон образуеттысячи синапсов.Однако, в каждомиз них выделяетсяодин и тот жемедиатор (правилоДейла). В этойсвязи нейроныделят на возбудительныеи тормозные.

Следуетсделать следующеезамечание. Вышепотенциалреверсии отсчитывалсяот мембранногопотенциалав состояниипокоя, т.е.

,где

-отклонениепотенциалареверсии отнуля,

-аналогичноеотклонениепотенциалапокоя. Считается,что потенциалреверсии

для данногомедиатора вовсех нейронаходин и тот же.Однако, разныенейроны могутиметь различныйпотенциал покоя

.Для одних нейроноввеличина

может оказатьсяположительной,а для других-отрицательной.Медиатор можетоказывать каквозбуждающее,так и тормозноедействие. Этоявление наблюдаетсяв природе. Упростейшихнабор медиаторовне велик. Одиниз самых распространенных- ацетилхолинможет быть каквозбуждающим,так и тормозныммедиатором.

Накаждый синапспоступаетимпульс -сигнал“все, или ничего”.Однако, синапсывносят разныйвклад в суммарныймембранныйпотенциал. Онзависит отплощади синаптическогоконтакта, отколичествамедиатора,выделяющегосяединовременно,а также отрасположениясинапса. Какуже говорилось,области, примыкающиек аксонномухолмику, болеечувствительнык воздействию.Влияние синапсана мембранныйпотенциалхарактеризуютсинаптическимвесом. Говоритьо его числовомзначении,естественно,можно тольков рамках конкретноймодели нейрона.

Отметим,что связь междунейронамипосредствомхимическихсинапсоводнонаправлена:возбуждениепроводитсяот пресинаптическогок постсинаптическомунейрону.

Синапсыобладают пластичностью.По экспериментальнымданным синапс,часто принимающийучастие в проведениивозбуждения,увеличиваетсяв размерах, аследовательнорастет еговлияние напостсинаптическийнейрон (нейрон,на котором онрасположен).

Ещеодно важноесвойствосинаптическоговоздействия-явление рефрактерности(невосприимчивостик воздействию).О нем уже говорилосьвыше при описаниигигантскогоаксона. Во времягенерацииспайка и некотороевремя посленего (это ужене бесспорно)постсинаптическийнейрон не реагируетна воздействиемедиатора.Данное явлениеназываетсяабсолютнойрефрактерностью,а соответствующийпромежутоквремени -периодомрефрактерности.Считается, чтово время абсолютнойрефрактерностиникакое воздействиене способноиндуцироватьспайк нейрона.Постепенноабсолютнаярефрактерностьсменяетсяотносительной.Достаточносильное воздействиеприводит сспайку. Затемспособностьреагироватьна воздействиеполностьювосстанавливается.

Несмотряна малые размерынейронов накаждом из нихрасполагаютсятысячи синапсов.Возбуждение,поступившеена синапс, вызываетлокальноеотклонениемембранногопотенциалаот состоянияпокоя. Как ужеговорилосьпри описаниигигантскогоаксона, этилокальныеотклонения,если они непревышаютпороговыйуровень генерацииспайка, “растекаются”по мембране,затухая какпо пространствутак и по времени.Чем дальшерасположенаточка от пропустившеговоздействиесинапса, темменьше отклонениемембранногопотенциала.Чем большевремени прошлос момента отклонениямембранногопотенциалав зоне синаптическогоконтакта, темменее заметновозмущениемембранногопотенциалав других точках.

Затухая,локальныеотклоненияскладываютсяв зоне аксонногохолмика. Еслиотклонениемембранногопотенциалав зоне холмикапревышаетпороговоезначение, тогенерируетсяспайк, которыйраспространяетсяпо аксону. Вслучае, когданейрон постояннонаходится подинтенсивнымвоздействиемдругих нейронов,мембранныйпотенциал взоне холмикачасто превышаетпороговоезначение. Натакое воздействиенейрон отвечаетгруппой спайков-берстом. Промежуткимежду спайкамине корочерефрактерногопериода.

Темсамым, нейронвыполняетинтегративныефункции, суммируяпоступающиек нему сигналы(импульсы) другихнейронов(пространственноесуммирование).Особеностьсуммированиязаключаетсяв том, что с течениемвремени результатвоздействиянакапливается(временноесуммирование),но вклад каждогоранее поступившегоимпульса уменьшается.Нейрон генерируетбитовый сигнал(импульс “все,или ничего”).Однако, частотуследованияимпульсов (иличисло импульсовв берсте) можноинтерпретироватькак аналоговыйсигнал (точнее,его дискретноепредставление).

Потокиимпульсов неявляются единственнымфактором, действующимна нейроны.Между точкамимежклеточнойжидкости существуетразностьэлектрическихпотенциалов.Типичный объем,в котором потенциалмежклеточнойжидкости можносчитать практическипостоянным(местный потенциал),значительнопревышаетразмеры нейрона.Местные потенциалыколебательнымобразом меняютсяво времени. Этомедленныепотенциалы.Достаточнотипичный периодих осциляций-порядка

сек. (напомним,для нейронадлительностьимпульса порядка

мсек.). В изменениеместных потенциаловвносят вкладсами нервныеклетки (не тольконейроны), а такжеомические токи,обусловленныеэлектрическимградиентомво внеклеточнойжидкости (такаясвязь называетсяэлектротонической).

Местныепотенциалывлияют на импульсациюнейронов. Этомуесть доказательства.Изменениеместных потенциаловотражает сигналэлектроэнцефалограммы(ЭЭГ), которыйрегистрируетсяна поверхностикожи, покрывающейчереп. В спокойномсостоянии учеловека сигналЭЭГ осцилируетс периодомпорядка

сек. Замечено,что положительнаяполуволна ЭЭГсопровождаетсяучащениемимпульсациинейронов. Темсамым, быстрыеимпульсныепотенциалынаблюдаютсяна фоне и связаныс медленнымиместнымипотенциалами.Механизмы связии ее роль в целомв настоящеевремя не ясны.По одной изгипотез именнопостоянноменяющиесяузоры местныхпотенциаловкодируют информациюв мозге. Потокиже импульсовслужат дляпередачиинформационныхсообщений изодной областимозга в другую.

Однослойныйперсептрон- простейшаямодель ассоциативнойпамяти

Однослойнымперсептрономназовем множествонейронов Мак-Каллока - Питтса, которыеимеют общиевходы. Пусть

- входные сигналы,а

- выходной сигнал

-ого нейрона,

,где

- число нейронов.Тогда

Здесь

- общий векторвходных сигналов,

- синаптическийвектор

- ого нейрона,

-его пороговоезначение. Выходныесигналы принимаютлибо нулевое,либо единичноезначения (бинарны).Предположенияо бинарностивектора

делатьне будем. Персептронформируетвектор выходныхсигналов

.Обозначим через

- матрицу, в строкахкоторой находятсясинаптическиевекторы

.Ее назовемсинаптической.Введем такжевектор

,который назовемпороговым.Тогда выходнойвектор персептронасуть

гдефункция

вычисляетсяпокоординатно.Множествобинарных векторов(координатыравны либонулю, либо единице)обозначим через

.Пусть

- некоторыйнабор входныхвекторов, а

- множествовыходных векторов.Поставим задачуоб обученииперсептрона.Требуетсявыбрать синаптическуюматрицу

и пороговыйвектор

так, чтобы длявходных векторов

персептронформировалвыходные векторы

,т.е.

Еслиобучение удалосьпроизвести,то персептронвыполняетфункции ассоциативнойпамяти. По входномувектору

генерируетсвязанный сним выходнойвектор

.При этом есливходной вектор

слегка искажен,выходным векторомвсе равно будетвектор

(функция

непрерывна).Часто парывекторов

называютассоциативнымипарами.

Пусть

и векторы

линейно независимы.Тогда задачаоб обученииоднослойногоперсептронаразрешимы. Всилу того, чтонейроны слояне связанымежду собой,достаточнорешить задачуобучения дляпроизвольного

-огонейрона (персептрониз одного нейрона).Его ассоциативныепары имеют вид:

,где

- координатас номером

вектора

,которая принимаетлибо нулевое,либо единичноезначения. Такимобразом, нейроносуществляетклассификациювходных векторов:одним “приписывает”нулевое, а другим- единичноезначения признака.Выше показано,что в рамкахсделанныхпредположенийо векторах

задача классификацииразрешима.Описан алгоритмвыбора синаптическоговектора

и пороговогозначения

,для которых

Задачаоб обученииперсептроначасто оказываетсянеразрешимойдаже в простыхслучаях. Рассмотримперсептрон,состоящий изодного нейрона,который имеетдва синаптическихвхода, т.е. входнойвектор суть

.Поставим задачунайти синаптическийвектор и пороговоезначение такими,чтобы для входныхвекторов

выходнойсигнал былравен единице,а для векторов

- нулю?Данный нейрондолжен реализоватьлогическуюоперацию “исключающееили”.Выпуклые оболочкивекторов

очевидно пересекаютсяв точке

.Следовательно,поставленнаязадача в принципене разрешима.

Нерешеннаяпростейшаязадача сильноуменьшаетэнтузиазм.Однако, оказывается,что она разрешимана двухслойномперсептроне.Рассмотримконструкциюиз трех нейронов.Первые два изних имеют общиевходы и образуютпервый слой.Выходные сигналыэтих нейроновявляются входнымисигналами длятретьего нейрона.Пусть

входной и выходнойвекторы первогослоя, а

- выходной сигналтретьего нейрона.Положим длянейронов

.Простымпереборомдоказывается,что описанныйперсептронреализуетоперацию “исключающееили”.

Рассмотренныйпример - решениезадачи классификациина множествебинарных векторов.Оказывается,что теоретическидвухслойныйперсептронрешает задачуклассификациибинарных векторовв общем случае.Однако, этоутверждениеимеет лишьтеоретическоезначение, посколькудоказываетсяоно, когда числонейронов впервом слоеравно

,где

- размерностьвходного вектора.

