Математические основы теории систем (стр. 11 из 13)
Случайная функция, для которой все n-мерные функции распределения вероятностей не изменяются с изменением начала отсчета времени, называются стационарными в узком смысле.
1.10 ОПТИМИЗАЦИЯ В ТЕОРИИ СИСТЕМ.
Задачу управления в дальнейшем будем рассматривать как математическую. Однако в отличии от многих других математических задач она имеет ту особенность, что допускает не одно, а множество различных решений. Поэтому задачу управления можно было бы ставить как задачу нахождения хотя бы одного из возможных способов достижения поставленной цели. Если имеется множество решений какой-либо задачи, то следует вести речь о выборе такого решения, которое с какой либо точки зрения являлось наилучшим.
В тех случаях, когда цель управления может быть достигнута, несколькими различными способами, на способ управления можно наложить добавочные требования, степень выполнения которых может служить основанием для выбора способа управления.
Во многих случаях реализация процесса управления требует затрат каких-либо ресурсов: времени, материалов, топлива, электроэнергии.
Следовательно, при выборе способа управления следует говорить не только о том, какие ресурсы придется затратить на ее достижение.
Математическое выражение, дающее количественную оценку степени выполнения наложенных на способ управления требований, называют критерием качества управления.
Наиболее предпочтительным или оптимальным способом управления будет такой, при котором критерий качества управления достигает минимального (максимального) значения.
Задачу нахождения оптимального управления или управления вообще следует читать несущественной если на характер движения, не наложено ни каких ограничений.
В общем случае имеется два вида ограничений на выбор способа управления. Ограничением первого вида являются сами законы природы, всоответсвии с которыми происходит движение управляемой системы. При математической формулировки задачи управления эти ограничения представляются обычно алгебраическими дифференциальными или разностными уравнениями связи. Второй вид ограничений вызван ограниченностью ресурсов, используемых при управлении, или иных величин, которые в силу физических особенностей той или иной системы не могут или не должны превосходить некоторых пределов.
Математические ограничения этого вида выражаются обычно в виде системы алгебраических уравнений или неравенств, связывающих переменные, описывающие состояние системы.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
Задачу оптимального управления можно считать сформулированной математически, если: сформулирована цель управления, определены ограничения первого вида, представляющие собой системы дифференциальных или разностных уравнений сковывающих возможные способы движения системы, определены ограничения второго вида, представляющие собой систему алгебраических уравнений или неравенств, выражающих ограниченность ресурсов или иных величин используемых при управлении.
Способ управления, который удовлетворяет всем поставленным ограничениям и обращает в минимум (максимум), критерий качества управления, называют оптимальным управлением.
КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ.
1. Одношаговые задачи принятия решения.
В одношаговых задачах определяется непосредственно значение переменной состояния системы х, которое обеспечивает наилучшее достижение или управление.
Одношаговая задача принятия решения считается заданной, если заданы пространство состояний природы Q с распределением вероятностей ℰ(U) для всех U∈Q, пространство решений Х и критерий качества принятого решения, который будем называть целевой функцией. Целевую функцию; выражающую в явном виде цели управления, можно рассматривать как выходную величину ОУ и обозначать q.
Целевую функцию, являющуюся скалярной величиной, зависящей от состояния природы U и от состояния объекта управления х можно записать в виде:
(1) q=q(х,U)
Одинаковая задача принятия решений:
(2) G=(X,Q,q)
Решение задачи (2) состоит в нахождении такого х*∈X, которое обратит в минимум функцию q, т.е. удовлетворяет условию:
(3) х*={х∈Х q(х,U)=min}Существует ряд методов решения одношаговой задачи.
Задачу называют детерминированной, если нет неопределенности в отношении состояния природы. Пространство состояния природы Q состоит всего из одного элемента U0, вероятность которого равна 1. В этом случае целевая функция будет зависеть только от состояния ОУ.
(4) q=q(x)=q(x(1),...., x(n))
Одинаковую детерминированную задачу называют классической задачей оптимизации, если ограничения вида:
≤в ____(5) fi(x(1),..., x(n)) =в , i=1,m
≥в
примем, среди этих ограничений нет неравенств, и нет условий не отрицательности или дискретности переменных, функции fi(x(1),...,x(n)) и q(х) непрерывны и имеют частные производные по крайней мере второго порядка.
Другим методом решения одношаговой задачи является метод математического программирования.
Математическое программирование представляет собой не аналитическую, а аморитмическую форму решения задачи, т.е. указывает вычислительную процедуру, которая приводит к решению задачи.
