Математические основы теории систем (стр. 5 из 13)

e^Лt=

0......e^ℷnt

Рассмотренные способы дают решение в аналитическом виде и требуют больших затрат времени на определение собственных значений матрицы А, т.е. корней характеристического уравнения. В приведенных ниже способах оба этих момента отсутствуют.

5 При расчете матрицы перехода с помощью формулы Тейлора из (19)

p-1

(22) Ф(t)= ∑ Aⁱ tⁱ/t!+R_p

i=0

в системах с сосредоточенными параметрами для отдельных элементов матриц получим полиномы в функции t, которые могут быть записаны в виде сумм показательных функций e.

6. Путем программирование на аналоговой вычислительной машине элементы матрицы перехода могут быть получены в виде кривых, численно оценены или аналитически аппроксимированы.

Модуль вход-выход непрерывного объекта управления в форме векторно-матричного дифференциального уравнения

вектор входа U=[U₁, U₂,...,U_m]^T

вектор выхода x=[x₁,x₂,...,x_m]^T

вектор состояния q=[q₁,q₂,...,q_m]^T

Уравнение состояния (векторное дифференциальное уравнение)

(23) q(t)= Aq(t)+Bu(t)

Уравнение входа

(24) x(t)= Cq(t)+Du(t)

Для одномерной системы n-го порядка эти уравнения упрощаются:

(25) q(t)=Aq(t)+bu(t)

(26) x(t)=C^Tq(t)+du(t)

(27) q₁ = a₁₁ a₁₂ q₁ + b₁ U; при n=2

q₂ a₂₁ a₂₂ q₂ b₂

(28) x=|C₁ С₂| q₁ + dU

q₂

Таким образом, векторное дифференциальное уравнение (25) служит компактной формой записи для системы из n скалярных дифференциальных уравнений первого порядка

(29) q = a₁₁q₁+a₁₂q₂+b₁U;

q = a₂₁q₁+a₂₂q₂+b₂U.

Уравнение входа для одномерной системы представляет собой скалярное алгебраическое уравнение

(30) x= c₁q₁+c₂q₂+dU

ВЕСОВАЯ ФУНКЦИЯ.

Прежде всего нужно определить выходной сигнал x_v(t), соответствующий входному сигналу U_v(t)

(31) U_v(t)=U(V)dV δ(t-V)

U(V)dV - площадь импульса

δ(t-V)- единичный импульс при t=V

Соответствующий этому выходной сигнал представляет реакцию на импульсное воздействие, или соответственно весовую функцию g(t-V), характеризуемую импульсами площадью U(V)d .

Если уравнения системы представлены в стандартной форме записи (23), (24), то можно использовать общую форму решения уравнения переходного процесса:

t

(32) q(t)= Ф(t)q(0)= ⌡ Ф(t-Ʈ) BU(Ʈ)dƮ= q_св(t)+q_прн(t)

0

В рассматриваемом здесь случае переходного процесса при

возмущающем воздействии и нулевых начальных условиях для выраженного в относительных единицах входного сигнала U_δ

U_δ(t)=δ(t)

получим характеристику состояния в относительных

t

(33) q_δ(t)= ⌡ Ф(t-Ʈ) bδ(Ʈ) dƮ

0

Для импульса δ(Ʈ), возникающего в момент времени Ʈ=0, интервал интегрирования должен быть принят от -0

Ф(t)b , при t≥0

(34) q_δ(t)=

0, при t<0

Весовую функцию находят путем подстановки (34) в уравнение выхода (26)

(35) q(t)=x_δ(t)=C^Tq_δ(t)+dU_δ(t)= C^TФ(t)b+dδ(t) при t≥0

Для определения элементарного выходного сигнала x_δ(t), соответствующего уравнению (31), нужно учесть еще смещение входного импульса по времени и его интенсивность (площадь).

(36) x_v(t)=U(V) dV g(t-V)=U(V) dV[C^TФ(t-V)b+dδ(t-V)]

U(t)=U(V)dV δ(t-V)

U

x(t)=U(V)dVq(t-V)

V Ʈ=t-V

t

Элементарный входной и выходной сигналы при разложении на импульсы.

ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА.

Пусть система A линейна и стационарна и пусть h(*) является ее импульсной реакцией.

Предположим, что существует преобразование Лапласа для h. Тогда это преобразование

∞

(37) H(S) ≜ ⌡ e^-st h(t) dt

-∞

называется передаточной функцией H системы A.

Передаточная функция является оператором, характеризующим передачу сигнала линейным передаточным звеном, путем умножения которого, на изображении входного сигнала получается преобразованный

входной сигнал звена, имевшего до этого рабочую точку q=0.

В случае системы со многими входами и выходами передаточная функция становится матричной передаточной функцией H(S);

ее (i,j)- представляет собой преобразование Лапласа для h_ij(t), т.е. для установившегося режима i-го выхода на единичный импульс, приложенный к j-му входу в момент t=0.

Пусть - линейная стационарная система, и пусть H(S)- ее передаточная функция. Если y является реакцией системы при нулевом состоянии на входе воздействия U, то

(38) Y(S)= H(S) V(S)

где Y и V - преобразования Лапласа для y и U.

Передаточная функция H(S) идентична весовой функции g(t), преобразованной по Лапласу.

1.5 ОБЪЕКТЫ УПРАВЛЕНИЯ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ.

В случае, когда одна или более переменных могут наблюдаться только периодически, причем период наблюдения достаточно мал, так то все переменные можно восстановить с приемлемой точностью по их квантованным значениям, можно записать уравнения рассматриваемой

системы для дискретных (квантованных) значений для всех переменных. Иными, словами в качестве такой системы берется дискретная по времени система.

Исследование дискретных систем во многом подобно исследованию непрерывных систем.

Преобразование непрерывных систем в дискретные.

Пусть дана непрерывная система Y с уравнениями состояния

(1) x= Ax + Bu;

(2) y= Cx + Du, где

A,B,C,D суть (n*n), (n*r), (p*n) и (p*r)- постоянные матрицы

соответственно.

Предположим, что компоненты входного вектора замеряются периодически и фиксируются (сохраняются неизменными) в течении каждого интервала (kT,(k+1)T), где k=...,-1,0,1...

S определяется ур-ми (1),(2)

U y