Формальныйнейрон Мак-Каллока- Питтса

Модельотражает единственныйатрибут биологическогонейрона -егоспособностьгенерироватьимпульсы “все,или нечего”в ответ на достаточносильное воздействие.Нейрон Мак-Каллока- Питтса функционируетв дискретномвремени. Онимеет

входов -синапсови единственныйвыход. Значениевыходногосигнала

соответствуетгенерацииспайка (состояниевозбуждения).В состояниипокоя выходнойсигнал

.В момент времени

выходной сигналформируетсяв зависимостиот сигналов

,поступившихна синапсы вмомент времени

.Последние такжемогут приниматьзначения нольили единица.Если синаптическийсигнал равеннулю, то говорят,что синапснаходится всостояниипокоя. Единичноезначениесоответствуетсостояниювозбуждениясинапса. Сигнална синапс поступаетлибо от выходадругого нейроны,либо от сенсора-специальноговхода для внешнихсигналов.Первоначальноправила формированиявыходногосигнала быливведены авторамимодели в видеряда аксиом.Приведем двеиз них.

Длявозбуждениянейрона в моментвремени

необходимов момент времени
возбудитьопределенное,фиксированноечисло синапсов,которое независит ни отпредыдущейистории, ни отсостояниянейрона.
Нейронимеет особыевходы -тормозящиесинапсы. Возбуждениелюбого из нихв момент времени

исключаетвозбуждениенейрона в моментвремени
.

Перваяаксиома отражаетпороговыесвойства нейрона,а вторая - подчеркиваетособую рольторможения(на сетях “беззапретов”нельзя реализоватьпроизвольныйалгоритм).

Впоследствиимодель изменилась.Синаптическиесигналы

(не обязательнобинарные) сталивзвешиватьи формироватьсуммарныйвходной сигнал

.Здесь

-числа, которыеназываютсинаптическимивесами. Синапсназываютвозбудительным,если

,и тормозным,если

.Договорились,что в моментвремени

нейрон находитсяв возбужденномсостоянии

,если суммарныйвходной сигналв момент времени

превысил некотороепороговоезначение

,т.е.

.Пусть

-функция Хевисайта.Она принимаетнулевое значениепри

и единичноепри

.Тогда можнозаписать:

. (12)

Описанныйобъект естьто, что в настоящеевремя называютформальнымнейроном Мак-Каллока- Питтса.

Функция

в (12) получиланазвание функцииактивации.Часто рассматриваютнейроны с другимифункциямиактивации.Нулевое значениевыходногосигнала означает,что в соответствующиймомент временинейрон не действуетна другие нейроны(он как бы искючениз сети). Представляетсяразумным, чтов любой моментвремени

выходное значениене равно нулюи зависит отвеличины

.В связи с этим,часто берутв качествефункции активациизнак числа.Формула длявыходногосигнала приобретаетвид:

. (13)

Здесь

при

.Отметим, чтов данном случаеподелить нейронына возбудительныеи тормозныев принципеневозможно(напомним, чтодля биологическихнейронов такаяклассификацияпроизводится).

Ещеодин подходк выбору функцииактивациисвязан с биологическимфактом, что наболее сильноевоздействиенейрон отвечаетпачкой спайков.Число спайков(или частотуих следования)можно принятьза характеристикувыходногосигнала. В связис этим рассматриваютнейрон, у котороговыходной сигналзадается формулой:

. (14)

Здесь

-монотоннорастущая функция,имеющая предел

при

.Дополнительнопредполагают,что

при

,либо

при

(сигмоиднаяфункция). Широкоиспользуетсятак называемаялогистическаяфункция:

.Другой вариант:

при

,например,

Иногдав качествефункции

выбирают линейныйтрехзвенныйсплайн (ломаную,состоящую изтрех частей):

при

,где

для

.Тогда на восходящемучастке функцииактивациинейрон работаеткак линейный сумматор входныхсигналов.

Рассмотримнейрон Мак-Каллока- Питтса, выходнойсигнал которогозадается формулой(12). Вектор

,состоящий извходных сигналов(не обязательнобинарных), назовемвходным, а вектор

-синаптическим.Обычным образомвведем скалярноепроизведение:

.Гиперплоскость

разбиваетпространство

на два полупространства

.В первом из них

,а во втором

.Если входнойвектор

,то выходнойсигнал нейрона

,если же

,то

.Тем самым, нейронотносит каждыйиз входныхвекторов кодному из двухклассов.

Длятого, чтобынейрон могосуществлять“правильную”в каком -то смыслеклассификацию,должны бытьсоответствующимобразом выбранывектор синаптическихвесов

и пороговоезначение

.Процедуравыбора этихпараметровназываетсяобучениемнейрона. Различаютобучение с“учителем”и “без учителя”.

Задачаобучения сучителем ставитсяследующимобразом. Задаютсядва наборавходных векторов

.Они называютсяэталоннымивекторами илипаттернами,а также образами.Требуетсяопределитьвектор

синаптическихвесов и порог

так, чтобы выходнойсигнал нейронав ответ на входныевекторы

был равен единице,а на векторы

-нулю. Тем самым,обучение сучителемпредполагает,что для каждогоэталонноговходного векторазаведомо известен ответ нейрона.Эталон и желаемыйответ называютсяобучающейпарой.

Несмотряна многочисленныеприкладныедостиженияобучение сучителем критикуетсяза свою биологическуюнеправдоподобность,посколькусовершенноне понятнооткуда могутпоявитьсяжелаемые ответы.При обучениибез учителязаранее неизвестноразбиениеэталонов наподмножества.До обученияневозможнопредсказатьв какой класспопадет каждыйконкретныйэталонныйвектор. В процессеобучения выделяютсястатистическиесвойства обучающейпоследовательностии вырабатываютсяправила классификации.Естественноидея, на которойоснованы правила,априорно заложенав процесс обучения.Например, эталонныевекторы усредняютсяпо координатам.Если эталонныйвектор находитсяот усредненного“не слишкомдалеко”, то онотносится кпервому классу,а иначе -ко второму.Постановказадачи об обучениибез учителявыглядит несколькорасплывчатой.Однако в рядеслучаев онауспешно решена.

Различаюттакже внешнееи адаптивноеобучение. Впервом случаесинаптическиевеса вычисляютсянеким внешнимустройством,а затем импортируютсяв синапсы. Приадаптивномобучении весаподстраиваютсяв процессефункционированиясети, которойпредъявляетсяобучающаяпоследовательностьэталонов. Многиеавторы считаютмеханизм адаптациинеотъемлемыматрибутомнейронов. Внешнееобучение позволяетпонять, во -первых,возможна ливообще интересующаянас классификациядля даннойобучающейпоследовательности.Во -вторых,позволяет, незадумываясьо возможныхмеханизмахадаптации,разумно выбратьсинаптическиевеса для изучениявопроса офункционированиинейронов,объединенныхв сеть.

Послезавершенияпроцесса обучениянейрон осуществляетклассификациювекторов эталоннойпоследовательности,т.е. “запоминает”для каждоговектора класс,к которому тототносится.Кроме этого,произвольныйвходной векторнейрон относитк определенномуклассу, т.е.“обобщает”классификацию(принцип сортировки)эталоннойпоследовательностина произвольныйобраз.

Рассмотримвопрос о разрешимостизадачи обученияс учителем вчастном случае,когда второемножествосостоит изединственногопредставителя

.Геометрическиэто означает,что строитсягиперплоскость,которая отделяетвекторы

от нуля, т.е.решается задачаоб отделимости.Отметим, чтодля бинарныхвекторов, координатыкоторых равнылибо нулю, либоединице, задачаоб отделимостивсегда разрешима.В качественормальноговектора можновзять, напримервектор

иположить дляпороговогозначения

.Нижеследующиепостроенияна используютпредположенияо бинарностивекторов.

Легко понять,что задача оботделимостиразрешима втом и толькотом случае,когда выпуклаяоболочка векторов

не содержитнуля (отделенаот нуля). Напомним,что выпуклойоболочкойвекторов

называетсямножество

,состоящее извекторов:

,где

.Пусть множество

отделено отнуля и

-его ближайшаяк нулю точка,т.е.

по всем

.Здесь, как обычно,

.Положим

и выберем произвольно

.Вектор

-искомый синаптическийвектор, а

-пороговоезначение длянейрона, реагирующегона входныевекторы

выходным сигналом

,а на вектор

-сигналом

Задачао нахождениивектора, накотором реализуетсяминимальноерасстояниеот нуля до выпуклойоболочки самапо себе весьмасложна. Есличисло векторов

не превышаетразмерностьпространстваи сами они линейнонезависимы,то отделяющуюгиперплоскостьможно построитьдругим способом.Достаточнопровести черезвекторы

какую-нибудьне содержащуюноль гиперплоскость,а затем сдвинутьее по направлениюнормали ближек нулю. В качествевектора синаптическихвесов следуетвзять нормальныйк

гиперплоскостивектор, направленныйв полупространство,не содержащееноль.Нормальныйвектор к гиперплоскости,содержащейвекторы

строитсяконструктивно.Выбор векторабудет однозначным(с точность домножителя),если предполагать,что он принадлежитподпространству,порожденномувекторами

При построениибудем использоватьалгоритм Шмидта.Он позволяетпо последовательностилинейно независимыхвекторов

построитьпоследовательность

ортогональныхмежду собойвекторов, обладающихследующимсвойством. Вектор

принадлежитподпространству,порожденномувекторами

и ортогоналенвсем векторам,расположеннымв подпространстве,порожденномвекторами

.Последовательность

строится рекуррентно.Положим

.Вектор

представимв виде:

.Из условия

получим:

.Далее полагаем

.Вектор

ортогоналенлюбому векторуиз подпространства,порожденноговекторами

,которому принадлежатвекторы

.Следовательно

.Учитываяортогональностьвекторов

,получаем:

.На

-ом шаге алгоритмаполагаем

. (15)

Из условия

в силу ортогональностивекторов

находим

.Отметим важноеобстоятельство,что

. (16)

Действительно,из (15) следует:

Пустьвекторы

,где

линейнонезависимы.Построим проходящуючерез нихгиперплоскость

,т.е. такую гиперплоскость,для которой

при всех

.Используяалгоритм Шмидта,ортогонализируемпоследовательностьвекторов

(легко видеть,что они линейнонезависимы).Пусть последнийэлемент последовательностисуть

.Это и есть искомыйнормальныйвектор. Действительно,по построению

для

.Таким образом,

для всех

.В силу (16) получаем

.Используя эторавенство,уравнениегиперплоскостиможно переписатьв виде:

Зафиксируемпроизвольно

.Гиперплоскость

отделяетвекторы

от нуля. Действительно,

Рассмотримзадачу о разделениигиперплоскостьюмножеств векторов

,для

.Она разрешимав том и толькотом случае,когда выпуклыеоболочки

соответственновекторов

не пересекаются.Пусть

-векторы, накоторых реализуетсяминимальноерасстояниемежду точкамивыпуклых оболочек

.Тогда разделениемножеств осуществляетлюбая гиперплоскость,которая ортогональнаотрезку, соединяющеговекторы

и проходитчерез его внутреннююточку.

