Математические основы теории систем (стр. 9 из 13)

Такая числовая характеристика называется дисперсией случайной величины Х и обозначается D[Х]. Для дисперсии случайной величины Х имеем:

n

(7) D[X]= ∑ (x_k-M[X])² p_k

k=1

Очевидно, что чем больше дисперсия, тем больше разброс возможных значений случайной величины от математического ожидания. Из выражения (6) следует, что дисперсия есть математическое ожидание квадрата разности случайной величины и ее математического ожидания.

Для непрерывной, случайной величины Х формула (6) после предельного перехода принимает вид:

∞

(8) D[X]=M(X-M[X])²= ⌡ (x-M[X])² f(x)dx

-∞

Разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием называется центрированной случайной величиной Х^○.

(9) X^○=X-M[X]

Центральным моментом n-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание n-ой степени интегрированной случайной величины Х^○, т.е.

∞

(10) μ_n=M[(X^○)ⁿ]=M[X-M[X]ⁿ]= ⌡ (x-M[X]ⁿ) f(x)dx

-∞

Из формул (8), (9) следует, что дисперсия является центральным моментом второго порядка случайной величины. Дисперсия случайной величины имеет разность квадрата этой величины, однако, удобнее пользоваться мерой разброса случайной величины, имеющей ту же размерность, что и сама случайная величина. За эту меру принимают положительное значение квадратного корня из дисперсии и называют ее средним квадратичным отклонением.

(11) δ_x=√ D[X] = √ μ_x

МОМЕНТЫ МНОГОМЕРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Как и для одномерных, случайных величин, для случайных векторов вводят понятие начального и центрального моментов. Рассмотрим случайный n-мерный вектор - столбец Х с координатами х₁, х₂,...,х_n

Смешанным начальным моментом порядка k₁+k₂ +,...,+k_n случайных, величин х₁, .. , х_n называется математическое ожидание произведения

(12) αk₁, k₂,..., k_n=M[x₁^k1, x₂^k2,..., x_n^kn]

Смешанным центральным моментом порядка k₁, k₂,..., k_n случайных, величин х₁ ,..,х_n называется математическое ожидание произведения (x₁^○)^k1(x₂^○)^k2..(x_n^○)^kn соответствующих центрированных случайных величин т.е.

(13) μk₁, k₂,..., k_n=M[(x₁^○)^k1(x₂^○)^k2...(x_n^○)^kn]

Вычислим момент первого порядка для координат вектора X

(14) α₀,..,0,1,0,..,0=M[(x₁)^○...(x_i-1)^○ x_i (x_i+1)^○...(x_n)^○=M[x_i]

Отсюда, следует, что начальные моменты первого порядка для системы n-случайных величин, есть математическое ожидание этих случайных величин.

Математическим ожиданием случайного вектора Х называется вектор, координатами которого являются математические ожидания соответствующих координат случайного вектора Х, т.е.

(15) M[X]^T=M[x₁]...M[x_n]

Рассмотрим момент второго порядка, пусть имеем две случайные величины х_i, у_i. Вычислим смешанный центральный момент второго порядка. Согласно равенству (13) имеем:

(16) μ_1,1=M(x_i^○y_j^○)

Смешанный центральный момент второго порядка случайных величин называется корреляционным моментом и обозначается К_ij.

Кроме корреляционного момента двух случайных величин, для характеристики связи случайных величин введем безразмерный коэффициент r_ij, равный отношению корреляционного момента K_ij случайных величин х_i, у_j к положительному значению квадратного корня из произведения дисперсией этих случайных величин. Этот коэффициент называется коэффициентом корреляции случайных величин т. е.

K_ij

(18) r_ij= √D[x_i]D[x_j]

Рассмотрим случайный вектор Х с коэффициентами х₁, х₂,.., х_n. Матрица К, составленная из корреляционных моментов для всех координат этого случайного вектора:

k₁₁ k₁₂ ......k_1n

k₂₁ k₂₂ ......k_2n

(19) K= ...................... =M[X^○(X^○)^T]=[M[X_i^○X_j^○]]

k_n1 k_n2 ......k_nn

называется корреляционной матрицей случайного вектора Х. из свойств корреляционного момента следует, что К_ij=К_ji, т.е. матрица К является симметричной:

(20) К^T=К

Пусть выполняется линейное преобразование случайного вектора Х, задаваемого в некотором базисе матрицей В, т.е.

