Математические основы теории систем (стр. 2 из 13)

Если х - произвольная точка пространства Х α - ве[ВЮЮ1] [ВЮЮ2] щественная переменная, меняющаяся от -∞ до +∞, то dx будет представлять собой одномерное подпространство Х, проходящее через х(при α =0), как показано на рисунке 2.

x₂

3

dx

2 x₁

Такое одномерное подпространство будем обозначать R₁. Предположим, что среди бесконечного множества одномерных пространств R₁ найдутся такие, которые инвариантны относительно у=Ах, т.е. для любого x∈R₁, имеет место у=Ах∈R₁.

Обозначим через ℷ отношение у к х, которое при этом будет просто вещественным числом, т.е. можно записать у=ℷх, таким образом если R₁ -инвариантное пространство, то для х∈R₁ имеет место равенство:

(4) Ах=ℷх

Вектор х≠0, удовлетворяющий соотношению (4) называют собственным вектором матрицы А, а число ℷ - собственным значением матрицы А.

Для определения характеристических чисел матрицы перепишем соотношение (4) в ином виде, введя тождественное преобразование х=Iх. При этом получим:

(5) (А-ℷI)х=0

Соотношение (5) представляет собой систему линейных однородных уравнений, которая может быть записана в явном виде как:

(a₁₁-ℷ)x₁+a₁₂x₂+...+a_1nx_n=0;

(6) a₂₁x₁+(a₂₂-ℷ)x₂+...+a_2nx_n=0;

.........................

a_n1 x₁+a_n2x₂+...+(a _nn-ℷ)x_n=0;

Матрица вида (А-ℷI) (6) называется характеристической матрицей А. Определитель характеристической матрицы называется характеристическим многочленом матрицы А. Корни характеристического многочлена матрицы называются характеристическими числами этой матрицы. Из свойств решения уравнения (6) нетривиальное решение (отличное от нуля) возникает только тогда, когда имеется бесчисленное множество решений:

(7) det(A-ℷI)+a₀ℷⁿ+a₁ℷ^n-1+....+a_n-1ℷ=0

Подставив любое собственное значение в исходную систему уравнений (6), получим уравнение:

(8) (А-ℷ_iI)х=0

которое имеет непрерывное решение, так как det(A-ℷ_iI)=0

Это решение дает вектор хⁱ, определяемый с точностью до скалярного множителя. Этот вектор называется собственным вектором матицы А.

Свойства:

1. Если собственные числа матрицы А различны (корни характеристического уравнения не равны), то порождаемые или собственные векторы образуют систему линейно независимых векторов.

2. Если матрица А симметрическая, то собственные числа такой матрицы всегда вещественны, а собственный вектор в матрице образует систему ортогональных векторов.

Линейные пространства, элементами которых являются, упорядоченные последовательности n-вешественных чисел называются векторами.

ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ.

Упорядоченные последовательности из n - чисел х⁽¹⁾,...,х⁽ⁿ⁾, могут быть записаны в виде вектор - столбца или вектор - строки;

x⁽¹⁾ _{n n}

(9) х= ..... = x⁾ⁱ⁾ ; (x⁽¹⁾,...,x⁽ⁿ⁾)=(x⁽ⁱ⁾)

x^{(n) 1 1}

Эти числа, составляющие вектор, называются компонентами вектора.

Если один из этих векторов обозначить буквой х, то другой будем обозначать х и называть транспонированным вектором.

_n

(10) х=(х⁽ⁱ⁾) =(х⁽¹⁾,...,х⁽ⁿ⁾)

¹

Число n компонент вектора называется его размерностью.

СВОИСТВА ВЕКТОРОВ.

а) х=у, если равны их компоненты:

x⁽ⁱ⁾=y⁽ⁱ⁾

x⁽¹⁾ y⁽¹⁾ x⁽¹⁾+y⁽¹⁾

б) х+у= ...... + ...... = ........... -сумма векторов.

x⁽ⁿ⁾ y⁽ⁿ⁾ x⁽ⁿ⁾+y⁽ⁿ⁾

в) Разность векторов х-у представляет собой вектор z, такой, что у+z=х.

г) умножение вектора на скаляр

x⁽¹⁾ αx⁽¹⁾

αx[ВЮЮ3] =хα=α ....... = .........

x⁽ⁿ⁾ αx⁽ⁿ⁾

СКАЛЯРНОЕ ПРИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

x₁ y₁

Пусть х= х₂ и у= у₂ два вектора в трех мерном

x₃ y₃

пространстве. Скалярным произведением этих векторов называют скалярную величину:

(11) х^Tу=у^Tх=х₁у₁+х₂у₂+х₃у₃

Нормой или длинной вектора х в евклидовом пространстве называют число:

(12) х = х =(х^Tх)^½ , где х -норма вектора х.

Линейное пространство в котором определено скалярное произведение называется евклидовым пространством.

БАЗИС ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА.

Пусть имеем систему векторов

(13) х₁, х₂, х₃,..., х_n

Базисом (базой) системы векторов (13) называется такая линейно-независимая ее подсистема, через которую линейно выражаются все указанные векторы.

УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ВЕКТОРЫ.

Пусть х=(х₁, х₂) и у=(у₁, у₂) - два вектора на плоскости. Выберем систему координат так, чтобы ось абсцисс совпадала с направлением вектора х, так что x₁= x , х₁ =0 (рис.3)

2

y₂ y

α x

y₁ 1

обозначим через угол α между векторами х и у при этом

х^Tу=х₁у₁+х₂у₂= х * у cosα

Угол между векторами определяется:

α=arccos(x^Ty/ x y )

при │х│=1 скалярное произведение х^Tу определяет проекцию вектора у называется ортогональным, если угол между ними равен 90^○, т.е.

если х^Tу=0.

МАТРИЦЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.

ПОНЯТИЕ МАТРИЦ.

Матрицей А размером m*n называют таблицу, содержащую m-строк и n-столбцов, элементами которой являются вещественные или комплексные числа

a₁₁ .......... a_1n

A= ...................... =[a_ij]

a_m1 .......... a_mn

Если m=n, то матрицу называют квадратной.

Матрицы А=[а_ij] и В=[в_ij] равны (А=В) в том и только в том случае, если имеют один и тот же размер а_ij=в_ij для всех ij.

Преобразованием линейного n-мерного пространства Х называют оператор А, отображающий это пространство в m - мерное линейное пространство Y:

(1) А:Х→Y

Таким образом, преобразование А ставит в соответствие каждому вектору х пространства Х вектор

(2) Y=А-х, пространства Y.

Преобразование А называют линейным, если выполняется условие:

(3) А(х₁+х₂)=Ах₁+Ах₂, А(ℷх_i)=ℷАх

Условие (3) будет выполнятся, если между компонентами хⁱ и у^j векторов х и у имеется линейная зависимость вида:

n ___

(4) у⁽ⁱ⁾= ∑ a_ijx^(j), i=1,m ,где а_ij - произвольное число

j=1 ____ ___

Совокупность чисел а_ij, i=1,m; ;j=1,n образуют матрицу:

a₁₁......a_1n