Нахождениевекторов

-сложная задача.Разделяющуюгиперплоскостьможно легкопостроить, есличисло

и векторы

линейно независимы(можно вычитатьлюбой фиксированныйвектор

,или

).Рассмотримпоследовательность векторов

.Они линейнонезависимы.Используяалгоритм Шмидта,по даннойпоследовательностипостроимортогональную последовательность.Пусть

-последнийвектор, полученныйв процессеортогонализации.По построению

для

.Из равенства(16) следует, что

.Тем самым,

.Кроме того,

.Обозначим:

.Пусть

.Гиперплоскость

разделяетвекторы

.Действительно,

Отметим, чторассмотренныйалгоритм выборасинаптическихвесов, основанныйна ортогонализациивходных векторов,- пример внешнегообучения нейронаМак-КаллокаПиттса.

Наследованиепризнаков,сцепленныхс полом

Хромосомныйнабор женскихособей состоитиз пар гомологичныххромосом. Мужскиеособи имеютдве хромосомы(обозначим ихкак Xи Y),которые негомологичныни одной другойхромосоме и,естественно,между собой.При этом хромосомаXлюбой мужскойособи имеетаналог у всехженских особей(хромосомыразличаютсявизуально), ахромосомы Yу женских особейотсутствуют.Отсюда следуетвывод, что полоределяетсяхромосомнойпарой XY.Женские особиимеют две хромосомыX,а мужские имеюткак хромосомуX,так и хромосомуY.Мать передаетсвоим детямхромосому X.От отца дочерипереходитхромосома X,а сыну - хромосомаY.Для мужскихособей аллель,расположенныйв локусе хромосомыX,в принципе неимеет дополнениядо аллельнойпары. Относительнотаких аллелеймужская особьне являетсяни гомо, нигетерозиготной.О таких особяхговорят, чтоони гемизиготныпо соответствующимгенам.

Генырасположенныев локусах хромосомXи Y,называютсясцепленымис полом. Онибыли открытыв 1910 г. Т.Морганом.Экспериментыпроводилисьс мухами дозофилами.Обычно цветглаз у этих мух- красный, режевстречаютсямухи с белымиглазами. Т.Морганскрещивалкрасноглазыхсамок с белоглазамисамцами. Потомствов первом поколениибыло красноглазым.Внешне ситуацияполностьюаналогичнатой, что рассматриваласьГ.Менделем.Скрещиваниепредставителейдвух разныхгомозиготныхгенотиповприводит кпоявлениюгетерозиготныхособей. Посколькувсе мухи в первомпоколении имеликраные глаза,этот цвет являетсядоминантным.Согласно Г.Менделюво втором поколениииэтот цвет глаздолжен наблюдатьсяс вероятностью

,а белый с вероятность

.Это должноотноситьсякак к самцам,так и к самкам.

Результатыопытов Т.Морганаоказалисьиными. Во второмпоколениидействительноу

мух наблюдалиськрасные глаза.Однако, половинасамцов имеликрасные, а втораяполовина - белыеглаза. Посколькуженские и мужскиеособи отличаютсянаборами хромосомXи Y,следует предположить,что аллельответственныйза цвет глазрасполагаетсяв локусе однойих них. Таковойне может бытьхромосома Y,так как онаотсутствуету женских особей.Следовательно,соответствующийген раположенв локусе хромосомыX.Обозначималлель, обуславливающийкрасный цветглаз как A,а белый - какa.Существуеттри женскихгенотипа AA,Aa,aaидва мужских:Aи a.Скрещиваниесамок дрозофилгенотипа AAи самцов генотипаaприводит кпоявлению впервом поколениипотомства скрасными глазами.Генотип самок- Aa,а самцов - A.Во втором поколениирождаютсятолько красноглазыесамки (генотипыAA,Aa).Мужские особис вероятностью

относятся кгенотипам Aи a,т.е. половинаимеет красный,а половина -белый цветглаз. Если считать,что число самоки самцов одинаково,то суммарново втором поколениичастота красноглазыхособей

.Таким образом,результатыопытов Т.Моргананаходят объяснение.

Намужской хромосомелокализуетсяочень малогенов, что весьмарацианально.Сцепленныйс хромосомойYген, а, следовательно,и признак, имеюттолько мужскиеособи. Передаетсяон только помужской линии.На женскойхромосоме Yлокализуетсямного генов.Цветовое зрениеу человекаконтролируетсятолько аллелями,сцепленнымис X- хромосомой.Через эту хромосомупередаетсядальтонизм(отсутствиецветовогозрения). У женщиндальтонизмпроявляется,если она получиладва соответствующихаллеля (данныеаллели рецессивны).Мужчине достаточноодного такогогена. В результатедальтонизму мужчин встречаетсячаще, чем у женщин.Если у женщиныотсутствуетцветовое зрение,то ее сын будетдальтоником,а у дочери дальтонизмбудет только,если он наблюдаетсяеще и у отца.Если женщинаявляется скрытымносителемдальтонизма(относится кгетерозиготномугенотипу), тоее сын наследуетдальтонизмс вероятностью

.Отметим еще,что тяжелоезаболевание- гемофилия(плохая свертываемостькрови) такжевызываетсягеном, сцепленнымс X-хромосомой.

Рассмотримвопрос об эволюциичастот генов,сцепленныхс X-хромосомой.Необходимоотслеживатьженскую и мужскуюлинии, которые,естественно,связаны междусобой. Как ужеговорилось,в популяциипо X-сцепленномугену с двумяаллелями Aи aприсутствуеттри женских:AA,Aa,aaи два мужских:A,aгенотипа. Обозначимженских частотыгенотипов вi -ом поколениичерез

и соответственномужских -

.Как обычновыполненысоотношения:

.Пусть

-частоты женскихгамет в i -омпоколении. Онисвязаны с частотамигенотиповобычными дляслучая двухаллельноголокуса формулами:

, (7)

. (8)

Очевидно,что частотымужских гамети генотиповсовпадают.Посколькуженские особиполучают отродителей однуженскую и однумужскую гаметы,для следующегоi+1 -ого поколенияимеем следующиечастоты женскихгенотипов.

Генотип Частота

Легкопроверяется,что

Изравенства (7) всилу формулдля частотженских генотиповв i+1 -ом поколенииполучаем соотношениядля частотженских гаметв i+1 -ом поколении:

, (9)

. (10)

Потомкимужского полаполучают аллелиAи aчерез женскуюгамету. Следовательно,частоты

генотиповAи a(они же -частотыгамет) совпадаютс частотами

женских гаметв i -ом поколении.В силу данногообстоятельстваи формул (9), (10) получаемследующиеуравнения дляэволюции частотженских и мужскихгамет:

, (11)

. (12)

Решимсистему разностныхуравнений (11)описанным вышеспособом. Выпишемматрицу правыхчастей:

Еесобственныезначения определяютсяиз характеристическогоуравнения

Раскрываяопределитель,получаем

Находимкорни:

.Собственныевекторы

- нетривиальныерешения систем:

изкоторых следует,что

Системаразностныхуравнений (11)имеет частныерешения

.Общим решениемсистемы являетсяих линейнаякомбинация:

Изначальногоусловия

определяемконстанты

.В результатеполучаем явнуюзависимостьчастот женскихи мужских гаметAот номера поколения:

Совершенноаналогичноиз (12) для частотженских и мужскихгамет aполучаем:

Используяполученныеформулы дляэволюции частот,сделаем рядвыводов. Положим:

.Отметим, что

.С ростом номерапоколениячастоты женскихи мужских гаметAстремятся кобщему пределу

,соответственночастоты гаметaстремятся кпределу

.Последовательностичастот сходятсянемонотонно,но со скоростьюгеометрическойпрогрессии,т.е. весьма быстро.Напомним, чтов i -ом поколениичастоты женскихгенотипов AA,Aa,aa суть

Отсюдаследует, чтов пределе

Такимобразом, дляженских генотиповв пределе имеетместо законХарди -Вайнберга.Так как сходимостьк пределу оченьбыстрая, то напрактике можносчитать, чтопосле сменытрех -четырехпоколенийчастоты женскихгенотипов AA,Aa,aaсуть

.Аналогично,частоты мужскихгенотипов Aи aпосле сменынесколькихпоколенийприближенноравны

Напомним,что гены дальтонизмаи гемофилииявляютсярецессивными.Согласно полученнымрезультатам,сцепленныйс полом дефект,который встречаетсяу мужчин свероятностью

,у женщин проявляетсяс гораздо меньшейвероятностью

-31 -

Отборв менделевскойбесполой диплоиднойпопуляции

ЗаконХарди -Вайнбергагласит, что приотсутствиивозмущенийчастоты аллелейне изменяются.Однако процессы,изменяющиечастоты генов,постояннопроисходятв популяции.Без них не былобы эволюции.Рассмотримпроцессы отбора.К идее естественногоотбора какосновногопроцесса вэволюции пришлинезависимодруг от другаЧарльзДарвин и АльфредРассел Уоллес.В 1858 г. на заседанииЛиннеевскогообщества вЛондоне былипредставленысообщения обих открытии.Доказательстватого, что эволюцияпроисходитпутем естественногоотбора былиданы Ч. Дарвиномв его работе"Происхождениевидов" в 1859 г. Ч.Дарвин предположил,что в результатеизмененийпоявляютсянаследуемыепризнаки, которыеобеспечиваютих обладателямлучшую приспособленностьк условиямсреды. Такиеорганизмы имеютбольше шансовк выживаниюи оставляютбольше потомства,чем особи наделенныеменее полезнымисвойствами.В результатечастота признаков,обеспечивающихлучшую приспособленность(адаптивность),будет увеличиватьсяот поколенияк поколениюза счет частотыпризнаков,дающих меньшуюадаптивность.Этот процессбыл названестественнымотбором.

