Математические основы теории систем (стр. 7 из 13)

Определение: система, описываемая (1) и (2) называется наблюдаемой в том случае, когда, для некоторого Т>0 и всех возможных начальных состояний х(0), значения матриц А и С и реакции при нулевом входе Y[0,t] достаточно, чтобы определить начальное состояние x(0).

Тh: Система, Y описываемая (1), (2) наблюдаема в том и лишь в том, случае, если на np столбцов матрицы Р=[С* ,А* С* ,..,А*^(n-1) С* ] натянуто пространство состояний ℇ . ( Матрицы А*, С*,. получаются транспонированием матриц А, С,. и заменой их элементов комплексно сопряженными. )

ХАРАКТЕРИСТИКИ УПРАВЛЯЕМОСТИ.

Тh: Система Y , описываемая уравнением (1), управляема тогда и только тогда, когда на вектор столбцы В,АВ,..,B(n-1) матрицы Q≜[В,АВ,...,А^(n-1)В] натянуто пространство состояний системы Y. Рассмотрим интерпритацию этой теоремы в терминах канонической экордановой формы матрицы системы. Такая форма позволяет определить управление, требуемое для перевода любого состояния в нулевое. Для простоты будем рассматривать систему с одним входом, описываемую уравнением:

(6) х=Ах+Вu

где А постоянная матрица порядка n, В -n-мерный вектор, u-скалярный вход.

Если минимальный многочлен матрицы А имеет степень k⋜ n-1, то система, характеризуемая уравнением (6), неуправляема.

Произведем замену переменных, положив х=Тy, причем матрица Т такова, что Т^(-1)АТ=J, где J-каноническая форма Экордана матрицы А. Если обозначить е=Т^(-1)В, то уравнение (6) преобразуется к виду:

(7) y=Jy+eU

Th. Пусть А имеет различные собственные значения, так что J=diag(ℷ₁,...,ℷ_N). Тогда система, описываемая (6), управляема в том и только в том случае, когда все компоненты вектора e=Т^-1В отличны от нуля.

1.7. СИГНАЛЫ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ И НАБЛЮДЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЬЕКТОВ.

Временная функция (форма передачи), передаваемая материальным параметром, называемым носителем информации или пространственное размещение (форма заполнения ), называется сигналом, если она по меньшей мере с помощью одного из ее параметров передает информацию.

пример:

t t

Носителем информации здесь является электрическое напряжение; информационным параметром амплитуда импульса. В качестве сигнала можно рассматривать временную функцию U(t) (математическую функцию).

Сигналы называются аналоговыми или дискретными, если они передают или изображают аналоговую или дискретную информацию. В аналоговых сигналах информационные параметры в пределах определенных границ могут принимать любое значение, а в дискретных сигналах они принимают только дискретные значения.

Дискретные сигналы, информационные параметры, которых могут принимать только два дискретных значения, называются двоичными.

Цифровыми сигналами являются закодированные дискретные сигналы, в которых дискретные значения информационного параметра соответствуют словам условного алфавита. Все дискретные сигналы не являющиеся цифровыми называются многозначными. Для классификации сигналов имеет значение разделения их на непрерывные и импульсные.

Сигналы называются непрерывными, если их информационные параметры изменяются в любой момент времени, и импульсными, если они изменяются в дискретные моменты времени.

Схема прохождения сигналов кибернетической системы представляет собой граничное изображение (статической и динамической) характеристик звеньев и связей с общей системой. Схема прохождения сигналов представляет собой графическое изображение математической модели системы. Математическая модель является совокупностью всех уравнений, которые описывают соотношение между всеми рассматриваемыми входными и выходными сигналами. Для изображения схем прохождения сигналов наиболее употребительны два способа, которые имеют определенные преимущества: способ изображения в виде структурной схемы и изображение в виде графа прохождения сигнала. При изображении схемы прохождения сигналов в виде структурной схемы звенья показываются в виде блоков, а стрелками указываются направления прохождения сигналов. Структурная схема представляет собой схематическое (качественное) изображение передаточных звеньев системы и ее связей через входные и выходные сигналы. Качественное описание характеристики звена с выходными сигналами U₁,...,U_m должна пониматься характеристика передачи в установившемся режиме, которая описывается статическим передаточным уравнением:

(1) x_g=x(∞)=lim x(t)=f(U₁,...,U _v)

t→∞

в случае если существует х (∞).

