Методы и приемы решения задач (стр. 3 из 3)
Предположим, что формула верна при n=k, т.е.
.Прибавим к обеим частям этого равенства
и преобразуем правую часть. Тогда получим 
Таким образом, из того, что формула верна при n=k, следует, что она верна и при n=k+1. Это утверждение справедливо при любом натуральном значении k. Итак, второе условие принципа математической индукции тоже выполнено. Формула доказана.
Пример 2. Доказать, что сумма n первых чисел натурального ряда равна
.Решение.
Обозначим искомую сумму
, т.е. 
.При n=1 гипотеза верна.
Пусть
. Покажем, что 
.В самом деле,
.Задача решена.
В) Примеры применения метода математической индукции к доказательству неравенств.
Пример 1. Доказать, что при любом натуральном n>1
.Решение.
Обозначим левую часть неравенства через
. 
, следовательно, при n=2 неравенство справедливо.Пусть
при некотором k. Докажем, что тогда и 
. Имеем 
, 
.Сравнивая
и 
, имеем 
, т.е. 
.При любом натуральном k правая часть последнего равенства положительна. Поэтому
. Но , значит, и .Пример 2. Найти ошибку в рассуждении.
Утверждение. При любом натуральном n справедливо неравенство
.Доказательство.
Пусть неравенство справедливо при n=k, где k – некоторое натуральное число, т.е.
. (1)Докажем, что тогда неравенство справедливо и при n=k+1, т.е.
.Действительно,
не меньше 2 при любом натуральном k. Прибавим к левой части неравенства (1) , а к правой 2. Получим справедливое неравенство 
, или . Утверждение доказано.Пример 3. Доказать, что
, где 
>-1, 
, n – натуральное число, большее 1.Решение.
При n=2 неравенство справедливо, так как
.Пусть неравенство справедливо при n=k, где k – некоторое натуральное число, т.е.
. (1)Покажем, что тогда неравенство справедливо и при n=k+1, т.е.
. (2)Действительно, по условию,
, поэтому справедливо неравенство 
, (3)полученное из неравенства (1) умножением каждой части его на
. Перепишем неравенство (3) так: 
.Отбросив в правой части последнего неравенства положительное слагаемое 
, получим справедливое неравенство (2).Пример 4. Доказать, что
(1)где
, 
, n – натуральное число, большее 1.Решение.
При n=2 неравенство (1) принимает вид
. (2)Так как
, то справедливо неравенство 
. (3)Прибавив к каждой части неравенства (3) по
, получим неравенство (2).Этим доказано, что при n=2 неравенство (1) справедливо.
Пусть неравенство (1) справедливо при n=k, где k – некоторое натуральное число, т.е.
. (4)Докажем, что тогда неравенство (1) должно быть справедливо и при n=k+1, т.е.
(5)Умножим обе части неравенства (4) на a+b. Так как, по условию,
, то получаем следующее справедливое неравенство: 
. (6)Для того чтобы доказать справедливость неравенства (5), достаточно показать, что
, (7)или, что то же самое,
. (8)Неравенство (8) равносильно неравенству
. (9)Если
, то 
, и в левой части неравенства (9) имеем произведение двух положительных чисел. Если , то , и в левой части неравенства (9) имеем произведение двух отрицательных чисел. В обоих случаях неравенство (9) справедливо.Этим доказано, что из справедливости неравенства (1) при n=k следует его справедливость при n=k+1.
Г)Метод математической индукции в применение к другим задачам.
Наиболее естественное применение метода математической индукции в геометрии, близкое к использованию этого метода в теории чисел и в алгебре, - это применение к решению геометрических задач на вычисление. Рассмотрим пример.
Пример . На сколько треугольников n-угольник (не обязательно выпуклый) может быть разбит своими непересекающимися диагоналями?
Решение.
Для треугольника это число равно единице (в треугольнике нельзя провести ни одной диагонали); для четырехугольника это число равно, очевидно, двум.
Предположим, что мы уже знаем, что каждый k-угольник, где k<n, разбивается непересекающимися диагоналями на k-2 треугольника (независимо от способа разбиения). Рассмотрим одно из разбиений n-угольника А1А2…Аn на треугольники.
 |
Аn  |
А1 А2
Пусть А1Аk – одна из диагоналей этого разбиения; она делит n-угольник А1А2…Аn на k-угольник A1A2…Akи (n-k+2)-угольник А1АkAk+1…An. В силу сделанного предположения, общее число треугольников разбиения будет равно
(k-2)+[(n-k+2)-2]=n-2;
тем самым наше утверждение доказано для всех n.