Рассмотримпростейшийслучай - модельотбора в двухаллельнойменделевскойпопуляции. Вее основе лежитзакон Харди-Вайнбергарасчета частоталлелей и генотипов.Припишем генотипамAA,Aa,aaчисла

,которые назовемотносительнымиприспособленностями.Данные коэффициентыможно интерпретироватькак вероятноститого, что особьсоответствующегогенотипа доживаетдо этапа размножения.Обозначим через

частоты

аллелей Aи a в n -ом поколениив момент егопоявления (ониже - частотыгамет n-1 огопоколения).Первоначальнодля n -ого поколениясогласно законуХарди -Вайнбергадля генотиповAA,Aa,aaимеем частоты:

.Числа

есть вероятноститого, что особьn -ого поколенияотноситсясоответственнок генотипу AA,Aa,aaи доживает доэтапа размножения.Полная вероятностьтого, что особьn - ого поколениядоживает доразмножениясуть

. (13)

Этувеличину будемназывать среднейприспособленностьюв n -ом поколении.Используяформулу Бейеса(теорема гипотез),выписываемчастоты генотиповAA,Aa,aaэтого поколенияк моменту началаэтапа размножения:

Частотыгамет A,aопределяютсячастотамигенотипов:

Частотыаллелей A,aв момент появленияn+1 -ого поколениясовпадают счастотами гаметпредыдущегопоколения.Получаем уравнениясвязывающиечастоты аллелей:

, (14)

. (15)

Независимымиз этих двухуравненийявляется толькоодно т.к.

.Отметим, чтоуравнения (14)и (15) не меняются,если заменить

,где

произвольно.В связи с этимчасто принимаютравной единицемаксимальнуюотносительнуюприспособленность.

Уравнение(14) имеет явныерешения тольков частных случаях.Рассмотримслучай такназываемогогеометрическогоотбора.Пусть относительныеприспособленностигенотиповобразуютгеометрическуюпрогрессию:

.Введем обозначения

.Разделив первоеуравнение навторое, получим

Отсюдаследует, что

.Вернемся кстарым переменным:

Получаем

Если

,то отбора нет,

и для всех

.Если

,то

с ростом

,т.е. аллель Aвытесняеталлель a.Если

,то наоборот-аллель aвытесняеталлель A.Отбор геометрическоготипа эквивалентенотбору на уровнеаллелей. Действительно,пусть

- вероятностьтого что, особь,имеющая одиналлель A,доживет достадии размножения.В свою очередь,пусть

аналогичнаявероятностьпо аллелю a.Данные вероятностиможно пониматькак вероятностивыживанияаллелей и можноназвать приспособленностьюаллелей. Еслисчитать, чтогибель аллеляприводит кгибели особи,то вероятностивыживания(приспособленности)особей генотиповAA,Aa,aaсуть

.Как уже отмечалось,приспособленностиможно нормировать(разделить наодно и то жечисло). Последеления на

получим приспособленностигенотипов

,где

Рассмотримслучай летальногогена.Когда говорято летальностирецессивногоаллеля a,то это не обязательноозначает, чтогенотипы aaумирают. Онисчитаютсягенетическилетальными,если не оставляютпотомков. Пусть

.Уравнения (14),(15) имеют вид:

илиже

Можнонайти в явномвиде решениевторого уравнения.Положим

.Тогда

Общеерешение разностногоуравнения

ищутв виде

.После подстановкиполучаем:

.Отсюда, используяметод неопределенныхкоэффициентов,выводим

,т. е.

.В силу начальногоусловия

получаем

.Для исходнойпеременной

имеем формулу

,из которойследует, чточастота летальногоаллеля с ростомномера поколениястремится кнулю, т. е. онисчезает. Отметим,что процессочень медленный,Так при

требуетсядесять поколений,чтобы наполовинусократитьчастоту гена.

Сказанномуможно дать ещеследующуюинтерпретацию.Предположим,что проводитсяселекционнаяработа по искоренениюрецессивногоаллеля a,который признаннежелательнымв популяции.Этот аллельимеет внешниепроявлениятолько у особейгенотипа aa.Они не допускаютсяк размножению.Данная селекционнаястратегиямалоэффективна,что следуетиз приведенноговыше примера.Как толькоселекционнаяпрограммапрекращается,частоты аллелейперестаютменяться, чтовытекает иззакона Харди-Вайнберга.Если бы какой-нибудьсумасшедшийдиктатор посовету своегоне менее безумногоокружения решилизвести альбиносов(частота соответствующегоаллеля 0.01), то заодно -два поколения(продолжительностьжизни диктатора)значение частотыаллеля не изменилосьбы во второмзнаке.

Рассмотримслучай, когдаразличныотносительныеприспособленности

генотипов AA,Aa,и, одновременно,аллель aявляется летальным,т. е.

.Тогда

Полагая

,получим

Вотличии отпредыдущего,общее решениеэтого уравненияищем в виде:

.После подстановкиполучим

.Метод неопределенныхкоэффициентовдает

,т.е.

.Из начальногоусловия

следует, что

.Переменные

вводилисьравенствами

,из которых

Пусть

,т.е. относительнаяприспособленностьгомозиготногогенотипа AAвыше чем гетерозиготногогенотипа Aa.Тогда

при

,т.е. с ростомномера поколенияаллель a,а, следовательно,и генотип Aaвытесняетсяиз популяции.

Вслучае, когда

,приспособленностьгетерозиготAaбольше приспособленностигетерозиготAA.Ясно, что

при

и частоты

стремятся котличным отнуля и единицыпределам:

Такимобразом, хотяаллель aявляется летальным,оба генотипаAAи Aaсосуществуют.Этот результатпервоначальнокажется парадоксальным.Однако, предсказанныйтеорией фактсосуществованиягенотипов, одиниз которыхимеет летальныйаллель, обнаруженв природныхпопуляциях.Аллель серповидноклеточногогемоглобиналетален иодновременновстречаетсяу миллионовлюдей в Африке.Широкое распространениегетерозиготобъясняетсяих повышеннойсопротивляемостьюк малярии.

Исследованиеэволюционныхуравнений

Уравнение(14) имеет вид:

, (16)

гденепрерывнодифференцируемаяфункция

(17)

задаетодномерноеотображение

.Последовательностьитераций

будем называтьтраекториейотображения

.Ставится задачаоб исследованиитраекторий.

Пустьотображение

имеет неподвижнуюточку

,т.е.

.Простейшейтраекториейявляется стационарнаяпоследовательность

.Она же называетсясостояниемравновесияуравнения (16).Говорят, чтосостояниеравновесияустойчиво(асимптотически),если существуеттакая егоокрестность,что все траекторииначинающиесяв ней сходятсяк состояниюравновесия.Для устойчивостисостоянияравновесия

достаточно

при

.Наоборот, если

при

,то состояниеравновесиянеустойчиво.Это означает,что в скольугодно малойокрестностисостоянияравновесияберет началотраектория,которая с ростомномера n покинетнекоторуюфиксированнуюокрестностьсостоянияравновесия.Траекторияможет сколькоугодно развозвращатьсяв эту окрестность,но каждый разпосле возвращенияснова покидаетее.

Одномерныеотображения(но не (17)) могутиметь периодическиетраектории:

,где

-минимальныйпериод. Периодическиетраектории(циклы) естьнеподвижныеточки отображения,задаваемогосложной функцией

.В частности,циклы периодадва - неподвижныеточки отображения

.Циклы устойчивыили неустойчивыв зависимостиот того, устойчивыили неустойчивысоответствующиенеподвижныеточки. Известныотображения,которые имеютнеустойчивыециклы любогопериода. Поведениетраекторийтаких отображенийчрезвычайносложно. Приближенноговоря, тракториипробегаютвблизи любогоцикла. Тем самым,задача о поведениитраекторийодномерногоотображениявесьма не проста.

Однако,в рассматриваемомконкретномслучае отображения,заданногоформулой (17), всетраекториистремятся ксостояниямравновесия.Доказательствоэтого утверждениябудет нашейближайшейзадачей.

Покажемсначала, чтофункция

,заданная формулой(17), монотоннорастет на интервале

.Запишем функцию

в виде:

,где

Здесь

для

.Легко получаем

Всвою очередь,для

Такимобразом,

для

и функция монотоннорастет.

Измонотонностифункции вытекаетважное следствие.Пусть

- два состоянияравновесияи на интервале

других состоянийравновесиянет. Предположим,что начальнаяточка траектории

.тогда при

точки траекториистремятся кодному из состоянийравновесия:или к

,или к

Длядоказательствазаметим сначала,что отображение

переводитотрезок

в себя. Действительно.в силу монотонностидля любого

имеем

,т.е.

.Далее, так какна интервале

нет состоянийравновесия(точек, где

),то либо

либо

для

.Пусть реализуетсяпервый случай.Тогда

.Последовательность

монотоннорастет и ограниченасверху числом

.Она сходится.Переходя вравенстве

к пределу при

получим

.Поскольку наинтервале

отсутствуютсостоянияравновесиято

,т.е.

