Математические основы теории систем (стр. 3 из 13)
A= ................ = [aij]
am1......amn
которую называют матрицей линейного преобразования.у=Ах можно записать в виде умножения матрицы на вектор:
y(1) a11......a1n x(1)
(5) .... = ............... * .....
y(n) am1......amn x(n)
ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА ЧИСЛО.
Пусть А матрица линейного преобразования Ах, α- число.
(6) αА=[α аij ]
При умножении матрицы А на число α все ее члены умножаются на это число.
СУММА МАТРИЦ.
Пусть у=Ах и v=Вх - два линейных преобразования с матрицами А=[aij] и В=[вij] размером m*n.
Рассмотрим новое линейное преобразование, ставшее в соответствие каждому вектору х∈Х вектор у+v∈Y
(7) у+v=Ах+Вх=(А+В)х
Преобразование (А+В)х называют суммой линейных преобразований Ах и Вх, или:
(8) А+В=[aij]+[вij]
При сложении двух матриц одинакового размера получается новая матрица того же размера, элементы которой равны сумме элементов складываемых матриц.
ПРОИЗВЕДЕНИЕ МАТРИЦ.
Пусть X,Y,Z-линеиные пространства размерностью m, r, n и пусть у=Вх, z=Ау - линейные преобразования пространства Х в пространство Y, и пространства Y в пространство Z, где В=[вkj] и A=[aik] матрицы размером m*k и k*n соответственно. Произведением преобразований Ау и Вх называют новое линейное преобразование Сz.
(9) Z=Cx=A(Bx)=ABx
Матрицу С=АВ размером n*n называют произведением матриц А и В.
n ___ ___
(10) Сij= ∑ аikвkj , i=1,n , j=1,m
k=1
Согласно (10) элемент Сij матрицы С представляет собой скалярное произведение i-й строки матрицы А на j-й столбец матрицы В, так что произведение матриц АВ символически может быть представлено в виде:
a11...a1k в11...в1m(11) АВ= ............ * .............
an1...ank вk1....вkm
ТРАНСПОНИРОВАНАЯ МАТРИЦА.
Пусть А=[aij] - матрица размером m*n. Матрица АT=[а'ij] размером m*n, строки которой являются столбцами матрицы А, столбцы строками матрицы А.
Элемент а'ij матрицы АT определяют по элементам аij матрицы А из соотношения:
(12) а'ij=аji
ОСОБЕННОСТИ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ.
В квадратной матрице число строк равно числу столбцов.
Определителем квадратной матрицы называют, определитель составленный из элементов aij этой матрицы и обозначают det A.
Определитель det A обладает следующими свойствами:
1) при умножении на ℷ любого столбца матрицы А определитель det A умножается на ℷ;
2) перемена местами двух соседних столбцов меняет знак det A на противоположный;
3) если любые два столбца матрицы равны между собой, то det A=0;
4) добавление к любому столбцу матрицы любого другого столбца, умноженного на произвольный скалярный множитель, оставляет det A неизменным;
5) если столбцы матрицы линейно зависимы, то det A=0;
ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА-КЕЛЛИ.
Каждая квадратная матрица является корнем своего характеристического уравнения.
(13) det (A-ℷI)=a0ℷn+a1ℷn-1+...+an-1ℷ an=0
(14) a0An+a0An-1+an-1A+anI=0[n*n]
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА.
Матрицей, обратной по отношению к квадратной матрице А размером n*n, назовем такую матрицу А-1 того же размера, для которой справедливо соотношение:
(15) А*А-1=А-1*А=Е
Пусть у=Ах - линейное преобразование с квадратной матрицей А=[xij]. Обратным преобразованием называют преобразование х=А-1у. Матрицу А-1 этого преобразования называют обратной по отношению к матрице А.
(16) А-1=(1/detA) [Aij]T , где Аij - алгебраическое
дополнение элемента а в определителе матрицы.
Система уравнений Ах=у называется определенной и имеет единственное решение, если detA≠0. Матрица А, для которой выполнено это условие, называют невырожденной.
ДИАГАНАЛИЗАЦИЯ МАТРИЦ.
Вид квадратной матрицы А линейного преобразования у=Ах, может быть изменен без изменения характеристического уравнения этой матрицы путем использования преобразования подобия.
Пусть А - квадратная матрица; С - произвольная невырожденная матрица. Преобразованием подобия называют преобразование:
(17) В=С-1*А*С
Преобразование подобия позволяет приводить некоторые виды квадратных матриц к диагональной форме, являющейся наиболее удобным видом матрицы.
ℷ1 0 0(18) diag[ℷ1 ℷ2 ......ℷn ]= 0 ℷ2 0
0 0 ℷn
Нормой матрицы А размер m*n называется сумма модулей ее элементов:
m n
(19) │А│= ∑ ∑ │a ij │
i=1 j=1
При решении задач удобно ввести матрицы, элементы которых являются функциями независимой переменной t.