Простейшим примером математического программирования является задача линейного программирования. Она соответствует случаю, когда левые части ограничений (5) и целевая функция (4) представляют собой линейные функции от х(1),..., х(n). В задачах линейного программирования требуется найти неотрицательные значения переменных х(1),..., х(n), которые обращают в минимум целую функцию.
(6) q(x(1),...,x(n))= ∑ Cjx(j)
j
и удовлетворяет системе ограничений:
(7) ∑ aijx(j)≤вi, i=1,m
j
Любую задачу математического программирования, отличающуюся от сформулированной, называют задачей нелинейного программирования. В этих задачах или целевая функция или левые части ограничений, или то и другое являются нелинейными функциями от x(1),..., х(n), или когда целевая функция и ограничении имеют вид (6), (7), но предполагается, например, цело численность переменных. Эта задача получил название целочисленного программирования. Одношаговую задачу принятия решений называют стохастической, если пространство состояний природы Q состоит более чем из одного элемента, так что известным является не действительное состояние природы U, а распределение вероятностей ξ(U) на пространстве Q.
(8) q (x)= ∑ ξ(U) q(x,U)
U∈Q
Поскольку q (х) является детерминированной функцией от х, то задача нахождения переменных х(1),...,х(n), удовлетворяющих ограничениям (5) и обращающих в минимум целевую функцию (8), может быть решена методами линейного и нелинейного программирования.
В настоящее время большое внимание уделяется задачам, в которых решение принимается не одним лицом, а несколькими, причем интересы этих лиц противоположны. Подобные задачи получили название конфликтных ситуаций, а методы их решения рассматриваются в теории игр. При мат-ком описании конфликтной ситуации пространство решений следует рассматривать как прямое приведение двух множеств Х*Y, где Х={х1,..., хn} - пространство решений первого игрока; Y - пространство решений второго игрока. Целевая функция:
(9) q=q(x,y)
зависит только от элементов пространства Х*Y.
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ УПРАВЛЕНИЯ.
Задачи, в которых ОУ находится в состоянии непрерывного движения и изменения под воздействием различных внешних и внутренних факторов называется динамическими задачами управления.
(10) q=qV[x(t),u(t)]
(10)-целевая функция, качество управления в любой момент времени может быть охарактеризовано как
(11) q(t)=u(t)/x(t)
Целевая функция вида (10) используется редко, так как она дает оценку лишь мгновенных значений управляемого процесса, тогда как в большинстве задач требуется оценить процессы в ОУ на протяжении всего времени управления от 0 до Т.
Оценку процесса ОУ можно произвести путем интегрирования целевой функции за все время управления, т.е. за критерий качества принять функционал
T
(12) J(u)= ⌡ qU[x(t),u(t)]dt
0
В динамических задачах управления наряду с ограничениями вида (5), определяющих пространство допустимых управлений V, приходится иметь дело с интегральными ограничениями вида:
T
(13) ⌡ H [x(t),u(t)]dt ≤ k = const
0
Оптимальным называют управление u*(t), выбираемого из пространства допустимых уравнений V, такое, которое для объекта описываемого дифференциальным уравнением x=qv(u, x), x(0)=C, минимизирует критерий качества (12) при заданных ограничениях на используемые ресурсы (13).
ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ.
В общей задаче оптимизации требуется найти вектор x=(x(1),.., x(n)) из допустимой области Х, который обращает в min целевую функцию q(х), т.е. такой вектор х*∈X, для которого выполняется условие:
(14) q(x*) ≤ q(x) для всех х∈Х
Если такой вектор х* существует, то он определяет слабый глобальный минимум q*(х) в допустимой области Х. Этот минимум называют слабым, т.к. он удовлетворяет нестрогому (слабому) неравенству, глобальным или абсолютным, потому что неравенство справедливо для любого х∈X. Минимум при х=х* называют сильным, если имеет место q(x*)<q(x) для x≠x*. Если поменять знаки неравенств, получим слабый и сильный максимум. Однако max q(x) дает min q(x), поэтому в дальнейшем рассматриваем задачу минимизации. Сильный глобальный минимум всегда единственен. Слабый глобальный минимум допускает не единственность оптимальной точки, т.к. х, удовлетворяющий условию q(х)=q(х*), так же является оптимальной точкой.
Хотя цель задачи оптимизации - получение глобального минимума целевой функции, при ее решении важное значение имеет понятие локального или относительного минимума.