Под динамическими характеристиками понимается зависимость выхода системы от ее входа в переходном процессе. Динамическая характеристика системы или звена может, быть описана различными способами.

Для аналоговых звеньев, входные и выходные характеристики которых изменяются непрерывно, характеристика передачи может быть, описана следующим дифференциальным уравнением в скалярной форме (после деления всех членов на коэффициент х”)

(2) xⁿ +A_n-1 x^n-1+...+A₁ x+A₀ x=B_m U^m+...+B₀ U

где U(t)-входной сигнал, x(t) выходной сигнал.

x=q₁, x=q_2, x^n-1=q_n получим уравнения системы для случая одномерного пространства:

(3) q(t)=Aq(t)+Bu(t)

x(t)=c^Tq(t)+du(t)

CКАЧКООБРАЗНАЯ И ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИИ.

Передаточные свойства линейного звена характеризуются реакцией на скачкообразное изменение входного сигнала:

u_s(t)=u_оδ(t)= 0, при t<0

u₀, при t⋝0

здесь δ(t) является единичной скачкообразной функцией:

δ(t)≜ 0, при t<0

1, при t⋝0

Значение скачкообразной функции основывается на том, что единичный входной сигнал u(t) может быть разложен на последовательность сдвинутых по времени скачкообразных функций с разными амплитудами.

u(t)

рис 1.

t

Благодаря применяемому для линейных систем методу суперпозиций соответствующий выходной сигнал можно получить путем наложения друг на друга реакций системы на отдельные скачкообразные функции. Реакция на единичное воздействие, х_s(t) линейного звена:

x_s(t)≜q u_s(t)=q U₀δ(t) (4)

Переходная функция h(t) линейного звена:

(5) h(t)≜x_s(t)/U₀=q(t)

Переходная функция линейного звена представляет собой его реакцию на единичное воздействие, отнесенную к амплитуде скачка вх. сигнала.

ИМПУЛЬСНАЯ И ВЕСОВАЯ ФУНКЦИИ.

Аналогично скачкообразной функции и реакции на единичное воздействие импульсная функция и соответствующая реакция на импульсное воздействие могут служить для характеристики передаточных свойств линейных звеньев. Этот метод заключается в том, что входной сигнал u(t) может быть представлен в виде последовательных импульсов функций рис 2

1/u u→0

u u

рис 2 рис 3

Разложение сигнала в последовательность импульсных эвристическая интерпретация функций

Для хорошей аппроксимации, ширина u приведенных на рис. 2, 3 функций, должна быть ничтожно мала. Реакция на импульсное воздействие х(t) линейного звена:

(6) x↑(t)≜q*u↑(t)=q*A*δ(t)

(* -обозначается свертка функции u(t) и q(t) с помощью интеграла свертки); δ(t)-импульсная функция; А - площадь импульса u↑(t). Весовая функция q(t) линейного звена:

q(t)≜ x↑(t)/A=q*δ(t)

Весовая функция q(t) линейного звена представляет его реакцию на импульсное воздействие, отнесенную к интегралу от входного сигнала, взятому по времени.

В соответствии с общим значением импульсного сигнала (рис 3) следует, что весовая функция является свойством

передаточного звена, которое определяет его особенности при передаче сигнала. Схема прохождения сигнала: изображение в виде графа прохождения сигнала.

Граф представляет собой схему, состоящую из узлов и ветвей, соединяющих узлы. Граф прохождения сигналов, представляет собой граф с направленными ветвями.

x(t)=cu(t) узел x(p)=G(p)U(p)