(21) Y=ВХ

При линейном преобразовании (21) случайного вектора Х корреляционная матрица Y равна К_y=ВК_xВ^T (22)

КОВАРЦИОННАЯ МАТРИЦА.

Если имеется не две, а большее число случайных величин, например, х₁,...,х_n, то резко возрастает и число числовых параметров, характеризующих эти величины. Кроме n-первых моментов, определяющих математическое ожидание случайных величин необходимо определение еще вторых центральных моментов, представляющих собой дисперсии каждой случайной величины и коварцией между каждой парой случайных величин. Всю совокупность случайных величин Х₁,..., Х_n, удобно представить в виде случайного вектора столбца:

X₁ __ __

(23) X= ....... =(X₁,...,X_n)^T

X_n

Тогда совокупность математических ожиданий компонент этого вектора запишем в виде вектора математических ожиданий:

x₁ __ __

(24) X=M[X]= ...... =(x₁,...,x_n)^T

x_n

Совокупность вторых центральных моментов, представляющих собой дисперсии:

(25) δ²x_i=M[(x_i-M[x])²] , i=1,...,n

и коварции

(26) cov(x_ix_j)=M[(x_i-M[x_i])(x_j-M[x_j]) ,i, j=1,...,n, i≠j

Удобно записать в виде коварционной матрицы:

(27) P_xx=M[(X-M(X))(X-M(X)^T)]

Диагональные члены этой матрицы представляют собой дисперсии. Коварционная матрица является симметричной.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ.

При изучении ряда явлений природы приходится наблюдать процессы, характеризуемые функциями, которые в зависимости от исхода опыта принимают различный вид. Указать заранее на то, какой вид примет случайная функция в данном опыте, невозможно, однако закономерности, присущие множеству значений, принимаемые случайной функцией, как закономерности массового явления можно изучить. Случайная функция как случайная величина, принимает различные значения в зависимости от исхода опыта элементарного события, кроме того, случайная функция зависит от некоторого неслучайного параметра t, например времени.

Если параметр t- время, то случайную функцию называют случайным процессом. Если зафиксировать элементарное событие ω=ω₀, то Х(t,ω₀) будет неслучайной функцией аргумента t. Конкретный вид случайной функции при фиксированном, т.е. возможном опыте, называется реализацией случайной функции.

Если зафиксировать параметр случайной функции t, т.е. рассмотреть сечение этой случайной функции при t=t_k, то она будет зависеть только от элементарного события и, следовательно, станет случайной величиной Х(t_k,ω).

Чтобы полностью задать случайную функцию Х(t), надо знать все n-мерные функции распределения: F_n(x₁,...,x_n; t₁,..,t_n), которые зависят от n переменных х₁,...,х_n и значений t₁,...,t_n, или плотности распределения вероятностей f_n.

Важными характеристиками случайных величин являются моменты. Если известна двумерная функция распределения или плотность распределения вероятностей случайной функции, то всегда можно вычислить моменты случайной функции до второго порядка включительно, такими моментами являются математически ожидания;

∞

(1) M[X(t)]= ⌡ xf₁[x,t]dx=m_x(t)

-∞

дисперсия

∞

(2) D[X(t)]= ⌡ [x-m_x(t)]²f₁(x,t)dx=D₁(t)

-∞

и корреляционный момент:

∞ ∞

(3) K_x(t₁,t₂)=M[X^○(t₁)X^○(t₂)]= ⌡ ⌡ (x₁-m_x(t₁))(x₂-m_x(t₂))

-∞ -∞

f₂(x₁,x₂;t₁,t₂)dx₁dx₂, где

(4) X^○(t)=X(t)-M[X(t)], центрированная случайная функция.

Если параметру t придавать все возможные значения, то математическое ожидание (1) и дисперсия (2) случайной функции будут функциями одной переменной t, а корреляционный момент (3) функцией двух переменных t₁ и t₂. Корреляционный момент К_x(t₁,t₂) называется корреляционной функцией случайной функции Х(t).

Математическое ожидания представляет собой среднее значение случайной функции Х(t)рис 2, а дисперсия характеризует отклонение значений, принимаемых случайной функцией, от ее математического ожидания.

Корреляционная функция характеризует зависимость между случайными величинами Х(t₁) и Х(t₂)-сечениями случайной функции при t=t₁ и t=t₂.