.Аналогичнопроверяется,что в случае

для

точки траектории

.Тем самым,сформулированноеследствиедоказано.

Доказательствотого, что всетраекторииотображения(17) стремятсяк состояниямравновесиятеперь легкозавершается.Заметим, чтокрайние точки

отрезка

являются неподвижнымидля отображения(17). Если отображениене имеет другихнеподвижныхточек, то всеего траекториистремятся кодной и той женеподвижнойточке (либо

,либо

.Если существуютдругие неподвижныеточки, то ониразбиваютотрезок

на части. Внутрикаждой из частейвсе траекториистремятся кодной из крайнихточек разбиения.

Состоянияравновесияопределяютсяиз уравнения:

.
Последовательнополучаем:

Отсюдаполучаем, чтокроме найденныхранее состоянийравновесия

может присутствоватьеще одно:

. (18)

Соответствующеезначение частоты

суть

. (19)

Поскольку

,то состояниеравновесия(18) существует,если выполненоодно из условий:

, (20)

. (21)

Всостоянияхравновесия

генофонд популяциисодержитсоответственнотолько аллелиAи a.Равновесноесостояние, еслионо существует,соответствуетслучаю, когдагенофонд содержитоба аллеля. Ононазываетсяравновеснымпилиморфизмом.

Ниженам потребуютсязначения производной

при

.Прямые вычисленияпоказывают,что

.(22)

Возможнычетыре случаясоотношенийотносительныхприспособленностийгенотипов:

Первыйслучай. Следуетпредполагать,что одно изнеравенствстрогое, в противномслучае нетотбора. Посколькулибо

,либо

,то отсутствуетвнутреннееравновесноесостояние

для частоталлелей, заданныхформулами (18)и (19). Действительно,одно из этихчисел будетотрицательным.В силу проведенныхвыше рассужденийвсе траекторииотображения

стремятся кодному из крайнихравновесныхсостояний: либо

,либо

.Разность

не обращаетсяв ноль, а, следовательно,не меняет знакна интервале

.Если она положительна,то траекториистремятся ксостояниюравновесия

.В противномслучае траекториистремятся кнулевому состояниюравновесия.Знак разностиможно определить,анализируяее в малыхокрестностяхсостоянийравновесия.Пусть дляопределенности

.Тогда из формулыТейлора и (22)следует, что

для

.Совершенноаналогичнопроверяется,что для случая

данная разностьположительнапри

Такимобразом, всетраекторииотображениястремятся ксостояниюравновесия

.Происходитвытеснениеменее приспособленногоаллеля aиз популяции.Однако этотпроцесс протекаеточень медленно.Пусть, например,

,где

.Тогда можнопоказать, что

,при

Второйслучай полностьюсимметриченпервому. Происходитмедленноевытеснениеаллеля A.

Третийслучай. Выполненоусловие (21), прикотором существуетвнутреннеесостояниеравновесия

,определенноеформулой (18).Выясним, какиезнаки имеетразность

на интервалах

.Для

как и в первомслучае имеем

следовательно

для всех

.Траекторияс начальнымусловием

стремится ксостояниюравновесия

.Состояниеравновесия

неустойчиво.

Всвою очередьдля значений

по формулеТейлора получаем:

Длявсех

выполненонеравенство

.Траекториис начальнымусловием

также стремятсяк внутреннемусостояниюравновесия

,а состояниеравновесия

неустойчиво.

Итак,в рассматриваемомслучае независимоот начальныхусловий всетраекториистремятся кустойчивомусостояниюравновесия:

Популяцияэволюционизируетк этому состоянию.В ней присутствуютвсе генотипыAA,Aa,aa,включая менееприспособленные.Как уже отмечалось,такое состояниеназываетсябалансированнымполиморфизмом.

Четвертыйслучай. Здесьтакже существуетвнутреннеесостояниеравновесия

.Однако, знакифункции

на интервалах

будут противоположнымитем, которыеимели местов третьем случае:

для

.Вследствиеэтого, для траекторийс начальнымиусловиями

получаем

при

(соответственно

).Аллель Aвытесняетсяиз популяции.Если же

,то

при

.Постепенновытесняетсяиз популяцииаллель a.Какой аллельтеряется - зависитот начальногосостоянияпопуляции.Равновесныйполиморфизмоказываетсянеустойчивым.

Поведениетраектории

можно изобразитьв виде фазовойдиаграммы, гдевдоль оси абсциссоткладываетсязначение

,а вдоль осиординат - величина

Диаграммыa), b), c), d) соответствуютслучаям 1- 4.

Возрастаниесредней приспособленности

Вышесредней приспособленностьюв n-ом поколениибыла названавеличина

.Она интерпретировалась,как полнаявероятностьтого, что особьn-ого поколениядоживает доэтапа размножения.Покажем, чтосредняя приспособленность-неубывающаяфункция отномера поколенияn.Таким образом,эволюция происходитв сторону возрастанияприспособленностипопуляции, чтополностьюсоответствуеттеории Ч. Дарвина.

Запишем

как функциюот

ивычислим еепроизводные:

Такимобразом, экстремальноезначение

достигаетсяпри

(23)

иявляется максимумомпри

и минимумом,если

Рассмотримпервый случай,когда

.Квадратичнаяфункция

не имеет экстремумана интервале

.Действительно,пусть дляопределенности

.Тогда из (23) следует,что экстремальнаяточка

.Для всего интервала

производная

имеет один итот же знак.При

имеем

.Следовательно,функция

на интервале

монотоннорастет. Напомним,что в рассматриваемомслучае длятраектории

отображения

также монотонно

при

.В результате

.При этом

Второйслучай

подобен первому.Функция

на интервале

не имеет экстремумаи монотонноубывает. Согласнополученнымранее результатам,для траекторииотображенияимеем:

.В результатепоследовательность

оказываетсямонотоннорастущей:

.При этом

при

Втретьем случае(

)экстремальнаяточка

является точкоймаксимума, т.к.

Наинтервале

функция

монотоннарастет, а наинтервале

монотонноубывает. Одновременно,точка

,согласно (18),является устойчивымсостояниемравновесия

(состояниеполиморфизма).Как показановыше, если начальнаяточка траектории

,то для всех ееточек

.Тем самым,последовательность

монотоннорастет. Еслиже начальнаяточка

,то

.Тем не менее,последовательность

по-прежнемумонотоннорастет, в силумонотоногоубывания функции

на соответствующеминтервале.

Четвертыйслучай (

)аналогиченпредыдущему.Состояниенеустойчивогополиморфизмаявляется точкойминимума длясредней приспособленности.Траектории(последовательности

)с начальнымиусловиями

монотонноубывают. Одновременно,на соответствующемпромежуткетакже монотонноубывает функция

.В результатепоследовательность

монотоннорастет. Еслиже

,то последовательность

монотоннорастет, а вместес ней и последовательность

,т.к. функция

для

монотоннорастет.

Рисунокиллюстрируетнаправлениеповедениесредней приспособленностив рассмотренныхслучаях.

Отметим,что возрастаниесредней приспособленностиможно доказатьнепосредственно,не разбираяв отдельностикаждый случай.Далее, посколькусредняя приспособленностьесть ограниченнаявеличина, можносделать вывод,что последовательность

имеет пределпри

.Используя этотфакт, еще однимспособом можнопоказать, чтовсе траекторииотображениясходятся ксостояниямравновесия.Такой приеминогда используетсядля анализаразностныхуравнений.Функцию

пытаются подобрать,используяспецификууравнения.Часто ее называютфункцией Ляпунова.Естественно,что функцииЛяпунова невсегда существуют.Как уже отмечалось,поведениятраекторийможет бытьвесьма сложным.В частности,может оказаться,что уравнениене имеет устойчивыхсостоянийравновесия.

-53-

Мутации

Наследственнаяпередача признаковот родителейк потомству-консервативныйпроцесс, хотяэта консервативностьне является абсолютной.В противномслучае не возможнабыла бы эволюция.Иногда привоспроизводствегамет (половыхклеток) происходят“ошибки”: Дочерняяклетка несетв себе одну илинесколькохромосом, которыене гомологичныни одной хромосомеродительскогоорганизма.Такие измененияназываютсямутациями.Может оказаться,что в одном илинесколькихлокусах измененнойхромосомынаходятсяаллели, невстречавшиесяу родителя.Тогда говорят,что произошлагенная мутация.Бывают случаи,когда у мутировавшейхромосомылокусы следуютне в естественномпорядке, илиже присутствуютучастки “вырванные”из других,негомологичныххромосом. Возможныи другие отклонения.Например, отсутствиечасти локусов.В этом случаеговорят о хромосомныхмутациях. Нижерассматриваютсятолько генныемутации. Отметим,что генныемутации могутвозникатьспонтанновследствиемолекулярныхизменений.Кроме тогомутации индуцируютсяультрофиолетовым,ренгеновскимили радиоактивнымизлучением.Они могут происходитьтакже в результатевоздействияна организмхимическихвеществ, называемыхмутагенами(например, иприт).

Генныемутации оказываютна организмсамые различныевоздействия:от едва заметногодо летального.Вред, причиняемыйорганизмумутациями,часто зависитот конкретныхусловий. Например,у мухи дрозофилысуществуеткласс мутаций,называемых“температурочувствительными”.При температуреот

до

муху, гомозиготныепо таким мутациям,живут и размножаютсяболее менеенормально.Однако, притемпературеоколо

этимухи погибают,тогда как мухиобычного типапродолжаютфункционироватьнормально.

Вновьвозникающиемутации, какправило, вредныдля организма.С одной стороны,мутации происходятнезависимоот того, приносятони организмувред или пользу.В то же время,аллели, существующиев популяции,уже подверглисьестественномуотбору. Еслиони поддерживаютсяв популяци созначительнойчастотой, толишь потому,что повышают,или когда -топовышалиприспособленностьносителей этихаллелей посравнения сносителямиальтернативныхаллелей. Толькочто возникающиемутации, какправило, ужевстречалисьв истории популяции.Если они неподдерживаютсяв популяциисо значительнойчастотой, тоэто означает,что они не приносятпользы своимобладателям.

