Математические основы теории систем (стр. 4 из 13)

Если уравнения вход - выход-состояние удовлетворяется при подстановке пары (U_[t0,t],у_[t0,t]), тогда оно удовлетворяется при подстановке всех пар вида (U_[t,t1], у_[t,t1]), где t₀<t≤t₁, а U_[t,t1] и у_[t,t1] являются сегментами U_[t0,t], и у_[t0,t] соответственно. Это должно выполняться для всех α и ∑ и всех пар вход-выход, относящихся к α.

Пусть (UU',yy') - пара вход-выход, удовлетворяющая уравнению вход - выход-состояние (2') при α=α₀. Тогда можно записать: yy'= A (α₀,UU'), где U',y' вход и выход на интервале [t,t₀]

Утверждение, что (U',y') удовлетворяет уравнению вход - выход-состояние (2'), будет эквивалентно утверждению, что существует не пустое множество Q значений α в ∑, при которых выражение y=A(α;U') удовлетворяется для всех α в Q.

Тогда в качестве состояния объекта A в момент t может быть принято любое состояние α в Q_t (α₀,U) при α₀-состояние в момент t₀ или, что тоже самое, начальном состоянии A.

Состояние A в момент времени t будет обозначаться S(t).

Когда будет необходимо показать, что S(t₀) является начальным состоянием объекта A, уравнение вход - выход-состояние будет записываться в виде:

(4) y(t)= A(S(t₀);U_[t0,t])

S(t₀) и, в более общем случае S(t) изменяются в пространстве состояний ∑, т.е. для каждого фиксированного значения t, R[S(t)]=∑.

Если выполнены условия совместимости, то можно утверждать, что состояние S(t) однозначно определяется состоянием S(t₀) и входом U_[t0,t] и что функциональная зависимость S(t) от S(t₀) и U_[t0,t] может быть получена из уравнения вход - выход-состояние:

y(t)= A( S(t₀); U_[t0,t]), где α₀=S(t₀) (4)

Выражение S(t) как функция S(t₀) и U_[t0,t] называется уравнением состояния объекта.

(5) S(t)= S (S(t₀);U_[t0,t]), где

S- функция со значением в ∑.

Уравнение (5) производное от уравнения вход - выход-состояние (4).

Природа пространства состояний ∑ объекта является одной наиболее важных его характеристик. Если ∑ есть континуум, то будем говорить, что А есть объект с непрерывным пространством состояний.

Если ∑ есть счетное множество, A будет называться объектом с дискретным пространством состояний.

Если ∑ есть конечное множество, то А есть объект с конечным пространством состояний.

Вероятностные или стохастические объекты- объекты в которых для каждого t y(t) является случайной переменной. Для таких объектов уравнения вход-выход- состояние (4), заменяется уравнением вход-выход- распределение состояний, которое определяет вероятностную меру в пространстве y_[t0,t] как функцию начального состояния S(t₀) и входа U_[t0,t] .

Графическое представление систем.

U₁ у₁ U₁ S у₁

U_к у_к U_к у_к

Представление объекта в виде блок-диаграмм

1.4 ОБЪЕКТЫ УПРАВЛЕНИЯ С НЕПРЕРЫВНЫМ

ВРЕМЕНЕМ.

Дифференциальные уравнения состояния:

(1) Ś(t)= A(t)S(t)+B(t)U(t)

(2) у(t)= C(t)S(t)+D₀(t)U(t)+D₁(t)U⁽¹⁾(t)+...+D_к(t)U^(к)(t)

Коэффициенты этих уравнений являются матрицами.

A- матрица состояний [n*n]

B- матрица входа [m*n]

C- матрица выхода [L*m]

D- проходная матрица [L*m]

Пусть А- непрерывная система, заданная уравнением входа-выхода вида:

Lу+Kŷ=Mu, где L,K,M- матричные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами, u,у - входной и выходной векторы, а ŷ -скрытый выходной вектор.

Соотношения вход - выход-состояние.

В процессе установления соответствия вектора состояния с системой и связанного с этим определения соотношения вход - выход-состояние системы, описываемой дифференциальными уравнениями, состоит в нахождении общего решения этого дифференциального уравнения.

(2) L(p)y=u, L(p)=a_npⁿ+...+a₀, a_n≠0, которое описывает R.

Решить дифференциальное уравнение можно с помощью методов, хорошо известных из теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако будет удобно основываться не на классической теории, а получить общее решение сразу, путем преобразования Лаплпса.

Пусть R- система, описываемая соотношением вход-выход (2), тогда выражение для общего решения будет иметь вид:

n t

(3) y(t)= ∑ y^(ℷ-1)(t₀-)Ф_ℷ(t-t₀)+ ⌡ h(t-ℰ)U(ℰ)dℰ t≥t₀,

ℷ=1 t₀

где h(t)=Z {1/L(S)}= импульсной реакции R

(4) H(S)=1/L(S)= передаточная функция R,

Ф_ℷ=Z^-1{(a_nS^n-ℷ+...+a_ℷ)/L(S)}, ℷ=1,...,n

Функции времени Ф₁,...,Ф_n линейно независимы и удовлетворяют дифференциальному уравнению

L(p)Ф_ℷ(t)=0, ℷ=1,...,n

На втором этапе необходимо отождествить постоянные a_i, i=1,..,n из уравнения (2) с составляющими вектора x(t₀-) - состояние R в момент времени t₀-.

