Методика изучения числовых систем (стр. 2 из 6)

Рассмотрение увеличения или уменьшения дроби в несколько раз следует увязывать с прохождением умножения и деления дроби на целое число, так как эти задачи тождественны. Если же этот вопрос рассматривать до действий, то необходимо показать, что, увеличивая дробь в несколько раз, мы ее умножаем на целое число, уменьшая - делим на целое число, но тогда нарушится систематичность изложения. Очень часто эта связь не подчеркивается, и учащиеся не осознают тождественность задач — увеличить дробь в несколько раз и умножить дробь на целое число, и не решаются применять правила увеличения и уменьшения дроби при умножении и делении дроби на целое число. Такое изучение увеличения и уменьшения дроби в несколько раз приносит вред учащимся, создавая путаницу в их умах.

После этого следует перейти к преобразованиям дробей: к сокращению дробей, затем к приведению дробей к общему знаменателю, связав это преобразование с задачей сравнения дробей с разными числителями и знаменателями.

Для сознательного усвоения преобразования дробей следует привести чертеж. Например, сокращение дроби

можно показать следующим образом:

Рис.9

При этом ведутся следующие рассуждения: возьмем отрезок, составляющий

линейной единицы; 8 восьмых долей единицы можно сгруппировать по 2 восьмых, тогда число долей, на которые разделена единица, уменьшится в 2 раза (8:2=4), 6 восьмых долей то же единицы тоже можно сгруппировать по 2 восьмых, тогда тело долей в данном отрезке тоже уменьшится в 2 раза (6:2=3);

отрезок, составленный из 6 восьмых линейной единицы, можно рассматривать составленным из 3 четвертей той же единицы.

Действия над дробями

Сложение и вычитание дробей

Изучение темы следует начать со сложения дробей с одинаковыми знаменателями и на конкретных примерах подчеркнуть, что сложение дробей состоит в подсчете одинаковых долей, содержащихся в данных дробях вместе, т. е. определение сложения дробей мало отличается от определения сложения чисел.

При сложении дробей с одинаковыми знаменателями следует составить систему упражнений, охватывающую все возможные случаи сложения: 1) целого с дробью; 2) целого со смешанным числом; 3) двух правильных дробей: а) дающих, в сумме правильную дробь, б) дающих в сумме целое число, в) дающих в сумме неправильную дробь; 4) смешанного числа с дробью, причем сумма дробей - правильная дробь; 5) то же, только сумма дробей - целое число;

6) то же, только сумма дробей — неправильная дробь; 7), 8), 9) те же случаи для суммы смешанных чисел. При сложении дробей с разными знаменателями в основу системы упражнений берутся различные случаи отыскания общего знаменателя. Следует вначале брать простые случаи отыскания общего знаменателя, которые не отвлекали бы от основной задачи — сложения дробей. На основании рассмотрения различных примеров следует добиться, чтобы учащиеся установили справедливость законов сложения для дробных чисел. Например:

Рассуждения, приведенные на частных примерах, имеют общий характер, а именно: сложение дробей с одинаковыми знаменателями сводится к сложению числителей, т. е. целых чисел; так как для целых чисел справедливы законы сложения, следовательно, они справедливы и для дробных чисел.

Вычитание дробей определяется, так же как и для целых чисел, как действие, обратное сложению.

Некоторые авторы предлагают проходить вычитание параллельно с сложением. Такой порядок имеет свои преимущества; этим самым все время подчеркивается связь вычитания с сложением как действия, обратного сложению. Большинство же учебников и задачников сначала рассматривают сложение дробей, потом вычитание, после этого — совместно сложение и вычитание, считая, что последний порядок изучения сосредоточивает внимание учащихся на одной трудности.