Иногда,однако, новыемутации могут увеличиватьприспособленностьорганизмов.Например, еслипопуляцияосваивает новуютерриторию,или, если резкоменяются внешниеусловия, предъявляющиепопуляции новыетребования. В экстремальныхусловияхприспособленностьорганизмовоказываетсяниже оптимальной,и новые мутациимогут оказатьсяполезными.Таким образом,результатмутаций дляорганизмовзависит отусловий обитания.Например, считается,что повышенноесодержаниемеланинав кожном покрове(темная кожа)полезно длялюдей, населяющихтропическуюАфрику. Темнаякожа лучшезащищает отультрофиолетовогоизлучения.Наоборот, дляжителей севера,где освещенностьмала, светлаякожа способствуетсинтезу витаминаD.

Вероятностьтого, что в гаметев конкретномлокусе конкретнойхромосомыпоявился аллель,не встречавшийсяу родителя,называетсятемпом мутированиягена. Темпмутирования бактерий идругих микроорганизмовобычно вышечем многоклеточныхорганизмов.Он весьма сильноварьируетсяот гена к генуи от организмак организму.Для человекаи других многоклеточныхорганизмовпоказано, чтомутации (в отдельномлокусе) возникаютс частотой

Пустьтемп мутированиягена суть

. Все диплоидныеорганизмыобразуютсяот слияния двухгамет. Вероятностьтого, что у даннойособи в том илиином локусевозникаетмутация суть

, т.е. она приближенноравна удвоенномузначению темпамутации. Такимобразом, этавероятностьвесьма мала. Однако, вероятностьтого, что даннаяособь окажетсяносителеммутации, возникшемгде -либо в генномнаборе, уже нестоль мала. Вгенотипе человекаимеется порядка

локусов. Предположимчто темп мутированиядля генов человека

.Число мутацийраспределенопо биномиальномузакону. Математическоеожидание числамутаций суть

.Иными словами,каждый человекв среднем имеетдва аллеля,отсутствовуюшиху родителей.

Возникаетнекотороепротиворечие.С одной стороныв целом мутациивредны. С другойстороны практическивсе люди являютсяносителямимутаций. В связис этим обсудимсудьбу единичноймутации в модельнойпопуляции,целиком состоящейиз особей генотипа

.Пусть в единственнойгамете произошламутация аллеля

.Тогда в нулевомпоколениипоявляетсяодна и толькоодна особьгенотипа

.При скрещиваниис особью генотипа

получаем

,т.е. каждый потомокэтой парыравновероятноотносится кгенотипам

.Если появитсятолько одинпотомок, товероятностьутраты аллеля-мутанта

будет равна0.5 (потомок принадлежитгенотипу

).Если в первомпоколениипоявилось

потомков, товероятностьутраты аллеля

суть

.Для расчетаполной вероятностипотери аллеля

в первом поколениинеоходимо знатьвероятностьпоявления

потомков. Частопредполагают(это не бесспорно),что достаточнохорошим приближениемдля распределениячисла потомковявляетсяраспределениеПуассона.Предположим,что среднеечисло потомковна семью равнодвум. Тогдавероятностьпоявления

потомков суть

.Полная вероятностьпотери аллелямутанта в первомпоколении будетравна

Еслиаллель

не потерян впервом поколении,то он можетбыть потерянво втором поколении.Вычислим вероятностьпотери аллеляза два поколения.Пусть в результатескрещиванияособей

в первом поколениипоявилось

потомков. Вероятностьтого, что

потомков будутотноситьсяк генотипу

суть

(биномиальноераспределение).Будем считать,что особи

первого поколенияскрещиваются только с особямигенотипа

(генотип

редок). Вероятностьтого, что ниодна из

особей первогопоколениягенотипа

не оставитпотомство,имеющее аллель

будет равна

,где, напомним,

- вероятностьэтого явлениядля одной особи.Если в первомпоколении было

потомков отскрещиванияособей

нулевого поколения,то вероятностьпотери аллеля

во втором поколенииравна

Наконец,получаем полнуювероятностьпотери аллеля

во втором поколении(включая вероятностьтого, что онпотерян ужев первом поколении):

Итак,более половинымутаций будутпотеряны потомкамиза два поколения,Можно рассчитатьвероятностьпотери мутациии в последующихпоколениях.Тенденцияпонятна. Большинствомутаций будетутеряно в течениинесколькихпоколений,даже, если некоторыеиз них благоприятныв борьбе завыживание.Приблизительноговоря, длявновь появившегосяаллеля не стольопасна вероятностьгибели (в моделивозможностьгибели неучитывалась).Гораздо страшнеепотерятьсяпри передачев следуюшемупоколению.

Давлениеповторныхмутаций

Мыпроследилиза судьбойединичноймутации и убедились,что вероятностьпотери мутировавшегоаллеля с ростомномера поколениярастет. Однако,в каждом новомпоколении вновьвозникаютмутации. Темпмутированияпри постоянныхусловиях длякаждого локусаиз поколенияв поколениеостается достаточностабильным.

Пусть

- темп мутирования,т.е. вероятностьзамены аллеля

на

в следующемпоколении.Обозначим через

соответственночастоты аллелей

-ом поколении.Тогда в следующемпоколениичастота аллеля

увеличиваетсяна

за счет уменьшениячастоты аллеля

на

Изпервого уравненияполучаем

.Поскольку

,то

.Вследствиемалости величины

имеем

.При

частота

,т.е. ростом номерапоколения всеаллели

превращаютсяв

.Этот процессчрезвычайномедленный.Сделаем весьмаестественноедопущение, что

.Тогда для снижениячастоты аллеля

с 1 до 0.99 (аллель-мутант встречаетсяпримерно уодной особииз ста) требуется1000 поколений.Если бы мутациибыли единственнымпроцессом,обуславливающимэволюционныеизменения впопуляции, тоэволюция протекалабы невероятномедленно. Этоосновной урок,который следуетизвлечь израссмотренногопримера.

Мутациигенов частобывают обратимыми.Как толькотолько аллельстановитсядовольно частымв популяции,следует учитыватьследует учитыватьмутированиекак к нему таки от него. Пусть

-темп мутированияаллеля

.Темп обратногомутированияобозначим через

.Уравненияэволюции имеютвид:

Состояниеравновесияэволюционныхуравнений:

Оноустойчиво.Действительно

Осталосьсослаться наприведенноевыше утверждениеоб устойчивостинеподвижныхточек одномерныхотображений.Впрочем, этослишком сложно.Поступим подругому. Введемновую переменную

,или же

.В результатеподстановкиполучим:

Отсюдаследует, что

при

.Приближенно

.Таким образом,скорость сходимостик состояниюравновесиявесьма не велика.

- 56-

Взаимодействиеотбора и мутаций

Вприроде одбори мутации протекаютодновременно.Имеет смыслизучить ихсовместноедействие. Рассмотримоднолокуснуюпопуляцию саллелями

.Предположим,что мутациипроисходятв гаметах (вполовых клеткахродительскихорганизмов).Темп мутированияза одно поколениеаллеля

в аллель

обозначим через

.Считаем, что

.Пусть

-частоты аллелей

-ом поколениив момент появленияего на свет.Относительныеприспособленностигенотипов

обоэначим как

соответственно.В соответствиис (16) и (17) (уравнениедля отбора вменделевскойпопуляции)эволюция длячастоты аллеля

задается одномернымотображением:

, (24)

где

Вправой части(24) слагаемое

- уменьшениечастоты аллеля

за счет мутированияв аллель

.Очевидно, длячастоты аллеля

имеем

Вышебыло показано,что

для всех

.Посколькупараметр

,правая частьотображения(24) является такжемонотоннорастущей функциейдля

.На основе этогофакта выше былодоказано, чтовсе траекторииодномерногоотображениястремятся ксостояниямравновесия.

Рассмотримнекоторыечастные случаи.Пусть отбордействуетпротив особейрецессивногогомозиготногогенотипа

.Будем считать,что относительныеприспособленностигенотипов

равны междусобой и вышеотносительнойприспособленностигенотипа

.Положим:

.Отображение(24) приобретаетвид:

. (25)

Егонеподвижныеточки суть

. Второе состояниеравновесиясуществуеттолько в случае

.Для малой окрестностинуля имеем:

Посколькуна интервале

нет состоянийравновесия,то

для всех

.В результате,траекториис начальнымусловием

стремятсяк состояниюравновесия

,т.е.

при

.Далее,

.Следовательно,

для всех

.Траекториис начальнымусловием

также стремятся к этому состояниюравновесия,которое оказываетсяглобальноустойчивым.Напомним, чтоустойчивоесостояниеравновесия,для которогочастоты обоихаллелей ненулевые,называетсябалансированнымполиморфизмом.Выше было показано,что для случая,когда отбордействуетпротив рецессивныхгамет и отсутствуютмутации, полиморфизмневозможен(рецессивныйаллель вытесняетсяиз популяции).Если рецессивныйаллели

летальны

,то значенияравновесныхчастот суть

.При достаточнотипичном темпемутирования

получаем равновеснуючастоту рецессивноголетальногоаллеля

.Это достаточновысокая вероятностьвозникновениягенетическогозаболевания( в среднем триособи на тысячу).

Если

(отбор противрецессивныхгомозигот менееинтенсивеннежели мутации),то состояниеравновесия

отсутствуети отображение(25) имеет единственнуюнеподвижнуюточку

,к которой, естественно,сходятся всетраектории.Таким образом,несмотря налучшую приспособленностьобладателейаллеля

,засчет мутацийпроисходитвытеснениеэтого аллеля.