Положим базисные функции, или точнее говоря их преобразования по Лаплпсу, равными:

S^n-1/L(S),...,S/L(S),1/L(S)

В этом случае составляющим x(t₀) будет:

(5) x₁(t₀-)=a_ny(t₀-),

x₂(t₀-)=a_ny^(n-1)(t₀-)+a₁y(t₀-)

....................................................

x_n(t₀-)=a_ny^(n-1)(t₀-)+...+a_n-1y(t₀-)

Заменяя начальные значения y^(ℷ-1)(t₀-) в (3) через их выражения, представленные с помощью составляющих x(t₀-), получим для общего решения (3)

t

(6) y(t)=<(t-t₀),...,x(t₀-)>+ ⌡ h(t-ℰ)U(ℰ)dℰ, t≥t₀

t₀

где h- импульсная реакция R

Ф(t)=(Ф₁(t),...,Ф_n(t)); составляющие которого суть базисные функции:

Ф_ℷ(t)= Z^-1{ (a_nℷ^n-1+...+ a_ℷ)/L(S) },

а <Ф(t-t₀), x(t₀-)> обозначает скалярное произведение базисного

вектора Ф(t-t₀) и начального вектора состояния x(t₀-).

Уравнение (6) является соотношением вход - выход-состояние для R.

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ МАТРИЦА.

Будем исследовать реакцию при нулевом входе и вынужденную реакцию систем, описываемых уравнением вида:

(11) x(t)= A(t)x(t)+B(t)U(t), где

A(t)- квадратная матрица порядка n, элементами которой являются функции, непрерывные для всех значений t; B(t)-непрерывная матрица размером [n*r]; x(t) - вектор состояния, U- вход.

Пусть A(t) есть квадратная матрица порядка n, элементы которой - непрерывные функции. Тогда решение матричного дифференциального уравнения:

(12) X= A(t)X(t), X(t₀)=C, где

C есть произвольная постоянная матрица, имеет следующий вид:

(13) X(t)= (t,t₀)C

Любая неособенная матрица, которая удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению (12), называется фундаментальной матрицей системы (11). Таким образом, любая фундаментальная матрица имеет вид (13) при некоторой неособенной матрице С n строк любой фундаментальной матрицы есть n линейно независимых решений для уравнения (11).

th. Пусть A(t) есть квадратная матрица порядка n, элементы которой непрерывные функции времени. Пусть Ф(t,t₀) есть также квадратная матрица порядка n, которая является решением уравнения

(14) d/dt Ф(t,t₀)=A(t)Ф(t,t₀), (t,t₀)=I

Тогда решение уравнения

(15) x(t)= A(t)x(t), x(t₀)=x₀,

обозначаемое через x(t,x₀,t₀), есть

(16) x(t,x₀,t₀)=Ф(t,t₀)x₀ ∀t, ∀x₀

Матрица Ф(t,t₀) называется переходной матрицей состояния.

Из уравнения (16) можно сказать: матрица Ф(t,t₀) есть

линейное преобразование, которое отображает состояние x₀ в момент времени t₀ в состояние x(t) в момент t.

СПОСОБЫ ВЫЧЕСЛЕНИЯ МАТРИЧНОЙ ЭКСПОНЕНТЫ.

t

1. Если всех t ⌡ A(Ʈ)dƮ и A(t) коммутативны, то

t₀

t

Ф(t,t₀)= exp ⌡ A(Ʈ) dƮ

t₀

Пусть Ф(t,t₀) переходная матрица для (11),определяемой выражением (14), тогда:

t

(17) det Ф(t,t₀)= exp ⌡ a(Ʈ) dƮ , где

t₀

n

a(Ʈ) ≜ ∑ a_iƮ(Ʈ) ≜ trA(Ʈ).

i=1

2. Законченное решение позволяет получить формула интерполяции Лагранжа-Сильвестра. Она применима к матричным функциям, которые могут быть представлены в виде (сходящихся) степенных рядов.

∞

f(A)= ∑ C_iAⁱ ,где

0

матрица А с n отличающимися друг от друга собственными значениями соответствующих формуле интерполяции Лагранжа для аппроксимации функций с помощью многочленов. Матрица перехода Ф=exp{At} представляет такой степенной ряд

n

(18) Ф(t)= e^At= ∑ e^ℷitF_i , где

i=1

n

F=П (A-ℷ_iI)/(ℷ_i-ℷ_j)

j=1

j≠i

3. Применение преобразования Лапласа к однородному дифференциальному уравнению вида q=Aq, позволяет получить формулу, похожую на формулу Сильвестра, которую можно использовать не только для случая с простыми корнями.

∞

(19) Ф(t)= e^At≜ ∑ Aⁱtⁱ/i!= I+At+A²t²/2!+...

i=1

Эта формула особенно пригодна для аналитических исследований.

4. С помощью преобразования подобия матрица с n совершенно различными корнями ℷ_i может быть приведена к диагональной матрице Л.

Решение относительно А дает.

(20) A= KЛK^-1 ,где

К - матрица собственных векторов, K≜[K₁,K₂,...,K_n], согласно выводу из теории матриц имеет:

для двух подобных матриц А и, Л соответствующих уравнению (20), справедливо

f(A)=Kf(Л)K^-1

(21) Ф(t)=Ke^ЛtK^-1

причем, если известны корни ℷ_i, сразу можно записать матрицу exp{Лt}

e^ℷ1t......0