Матожидание, дисперсия, мода и медиана (стр. 1 из 2)

Математическое ожидание и его свойства.

Одной из важных числовых характеристик случайной величины является математическое ожидание. Введем понятие системы случайных величин. Рассмотрим совокупность случайных величин

, которые являются результатами одного и того же случайного эксперимента. Если — одно из возможных значений системы , то событию соответствует определенная вероятность удовлетворяющая аксиомам Колмогорова. Функция , определенная при любых возможных значениях случайных величин , называется совместным законом распределения. Эта функция позволяет вычислять вероятности любых событий из . В частности, совместный закон распределения случайных величин и , которые принимают значения из множества и , задается вероятностями . Расширим понятие независимости случайных событий и введем понятие независимых случайных величин.

1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной, т.е.

.

Доказательство. Постоянную

можно рассматривать как дискретную случайную величину, принимающую единственное значение с вероятностью 1. .

2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

.

Доказательство. Пусть случайная величина

задана законом распределения вероятностей:

			. . .		. . .
			. . .		. . .

Очевидно, что случайная величина

также является дискретной и принимает значения , , ... , , ... с прежними вероятностями , , ... , , ... т.е. закон распределения имеет вид

			. . .		. . .
			. . .		. . .

Тогда по определению математического ожидания

.

3) Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

.

Доказательство. Рассмотрим случайную величину

и докажем, что

Действительно, если

и заданы рядами распределения

			. . .
			. . .
			. . .
			. .

то, как было указано выше, случайная величина

имеет следующий закон распределения:

					. . .
					. . .

Тогда

.

Методом математической индукции можно доказать, что если это свойство выполняется для

случайных величин, то оно выполняется и для случайных величин.

4) Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

.

Доказательство. Пусть заданы две случайные величины

и рядами распределения (см. предыдущее свойство).

В силу вышесказанного возможные значения случайной величины

будут , , , , ... Их вероятности , , , ... , т.к. они определяются по теореме умножения вероятностей. Т.к. вероятность обозначает вероятность того, что события и наступают совместно, т.е. .