x(t)=f{u(t)}
рис 4
При изображении схемы прохождения сигналов в виде графа, сигналы условно изображаются узлами, а звенья ветвями с указанием направления передачи. При этом принимается, что изображению временной функции (рис 4а) соответствует выражение:
x(t)=Cu(t) или x(t)=F{u(t)}
С - постоянная,F оператор, являющийся функцией времени.
ДЕТЕТМЕНИРОВАННЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ СИГНАЛЫ И СИСТЕМЫ.
u u u
а) t б) t в) t
u
а-в детерминированные сигналы
г - стохастический сигнал
Рис. 5
г) t
Характеристика сигналов, представленных на рис 5, а –в, очевидно, что может быть однозначно описана аналитической функцией для всех t, если характер этой зависимости сохраняется за пределами показанного интервала. Таким образом, значение в каждый момент времени t определено, т.е. детерминировано.
Но это не имеет место для сигнала, показанного на рис 5г. Его характеристика, замеренная в конечном интервале времени, может быть с большими трудностями и разной степенью точности описана на этом интервале. Отсюда, дальнейшее значение изменение сигнала, нельзя точно предугадать заранее. Временная характеристика таких сигналов является случайной функцией. Такие сигналы получаются из-за многих, причин, которые вследствие больших трудностей не могут быть достаточно проанализированы.
Подобного вида сигналы называются стохастическими сигналами.
Сигналы называются детерминированными, если их временная характеристика, может быть, однозначно определена.
Сигналы называются стохастическими, если их временные характеристики являются случайными функциями, причем для этих характеристик могут быть указаны общие статические параметры.
Если все сигналы в системе детерминированы, то также оказываются детерминированными временные характеристики всей системы.
Стохастические сигналы могут возникать в системе из-за того, что-либо входные сигналы являются стохастическими, либо определенные параметры системы подвержены случайным колебаниям.
Системы называются детерминированными, если все сигналы (вход, состояние, выход) детерминированы, и стохастическими, если, по крайней мере, один сигнал является стохастическим. В детерминированных системах возможна детерминированная обработка задачи управления, стохастическая система требует стохастической обработки.
1.8. МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ.
Величина, которая в каждом определенном случае в зависимости от результатов опыта может принимать то или иное числовое значение, называется случайной величиной. Конкретное значение, которое может принять случайная величина, называется возможным ее значением. Случайную величину можно определить как, функцию заданную на пространстве элементарных событий.
Случайные величины обозначают большими буквами латинского алфавита X,Y,Z,.., а возможные их значения соответствующими буквами x, y, z,...,. Случайная величина зависит, от элементарного события. Этот факт обозначается следующим образом Х=Х(ω).
Случайная величина, множество значений которой конечно или счетною, называется дискретной, случайной величиной.
ВЕКТОРНЫЕ (МНОГОМЕРНЫЕ) СЛУЧАИНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.
Кроме одномерных, случайных величин можно рассматривать многомерные, случайные векторы, координаты которых являются одномерными, случайными величинами. Такие случайные величины встречаются во многих технических задачах.
Случайные сигналы G и Х на входе и выходе системы автоматического регулирования (САР) с n -выходами и m -входами можно рассматривать n- и m- мерные, случайные векторы (рис 1)
g1 x1 
g2 x2 
X G gn xn
GT=[g1,g2,...,gn] XT=[x1,x2,...,xn]
Случайные векторные величины будем обозначать жирными буквами латинского алфавита X,Y,Z, . Рассмотрим совокупность n случайных величин x1( ), x ( ),.., x ( )заданных на пространстве элементарных событий. Эти величины можно интегрировать как одну векторную, случайную величину:
(1) XT(ω)=[x1(ω),...,xn(ω)]
Случайная векторная величина принимает каждый раз значения, зависящие от элементарного события. Таким образом, многомерная, случайная величина есть вектор-функция, заданная на пространстве элементарных событий, и каждое ее возможное значение есть вектор.
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ (МОМЕНТЫ) СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.
Полными характеристиками случайных величин являются их функции распределения или плотности распределения вероятностей. Однако многие задачи теории вероятности можно решать, не используя функции распределения вероятностей. Оказывается, что статические свойства случайных величин могут быть описаны на основе числовых характеристик распределения этих случайных величин. Одной из наиболее важных числовых характеристик случайной величины является ее среднее значение, называемое также математическим ожиданием.
Математическим ожиданием М [Х] случайной величины Х называется число, определяемое интегралом вида:
∞
(2) mX=M[X]=⌡ xf(x)dx
-∞
где f(х) - плотность распределения вероятностей случайной величины Х, х - возможные ее значения.
Для дискретной, случайной величины Х, плотность распределения вероятностей есть сумма дельта - функций получим:
n n
(3) M[X]=x ∑ pk δ(x-xk)dx= ∑ xk pk
k=1 k=1
здесь хk возможное значение случайной величины, pk- вероятность того, что случайная величина примет значение хк.
Из равенства (3) следует, что математическое ожидание случайной дискретной величины Х равно сумме произведений возможных значений, принимаемых случайной величиной, на соответствующие им вероятности.
Отсюда вытекает вероятностный смысл математического ожидания, оно определяет координату центра группирования значений, принимаемых случайной величиной; следовательно, математическое ожидание является средним значением случайной величины.
Для непрерывной, случайной величины каждому ее возможному значению х соответствует элементарная вероятность f(х)dx . Если задана случайная величина Y, которая является неслучайной функцией Y=Ψ(x) случайного дискретного элемента Х, то Y принимает возможные значения уk=Ψ(хk) с вероятностями pk; поэтому математическое ожидание случайной величины Y=Ψ(х) аналогично равенству (3).
n
(4) M[Ψ(x)]= ∑ Ψ(xk)pk
k=1
Если Х - непрерывная, случайная величина, то функция от этой величины Y=Ψ(х) принимает возможные значенияΨ(x) с вероятностями f(х)dх. В этом случае сумма (4) после предельного перехода равна соответствующему интегралу:
∞
(5) M[Ψ(x)]= ⌡ Ψ(x)f(x)dx
-∞
Пологая, в формуле (5) Ψ(х)=хn получим выражение для моментов случайных величин Х.
Начальным моментом (или просто моментом) случайной величины Х называется математическое ожидание ее, n-ной степени. Этот момент обозначается αn т.е.
∞
(6) αn=M[Xn]= ⌡ xn f(x)dx
-∞
Очевидно, математическое ожидание не может дать полное представление о случайной величине, т.к. характеризует только ее среднее значение:
* * * * **** x1 0 m
* *** *** * x2 0 m
На рисунке 2 крестиками показаны значения, которые приняли случайные величины х1, х2. Эти случайные величины имеют одинаковые математические ожидания M[x1]=M[x2]=m, но разброс значений, который имеет случайная величина х2 около своего математического ожидания, больше чем разброс значений случайной величины х1.
Для характеристики величины разброса значений случайной величины около математического ожидания вводится еще одна характеристика случайной величины, равная сумме произведений квадратов отклонений, возможных значений случайной величины от математического ожидания на соответствующие этим возможным значениям вероятности.