При вычитании дробей система упражнений имеет еще большее значение, чем при сложении, так как при вычитания иногда приходится уменьшаемое преобразовывать, что затрудняет учащихся. Постепенно усложняя упражнения, можно подготовить учащихся к усвоению трудных случаев вычитания. Рассмотрим различные случаи, которые могут быть положены в основу системы упражнений на вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, а именно: 1) из дроби вычесть дробь; 2) из смешанного числа - дробь, которая меньше дроби смешанного числа; 3) из единицы - дробь; 4) из целого числа, большего единицы, - дробь; 5) из числа, равного единице с дробью, вычесть дробь, которая больше дроби в уменьшаемом; 6) из смешанного числа - смешанное, причем дробь вычитаемого меньше дроби уменьшаемого; 7) из целого - смешанное число; 8) из смешанного - смешанное число дробь которого больше дроби уменьшаемом. Примерная запись при сложении и вычитании дробей.

Не следует спешить переходить к записи общего знаменателя |вод одной чертой; учащиеся часто не осознают, что производится рамена данных дробей им равными дробями с общим знаменателем.

Умножение дроби на целое число

Следующим действием изучается умножение дроби на целое число. Умножение дроби на целое число определяется так же, как умножение целых чисел.

При изучении умножения дроби на целое число необходимо установить с учащимися определение действия умножения дроби на целое число как сложения равных слагаемых, из которых каждое равно множимому; показать тождественность умножения дроби на целое увеличению дроби в несколько раз, дать определение умножения дроби на 1; показать рациональный прием сокращения дроби, числитель которой представляет произведение, с которым учащиеся встречаются впервые при умножении дроби на целое; научить применять это действие к задачам; рассмотреть частные случаи умножения, например, умножение дроби на число, равное знаменателю; умножение смешанного числа на целое число. Приведенный перечень задач, стоящих при изучении умножения дроби на целое число, показывает, что каждый вопрос, кажущийся простым, требует тщательного изучения и как много возникает дополнительных задач в связи с данным вопросом.

Приведем пример плана урока на эту тему,

1) Проверка домашнего задания.

2) Устные упражнения на сложение и вычитание дробей.

3) Устные примеры на деление произведения на число:

4) Сокращение дробей:

5) Повторение определения умножения на целое число:

6) Определение умножения дроби на целое число:

7) Решение задач в одно действие на умножение дроби на целое »»

число. Например: 1 м³ сосновых дров весит

т. Найти вес 2м³ этих

дров (в тоннах), 7 м³.

8) Сформулировать правило умножения дроби на целое число:

чтобы умножить дробь на целое число, достаточно числитель дроби умножить на это число, оставив прежний знаменатель.

9) Решение примеров на умножение дроби на целое число:

10) Составить задачи, при решении которых требовалось бы умножить.

11) Домашнее задание.

Приведенные в этом плане устные упражнения на деление произведения на число и сокращение дробей имеют цель подготовить учащихся к обоснованию сокращения дробей, в числителе которых стоит произведение. Учащиеся вспоминают, как разделить произведение на число и при сокращении дробей ведут следующие рассуждения: чтобы сократить дробь, надо числитель и знаменатель разделить на одно и то же число; в числителе стоит произведение; чтобы произведение разделить на число, достаточно один из множителей разделить на это число. Поэтому при сокращении дроби

делим 10 и 25 на 5.

На следующем уроке следует предложить учащимся на нескольких примерах умножения дроби на целое число сравнить множимое и произведение по величине. Установить, что для дробей, как и для целых чисел, увеличить дробь в несколько раз - значит умножить ее на целое число. На основании рассмотрения примеров вида

делается вывод об изменении величины дроби с увеличением числителя или уменьшением знаменателя в данное число раз и дается частный прием умножения дроби на целое число, годный для случая, когда знаменатель дроби делится на данное целое число:

При изучении умножения смешанного числа на целое вначале рассматриваются два способа. Например:

Последние рассуждения показывают справедливость распределительного закона умножения относительно суммы, когда одно из слагаемых дробь. Рассматривается пример вида