Эти матрицы имеют вид:
a11(t) a12(t) ...... a1n(t)(20) А(t)= a21(t) a22(t) ...... a2n(t)
............................
am1(t) am2(t) ..... amn(t)
и называются функциональными матрицами.
Производной матрицы А(t) по независимому переменному называется матрица А(t) вида:
 |
da11(t)/dt da12(t)/dt ...... da1n(t)/dt
(21) А(t)= dA(t)/dt = ............................................................. =
dam1(t)/dt adm2(t)/dt ...... damn(t)/dt
=[daij(t)/dt]
1.3 ПОНЯТИЕ ДИНАМЧЕСКОГО ОБЬЕКТА.
Физический объект - физическое устройство, характеризуемое некоторым числом свойств, соответствующих целям его использования.
В теории систем существенным является не физическое, а математическое описание свойств объекта и соотношений между ними. В теории систем объектом А является абстрактный объект, связанный с множеством свойств, который обычно характеризуется числами или набором чисел. Таким образом, фактически абстрактный объект или просто объект представляет собой множество переменных вместе с отношениями между ними.
Вспомогательные определения и понятия:
v1, v2,...- основные переменные объекта А.
Основное уравнение - соотношение между основными переменными.
(1) A(1)(v1,..., vn)=0 Основное уравнение объекта A,
A(2)(v1,...., vn)=0 где A(j), j=1,..., m
..................... vi , i= 1,..., n
A(m)(v1,..., vn)=0 m и n - конечные числа
Если абстрактный объект A определяется соотношениями (1) без каких - либо указаний, какие переменные являются входными (причина), а какие - выходными (следствия), то A будем называть неориентированным объектом.
Если основные переменные подразделены на две группы - входные и выходные переменные, играющие роль независимых и зависимых, то A будет называться ориентированным объектом.
Состояние объекта A в момент t0 может рассматриваться как параметр S(t0), связанной с каждой парой вход-выход
(U[t0, t], Y[t0, t]), таким образом, что Y[t0, t] единственным образом определяется заданием U[t, t] и S(t0).
Иначе говоря, состояние объекта в момент t0 есть некоторый набор чисел, представленный, например, вектором α, который изменяется в пространстве ∑ так, что знание (1)α, (2) - уравнения вход-выход для объекта и (3) - входа U[t0,t]] является достаточным для однозначного определения входа y[t0,t].
S(t0) - называется состоянием объекта в момент t0.
[t0,t]- интервал наблюдаемости
УРАВНЕНИЕ ВХОД-ВЫХОД-СОСТОЯНИЕ.
Пусть А- ориентированный абстрактный объект, U,у - вход и выход на интервале наблюдения [t0,t] - переменная в пространстве ∑, R[U], R[y]- пространство входа и выхода.
(2) y(t)=A (α;U[t0,t]) ∀ t>t0
где A- функция α и U[t0,t]
U и у принадлежат R[U], R[у]
Уравнение (2) является уравнением вход-выход состояния. Символьная форма записи вход - выход - состояние.
(2') у[t0,t]=A (α,U), где
черта над A служит для того, чтобы отличить у(t) и у[t0,t]
Следовательно пара U[t0,t],у[t0,t] удовлетворяет уравнению
вход - выход - состояние (2), если U[t0,t] и у[t0,t] составляют
пару вход-выход по отношению к некоторому α в ∑.
В соответствии с уравнением (2') можем записать:
R[y]= { A(α,U)│ α∈∑, U∈ R[U] }
Условия взаимной совместимости:
Каждая пара вход-выход для удовлетворяет уравнению вход - выход-состояние (2')
Более детально: (1) если (U[t0,t],у[t0,t]), или проще (U,у) является любой парой функции времени (при U∈R[U], у∈R[y]),
удовлетворяющих уравнению А(U,y)=0, то (U,y) удовлетворяет также и (2') в том смысле, что существует α0 в ∑ такое, что
(3) у= A (α0,U[t0,t]),
и (2) любая функция времени (U,y), удовлетворяющая уравнению (2') для некоторого α, принадлежащего ∑ на интервале наблюдения [t0,t], является парой вход-выход для A.
Первое условие собственной совместимости:
Для того, чтобы множество ∑ могло называться пространством состояний A , оно должно иметь следующее свойство: если дана любая точка α в ∑ (которую мы назовем состоянием A в момент t0) и любой вход U[t0,t] в пространстве входов A, то выход в момент t однозначно определяется значением α и U[t0,t], и не зависит от значений U и y в момент времени, предшествующий t0, т.е. для всех t0 реакция y(t) в любой момент времени t>t0, однозначно определяется заданием α и U[t0,t].
Это свойство является ключевым в понятии состояния. Второе условие собственной совместимости.