Рассмотримтеперь случай,когда гомозиготныйгеннотип

имеет самуювысокую относительнуюприспособленность.Пусть

,где

.Преобразуемправую частьуравнениеэволюции (24).Последовательнополучаем

Далее,

Темсамым, отображение(24) приобретаетвид:

Однаиз неподвижныхточек отображения,очевидно,

.Две другиеопределяютсяиз уравнения:

Получаем:

Обакорня существуютпоскольку

.Здесь

.Поскольку

для

,то знак разности

определяетсязнаком квадратноготрехчлена

.Если

,то

.Если же

,то

.Наконец,

для

.(См. Рисунок.)Темсамым, при начальнойточке

траектории

при

.Состояние полиморфизма

устойчиво(полиморфизмбалансирован).Соответственно,состояниеравновесия

неустойчиво.Если начальнаяточка

,то соответствующаятраекториястремится кнулю. Однако,нужно заметить,что здесь мывыходим зарамки применимостимодели. Прибольших концентрацияхаллеля

нужно учитыватьмутации оталлелей

к аллелям

- 63-

Миграции

Миграции,или поток геноввозникают,когда особиодной популяцииперемещаютсяв другую искрещиваютсяс членами второйпопуляции.Поток геновне меняют частотыаллелей у видав целом. Однако,частоты могутменяться влокальныхпопуляциях,если исходныечастоты различныу старожилови пришельцев.

Рассмотримпростейшуюмодель, описывающуюлокальнуюпопуляцию, вкоторую сопределеннойчастотой мигрируютособи из окружающейпопуляции искрещиваютсясо старожилами.Предположим,что частотааллеля

в окружающейпопуляциипостоянна иравна

.Пусть

-вероятностьобнаруженияпришельца средиособей текущегопоколения (долямигрантов). Этавероятностьхарактеризуетинтенсивностьмиграции. Считаем,что доля пришельцевдля всех поколенийодна и та же.

Обозначимчастоту аллеля

для локальнойпопуляции через

.Тогда частотадля следующегопоколения суть:

Здесь

-вероятностьтого, что гамета

-ого поколенияявляется старожиломи обладаеталлелем

.Соответственно,

-вероятностьтого, что гаметаявляется пришельцеми имеет аллель

.Положим:

.В результатеполучим:

Поскольку

,то то с ростомномера поколения

.Частота аллеля

влокальнойпопуляцииуравниваетсясего частотойво внешнейпопуляции.Полученнуюформулу можноиспользоватьдля оценкиинтенсивностипотока генов.Рассмотримпример.

ВСША потомствоот смешанныхбраков междубелыми и темнокожимипринято относитьк темнокожемунаселению.Следовательно,смешанные бракиможно рассматриватькак поток геновиз белой в темнокожуюпопуляцию.Частота аллеля

,контролирующегорезус фактор,у белого населенияСША составляет

.В африканскихплеменах, откоторых происходитсовременноетемнокожеенаселение США,частота этогоаллеля

.Предки современныхтемнокожихСША были вывезеныиз Африки примерно

лет назад (около

поколений),следовательнона данный момент

.Частота аллеля

у современноготемнокожегонаселения США

.Получаем:

Число

-вероятностьтого, что данныйаллель не являлсямигрантом нив одном из десятипредшествующихпоколений. Темсамым, современноетемнокожеенаселение СШАнаследовалооколо

генов от своихафриканскихпредков, а

генов получилоот белых предков.Неудивительно,что темнокожиеамериканцыпо внешнемувиду существенноотличаютсяот африканцев.Отметим, чточисло

примерносоответствуетпроценту смешанныхбраков.

Приведенныевкладки носятприближенныйхарактер. Еслив аналогичныхрасчетах использоватьчастоты другихаллелей, тополучатсянесколькодругие результаты.Кроме того,интенсивностьпотока геновв разных регионахСША различна.Однако, тенденцияк выравниваниючастот аллелеймежду темнокожими белым населениемсохраняется.

Рассмотримостровнуюмодель Райта.Эта модельучитывает какмиграции, таки процессыотбора. Онаописываетпопуляциюаллелей

,которая состоитиз

субпопуляций.Обозначим через

,где

,доли субпопуляций(вероятноститого, что чтовыбранныйаллель принадлежит

-ой популяции).Будем считать,что эти долииз поколенияв поколениенеизменны.Субпопуляциисвязаны междусобой меграционнымипроцессами.Непосредственнопосле появленияна свет новогопоколения изкаждой субполяциис вероятностью

аллели (их носители)совершаютпутешествиев некий “общийкотел” аллелей(внешний мир).Считаем, чтовероятность

миграции длявсех субпопуляцийодна и та же. В“общем котле”аллели перемешиваются,“забывают”о своем “географическом”происхождениии мигрируютв субпопуляции.Пусть вероятностьобнаружитьвернувшихсяпутешественников(доля мигрантов)для всех субпопуляцийодна и та же иравна

,т.е. совпадаетс вероятностьюисхода юныхаллелй изсубпопуляций.Далее, в субпопуляцияхначинаетсяпроцесс отбора.Он происходитна уровне аллелей(для генотиповимеет местоотбор геометрическоготипа). Пусть

-вероятноститого, что в

-ой субпопуляциисоответственноаллели

доживают доэтапа размножения(эти числа такженазываютсякоэффициентамиотбора).

Получимэволюционныеуравнения.Пусть

-частоты аллелей

-ой субпопуляциив момент появленияна свет

-ого поколения.Средние частотыаллелей

во всей популяциив момент рождения

-ого поколениясуть:

. (26)

Этиже числа -частотыаллелей в “общемкотле”. Дляпроизвольной

-ой субпопуляциипосле завершениямиграционныхпроцессов имеютместо следующиечастоты аллелей

Полнаявероятностьтого, что послезавершениямиграции в

-ой субпопуляцииаллель

-ого поколениядоживет доэтапа размноженияопределяетсяследующимобразом:

. (27)

Используяформулу Бейеса(теорема гипотез)получим частоты

-ом поколениидля

-ой субпопуляциик моменту началаэтапа размножения:

Такиеже частотыимеют гаметы

-ого поколенияи вновь появившиесяаллели

следующего

-ого поколения.Тем самым, получаемэволюцинныеуравнения длячастот:

, (28)

. (29)

где

-номера субпопуляций.В (28), (29) средниечастоты

заданы формулами(26), а нормировочныекоэффициенты

-формулами(27). Отметим, чтоотображение(28), (29) не меняетвид после замены

.В связи с этимположим

,где

.Если

,то аллель

имеет преимуществов борьбе засуществованиеперед аллелем

.Если же

,то преимущество- за аллелем

.Коэффициент

легко преобразоватьк виду:

Врезультатеформулы (28) приобретаютвид:

, (30)

Пустьво всех субпопуляцияхотбор не происходит,т.е.

.Используя (30)для среднейчастоты аллеля

получаем:

Средниечастоты аллелейсохраняются.Из (30) получаем,что с ростомномера поколениячастоты

. Результатестественен:миграция выравниваетчастоты.

Предположим,что во всехсубпопуляцияхотбор действуетпротив аллеля

,т.е.

.Предположим,что в

-ом поколениихотя бы дляодной субпопуляциичастота аллеля

меньше единицы.Очевидно, что и средняя частотааллеля

.Тогда для всехсубпопуляций получаем:

.В этом случаеиз (30) следует,что

.Для среднейчастоты выполненонеравенство

,которое являетсястрогим, покапо крайней мерев одной субпопуляциичастота аллеля

не равна единице.Последовательность

монотоннорастет. Онаограничена,а, следовательно,имеет предел.В предельнойточке приращениянет, а это возможнотолько, еслидля всех субпопуляций

.Тем самым, происходитповсеместноевытеснениеаллеля

.В случае, когдаотбор действуетпротив аллелей

(т.е.

),совершенноаналогичныерассужденияпоказывают,что из популяциивытесняетсяаллель

Направлениеотбора в разныхсубпопуляцияхможет бытьразличным-числа

имеют разныезнаки. В этомслучае проверкасходимостиитерационногопроцесса (30)представляетсобой не простуюзадачу. Дляравновесныхчастот

(неподвижныхточек отображения)получаем системусвязанных междусобой уравнений:

. (31)

Рассмотримдва частныхслучая. Пустьпараметры

малы. Смыслдопущениязаключаетсяв том, что влияниемиграции болеесущественно,чем процессотбора. Уравнения(31) перепишемв виде:

. (32)

Отбрасываямалые слагаемые,приближеннополучим: либо

,либо

.Второй вариантневозможент.к.

.Из (32) с точностьюдо слагаемыхпорядка

получаем:

Поскольку

,получаем, чтолибо

,либо

,или же

удовлетворяетсоотношению:

. (33)

Заметим,что праваячасть уравнения-монотоннорастущая функцияот

.Действительно,для тех

,где

,сдагаемые

монотонноубывают. Наоборот,если

,то соответствующиеслагаемыемонотоннорастут. Пусть

,т.е. отбор интегральнодействуетпротив аллелей

.Тогда при

правая частьуравненнияположительна.Она положительнапри всех

,и уравнение(33) не имеет корнейдля

.Если же

,т.е. отбор интегральнодействуетпротив аллелей

,то зеркальныерассужденияпоказывают,что уравнениетакже не можетиметь состоянийравновесия.Тем самым, приинтенсивноймиграции одиниз аллелей

,или

вытесняетсяиз популяции.Какой конкретноаллель вытесняется,определяетсязнаком величины

(если она положительна,то аллели

имеютпреимущество,и, наоборот,если она отрицательна,то преимуществопринадлежиталлелям

).Прогнозы моделиполностьюсогласуютсяс биологическимсмыслом.

Пустьтеперь

.Перепишемуравнения (31) в виде:

Каждоеиз имеет двакорня:

Обратимвнимание, чтополученныеформулы незадают в явномвидерешение системы(31), посколькув правых частяхфигурируетсредняя частота

,которая самавыражаетсячерез

.Упростим формулудля корней.Деля числительи знаменательдроби на

и пренебрегаяслагаемымипорядка

по отношениюк слагаемымпорядка

,последовательнополучим:

Здесьиспользованото, что

для

.Для

получаем:

.В свою очередь,для

получаем:

.Найдем среднюючастоту аллеля

.Пусть

для

.Тогда, усредняячастоты всубпопуляциях,получим:

Отсюдаследует, что

Средняячастота аллеля

найдена. Темсамым, найденыи частоты аллелей

в субпопуляциях.В тех субпопуляциях,где отбор действуетпротив аллелей

,частоты аллелей

близки к единице.Наоборот, еслиотбор действуетпротив аллелей

,их частотыблизки к нулю.Предсказаниямодели полностьюсогласуютсяс биологическимсмыслом.

