Метод математической индукции (стр. 3 из 3)

Пример 1. Вычислить сторону

правильного - угольника, вписанного в круг радиуса R.

Решение.

При n=2 правильный 2ⁿ – угольник есть квадрат; его сторона

. Далее, согласно формуле удвоения

находим, что сторона правильного восьмиугольника

, сторона правильного шестнадцатиугольника , сторона правильного тридцатидвухугольника . Можно предположить поэтому, что сторона правильного вписанного 2ⁿ – угольника при любом равна

. (1)

Допустим, что сторона правильного вписанного

- угольника выражается формулой (1). В таком случае по формуле удвоения

,

откуда следует, что формула (1) справедлива при всех n.

Пример 2. На сколько треугольников n-угольник (не обязательно выпуклый) может быть разбит своими непересекающимися диагоналями?

Решение.

Для треугольника это число равно единице (в треугольнике нельзя провести ни одной диагонали); для четырехугольника это число равно, очевидно, двум.

Предположим, что мы уже знаем, что каждый k-угольник, где k<n, разбивается непересекающимися диагоналями на k-2 треугольника (независимо от способа разбиения). Рассмотрим одно из разбиений n-угольника А₁А₂…А_n на треугольники.

А_n

А₁ А₂

Пусть А₁А_k – одна из диагоналей этого разбиения; она делит n-угольник А₁А₂…А_n на k-угольник A₁A₂…A_k и (n-k+2)-угольник А₁А_kA_k+1…A_n. В силу сделанного предположения, общее число треугольников разбиения будет равно

(k-2)+[(n-k+2)-2]=n-2;

тем самым наше утверждение доказано для всех n.

Пример 3. Указать правило вычисления числа P(n) способов, которыми выпуклый n-угольник может быть разбит на треугольники непересекающимися диагоналями.

Решение.

Для треугольника это число равно, очевидно, единице: P(3)=1.

Предположим, что мы уже определили числа P(k) для всех k<n; найдем, чему равно в таком случае P(n). Для этого рассмотрим выпуклый n-угольник А₁А₂…А_n. При всяком разбиении его на треугольники сторона А₁А₂ будет стороной одного из треугольников разбиения, третья вершина этого треугольника может совпасть с каждой из точек А₃, А₄, …,А_n. Число способов разбиения n-угольника, при которых эта вершина совпадает с точкой А₃, равно числу способов разбиения на треугольники (n-1)-угольника А₁А₃А₄…А_n, т.е. равно P(n-1). Число способов разбиения, при которых эта вершина совпадает с А₄, равно числу способов разбиения (n-2)-угольника А₁А₄А₅…А_n, т.е. равно P(n-2)=P(n-2)P(3); число способов разбиения, при которых она совпадает с А₅, равно P(n-3)P(4), так как каждое из разбиений (n-3)-угольника А₁А₅…А_n можно комбинировать при этом с каждым из разбиений четырехугольника А₂А₃А₄А₅, и т.д. Таким образом, мы приходим к следующему соотношению:

С помощью этой формулы последовательно получаем:

и т.д.

Так же при помощи метода математической индукции можно решать задачи с графами.

Пусть на плоскости задана сеть линий, соединяющих между собой какие-то точки и не имеющие других точек. Такую сеть линий мы будем называть картой, заданные точки ее вершинами, отрезки кривых между двумя смежными вершинами – границами карты, части плоскости, на которые она разбивается границами – странами карты.

Пусть на плоскости задана некоторая карта. Мы будем говорить, что она правильно раскрашена, если каждая ее страна закрашена определенной краской, причем любые две страны, имеющие между собой общую границу, закрашены в разные цвета.

Пример 4. На плоскости дано n окружностей. Доказать, что при любом расположении этих окружностей образуемую ими карту можно правильно раскрасить двумя красками.

Решение.

При n=1 наше утверждение очевидно.

Предположим, что наше утверждение справедливо для любой карты, образованной n окружностями, и пусть на плоскости задано n+1 окружностей. Удалив одну из этих окружностей, мы получим карту, которую в силу сделанного предположения можно правильно раскрасить двумя красками, например черной и белой.

Восстановим затем отброшенную окружность и по одну сторону от нее (например, внутри) изменим цвет каждой области на противоположный (т.е. черный – на белый и наоборот); легко видеть, что при этом мы получим карту, правильную раскрашенную двумя красками.

Пример 5. Для того чтобы карту можно было правильно раскрасить двумя красками, необходимо и достаточно, чтобы в каждой ее вершине сходилось четное число границ.

Решение.

Необходимость этого условия очевидно, так как если в какой-нибудь вершине карты сходится нечетное число границ, то уже страны, окружающие эту вершину, нельзя правильно раскрасить двумя красками.

А В

Для доказательства достаточности условия проведем индукцию по числу границ карты.

Для карты с двумя границами утверждение очевидно.

Предположим, что утверждение справедливо для любой карты, в каждой вершине которой сходится четное число границ и общее число границ которой не превосходит n, и пусть дана карта S, имеющая n+1 границ и удовлетворяющая тому же условию. Начиная с произвольной вершины А карты S, станем двигаться в произвольном направлении вдоль границ карты. Ввиду конечности числа вершин карты мы вернемся в конце концов в одну из уже проведенных вершин (карта не имеет крайних вершин, потому что на ней нет неразделяющих границ) и сможем выделить некоторый не имеющий самопересечений замкнутый контур, состоящий из границ карты. Удалив этот контур, мы получим контур S₁ с меньшим числом границ, в каждой вершине которой также сходится четное число границ (потому что в каждой вершине карты S отбрасывается четное число границ – 0 или 2). В силу индуктивного предположения карту S₁ можно правильно раскрасить двумя красками.

Восстановив отброшенный контур и изменив все цвета с одной стороны от него (например, внутри), мы и получим правильную раскраску карты S.