-68-

Дрейфгенов

Дрейфгенов -это случайныеотклонениячастот аллелейот теоретическиожидаемых,возникающиев результатенедостаточногообъема выборки.Такие явлениячасто называютошибками выборки.Дрейф геновпостояннопроисходитв популяциях,поскольку ихчисленностьвсегда конечна.Дополнительнозаметим, чтоправильноепредставлениео численностипопуляции даетне общее числоособей, а числоособей дающихначало следующемупоколению.Действительно,только они даютвклад в генофондследующегопоколения.

Будемрассуждатьв терминахаллелей, непереходя кгенотипам.Рассмотримпопуляциюаллелей

.Пусть априорноих частоты суть

.Случайнымобразом сформируемвыборку из

аллелей, которыеоставят потомство.Пусть

-число аллелей

ввыборке. Согласнотеореме Муавра-Лапласа вероятность

события

,где

,стремится при

к числу

.Здесь

-нормальноераспределение.В частности,если

,то

.Для эмпирическойчастоты

аллеля

в выборке получаемоценку:

,которая выполненас вероятностью

.Поскольку

,то

.Чем длиннеевыборка, темэмпирическаячастота ближек априорной.Например, при

получаем

.Наоборот, при

эмпирическаячастота аллеля

может приниматьлишь одно изтрех значений

,т.е. эмпирическаячастота в общемслучае далекаот априорной.

Рассмотримследующуюмодельнуюситуацию. Пустьдля родителей,давших жизньпервому поколению,аллели

наблюдалисьс априорнымичастотами

.Начиная с нулевогопоколенияслучайнымобразом формируетсявыборка из

аллелей, которыедают началоследующемупоколению.Выборку назовемэффективнойпопуляцией,а ее длину -эффективнойчисленностью.Будем считать,что из поколенияв поколениеэффективнаячисленность

неизменна.Допустим еще,в момент появленияна свет новогопоколения общаячисленностьпопуляциистановитсязначительнобольше

.При этом частотыаллелей в новомпоколении (доформированияэффективнойпопуляции)совпадают счастотамиэффективнойпопуляциипредыдущегопоколения.

Будемговорить, чтоэффективнаяпопуляциянаходится всостоянии

,если она содержитровно

аллелей

.Для состояния

частотааллелей

аэффективнойпопуляции суть

.В любом поколенииэффективнаяпопуляциянаходится водном из

-ом состояний

.Рассмотримэффективнуюпопуляцию

-ого поколения.Пусть она находитсяв

-ом состоянии.Вероятностьтого, что в следующем

-ом поколенииэффективнаяпопуляция будетнаходитьсяв состоянии

суть

. (34)

Обратимвнимание, что

для всех

,а также

для всех

.Таким образом,если в

-ом поколениипопуляцияоказываетсяв состояниях

или

,то в дальнейшемона остаетсяв эти состояниях.Пусть эффективнаяпопуляция

-ого поколениянаходится всостояниях

с вероятностями

.Используяформулу полнойвероятности,получаем вероятности

(35)

того,что эффективнаяпопуляция

-ого поколенияокажется всостоянии

.Введем последовательностьвекторов

вероятностейсостоянийэффективныхпопуляцийпоследовательныхпоколений иматрицу

.Тогда сотношения(35) перепишутсяв виде:

. (36)

Оказалось,что рассматриваемаясистема обладаетследующимсвойством. Влюбой дискретныймомент времениона может находитьсяв одном из

-ом состояний. Если в

-ый дискретныймомент временидля нее известнывероятностинахожденияв состояниях

,то однозначновычисляютсявероятностиобнаружитьсистему в этихсостоянияхв следующиймомент времени.Такие системыназываютсяцепями Маркова.Матрица

называетсяматрицей переходныхвероятностей.

Какуже отмечалось,из формул (34) дляэлементовматрицы

следует, что

.Рассматриваяпервую и последнююстроки уравнений(36) получаем:

Этинеравенствастрогие, покапо крайней мереодно из чисел

для

.Тем самым,последовательности

монотоннорастут. Посколькуониограничены,то имеют пределы:

при

.В предельнойточке приращениянет, поэтому

для

.Полученныерезультатыозначают, чтов пределе впопуляцииостается либоаллель

,либо аллель

.Действительно,вероятностьсобытия, чтов популяцииприсутствуютоба аллеляравна нулю.

Вычислимзначения

.Рассмотримматематическоеожидание числааллелей

-омэффективномпоколении:

Такимобразом, имеетместо важнейшеесоотношениедля математическогоожидания:

, (37)

Отметим,что цепи Маркова,для которыхвыполненоданное соотношение, называютсямартингалами. (Совершеннонаивно интерпретировать(37), как то, что всреднем числоаллелей сохраняется,т.к. один из аллелейвытесняетсяиз популяции.)

Напомним,что для родителей,давших началонулевому поколению,аллели

наблюдалисьс априорнойчастотой

.Следовательно,математическоеожидание числааллелей

внулевом поколениисуть

.В предельномсостоянииматематическоеожидание равно

.В результатеполучает вероятность

события, чтоиз популяциибудет вытесненаллель

и, соответственно,будет фиксированаллель

Сделаемследующеезамечание.Пусть эффективнаяпопуляциянулевого поколенияоказалась всостоянии

,т.е. число аллелей

равно

.Тогда вероятностьфиксации аллеля

будет равна

.Таким образом,результатыопыта позволяютуточнить априорнуювероятность.

Можновычислитьматематическоеожидание числапоколений, попрошествиикоторого одиниз аллелейбудет вытеснениз популяции.Оказывается,что это число

задается формулой:

где

-априорнаячастота аллеля

уродителей,давших началонулевому поколению.

Кумулятивныеэффекты, илиэффекты накопленияизменений впроцессе дрейфагенов изучалисьэкспериментально.Питер Ф. Бьюриработал со 107изолированнымипопуляциямимух -дрозофил.В каждой из нихслучайнымобразом отбиралось8 самцов и 8 самок,которые давалиначало следующемупоколению. Темсамым, эффективнаячисленностьпопуляциисоставляла16 особей, илиже 32 аллеля. Вначале экспериментавсе особи былигетерозиготны,т.е. априорныечастоты аллелейбыли равны 0.5.Фиксация аллеляв одной из популяцийвпервые произошлав четвертомпоколении.Число популяцийс фиксированнымиаллелями постепеннорасло на протяжении19 поколений.Затем экспериментбыл прекращен.В 19 -ом поколениив 30 популяцияхбыл фиксированодин аллель,а 28 популяциях-другой. Еслибы экспериментпродолжалсядальше, то вконце концоваллели былибы фиксированыво всех популяциях. Для обоих аллелейчисло популяций,в которых онификсированы,было бы одинаковым.Отметим, чтоматематическоеожидание числапоколений, попрошествиикоторого одиниз аллелейфиксируется,для данногослучая суть

Еслипопуляциямногочисленна,то фактор дрейфагенов оказываетвесьма незначительноевлияние начастоты аллелейпо сравнениюс процессамиотбора, мутациии миграции. Длямаллых популяций,наоборот, дрейфгенов существенен.

Предельныйслучай дрейфагенов возникновениеновой популяции,первоначальносостоявшейлишь из несколькихособей. Такойпроцесс ЭрнстМайр назвалэффектомоснователя.Популяциимногих видов,обитающих наокеаническихостровах, внастоящеенасчитываютмиллионы особей.Однако онипроисходятот нескольких,случайно попавшихтуда особей.В результатеошибок выборкичастоты аллелейу основателейновой популяциимогут существенноотличатьсяот частот аллелейв популяции,из которойпроизошлиоснователи.Это может наложитьотпечаток надальнейшуюэволюцию.

Случайныеизменениячастот аллелейвозникают такжев случае, еслипопуляция всвоем развитиипроходит “бутылочноегорлышко”.Когда природныеусловия существованиястановятсянеблагоприятными,численностьпопуляции резкосокращается.В дальнейшемпопуляция можетвосстановитьсвою численность.Во время прохождения“бутылочногогорлышка”частоты аллелеймогут сильноизменитьсявследствиедрейфа. В дальнейшемэти изменениясохраняютсяна протяжениипоколений.Естественно,особенно онизаметны, еслипопуляциянаходится визоляции, т.е.отсутствуетмиграция геновизвне. Известнысообществатакого родав человеческомобществе.

Вопросыэкзамена

Основныепонятия иопределениягенетики.
ЗаконыМенделя
ЗаконХарди- Вайнберга
Принципстационарности.Кадрильныйзакон.Неизбежностьконцепциигена. Вопросо группах крови.
Инбридинг.
Сцеплениеи кроссинговер.
Наследованиепризнаков,сцепленныхс полом.
Отборв менделевскойбесполой диплоиднойпопуляции.
Исследованиеэволюционныхуравнений.
Возрастаниесредней приспособленности.
Мутации
Взаимодействиеотбора и мутаций.
Миграции.
Дрейфгенов
Возбудимыесистемы.
Натриево- калиевый цикл.
АксонХоджкина - Хаксли.
Структураи функции нейронов.
Формальныйнейрон Мак-Каллока- Питтса.
Однослойныйперсептрон- простейшаямодель ассоциативнойпамяти.

Математические модели естествознания

Курс лекцийМатематическиемодели в естествознании1996 г.

Часть1Основы математическойгенетики

ЗаконыМенделя

ЗаконХарди- Вайнберга

Отборв менделевскойбесполой диплоиднойпопуляции

Курс лекций
Математическиемодели в естествознании
1996 г.

Часть1
Основы математическойгенетики