Методы обучения математике в 10 -11 класах

РОЗДІЛ 2

Використанняметодів навчанняпри вивченнідеяких змістовихліній курсуалгебри і початківаналізу. „Елементарніфункції”, “Похідната її застосування”

§1.ПОЯСНЮВАЛЬНО-ІЛЮСТРАТИВНИЙМЕТОД

Пояснювально-ілюстративнийметод можнавикористовуватина будь-якомууроці, а не лишепри поясненнінового, складного матеріалу. Цейметод сприяєрозвитку просторовогоуявлення ічерез наочністьпокращує розумінняматеріалу.Розглянемозастосуванняметоду прививченні понять “Парні та непарніфункції”.

Розглянемофункції, областьвизначенняяких симетричнавідносно початкукоординат.

Означення.Функція

називаєтьсяпарною, якщодля довільного

з її областівизначення

.

Вчитель пояснює,що для довільнихзначень х ,додатних чивід’ємних, знаксамої функціїне змінюється.

Означення.Функція

називаєтьсянепарною, якщодля довільного

з її областівизначення

.

Тобто для довільнихзначень х ,знак функціїзалежить відзнаку аргументу.

Д

лязакріпленнярозумінняпонять, на дошцімалюютьсявідповіднімалюнки, чидемонструютьсяготові намальованіна плакаті.

Мал. 1 Мал. 2

Після цьогонаводять прикладпарних та непарнихфункцій.

- парні – непарні.

Дійсно, областьвизначеннякожної з нихсиметричнавідносно початкукоординат, тавиконуютьсярівності: f(-x)= f(-x)²ⁿ= f(x)²ⁿ= f(x) – парність, та для g(-x)=g(-x)²ⁿ⁺¹=–g(x)²ⁿ⁺¹=–g(x) – непарність.

Г

рафікицих функційварто продемонструватина плакаті чинамалюватина дошці. Розглянемофункції у=х⁴та у=х³.

Мал. 3 Мал. 4

Після побудовиграфіків функційпотрібно акцентуватиувагу учнівна те, що віткиграфіка парноїфункції симетричнівідносно осіординат, а віткиграфіка непарноїфункції симетричнівідносно початкукоординат. Цеварто довестидо учнів яквластивостіпарної та непарноїфункції, щодопоможе їмпри побудовіграфіків.

При поясненнінового, дещоскладнішогоматеріалу вартокористуватисьнаочністю, ценайкраще відображаєсаму суть теми,всі процеси,пов’язані зутвореннямпевних понять.Розглянемовикористаннянаочності таілюстраційпри вивченнітеми “Похідната її застосування”при дослідженніфункцій наекстремуми.

Учні вже вивчилиі знають геометричнийзміст похідної,ознаки зростанняі спаданняфункції, томупросто вартопригадати цена початкуурока.

Геометричнийзміст похідної:Похідна функціїf(x)в точці х₀дорівнює тангенсукута нахилудотичної докривої з додатнимнапрямом осіОХ у точці забсцисою х₀.

Тому, коли f(x)0,то учням потрібнопояснити, що

- тангенс кутанахилу дотичноїдо кривої здодатнім напрямкомосі ОХ більшийнуля, тобто (0; ). Продемонструємоце на малюнку(мал. 5).
З малюнкувидно, що напроміжку а;bдотична можезаймати положення,при якому кут (0; ) і функція нацьому проміжкузростає.

Мал. 5 Мал. 6

Якщо ж f(x)0,то tg(

)0, (0;– ) , значить функціяспадає. Показуємоце на малюнку(мал. 6).

В першому випадкуфункція f(x)є зростаючоюна проміжку а; b,в другому - спадною.Потрібно спитатиучнів, а якимже чином ведесебе функція,коли f(x)при переходічерез деякуточку х₀ змінює свійзнак.

Це буває лишетоді, коли вточці х₀функція приймаєсвоє найбільшеабо найменшезначення. Якщопохідна змінюєсвій знак з “+”на “-” (спочаткуфункція зростала,а при переходічерез точку х₀ почаласпадати), тох₀- є точкоюмаксимуму,значення функціїв цій точці ємаксимумомфункції. Інакше,якщо при переходічерез точкух₀ похідназмінила свійзнак з “-” на“+”, то х₀ -є точкою мінімума,а значенняфункції в ційточці – мінімумомфункції. Ціточки називаютьекстремальнимиточками функції.

Внутрішні точкиобласті визначенняфункції, в якихїї похіднадорівнює нулюабо не існуєназиваютькритичнимиточками цієїфункції.

Формулюєтьсянеобхідна умоваекстремуму.

Якщо функція

у внутрішнійточці

проміжку

має екстремум,то в цій точці похідна

,якщо вона існує, дорівнює нулю f ^/(х₀)=0.

Доведемо методомвід супротивного.Нехай в точці

,яка є екстремальноюдля ,існує похідна і .Припустимо,що ,значить функція в точці зростає. Отже не є екстремальноюточкою. Якщо ,то функція в точці спадає. Отжеприйшли досуперечності.Тобто теоремудоведено.

А

лез того, що похіднафункції в точці рівна нулю, необов’язковослідує , що є точкою екстремуму.

Наприклад,похідна функції

рівна нулю вточці ,але функціяекстремумув цій точці немає.

Внутрішня точка

проміжку називаєтьсястаціонарноюточкою функції ,якщо в цій точці .

Розглянемокритичні точки,похідна в якихне існує. Наприкладточка 0 для функції

не є критичною,бо не внутрішняточка областівизначенняфункції.

Приклад. Розглянемофункцію

,ця функція немає похідноїв точці 0. Значитьточка 0 – критична,та ще й функціяв точці 0 маємінімальнезначення (0 - точкамінімуму). Далірозглядаютьсяознаки максимумуі мінімумуфункції.

§2. РЕПРОДУКТИВНИЙМЕТОД

Розглянемозастосуванняцього методупри вивченнітеми “Застосуванняпохідної додослідженняфункції”.

Так як репродуктивнийметод використовуютьнайчастішедля закріпленнявивченоготеоретичногоматеріалу, товчителю можнакористуватисяцим методом не лише позакінченнюпояснення новоїтеми, а навітьі після кожноїпорції викладеноїінформації.

Учням пояснюють,як досліджуєтьсядеяка функція,показують схемудослідження,а в кінці дослідженнябудують графік.Це робить вчительна дошці, досліджуючифункцію f₁(x), заносячи результатикожного крокудослідженнядо таблиці.

Потім учнямпропонуєтьсядослідити деякуфункцію самостійноі побудуватиїї графік. Учні,або один ученьбіля дошки,самостійно,або з допомогоювчителя, виконуютьтакі самі дослідженнядля функціїf₂(x), а данідослідженьзаносять дотієї ж таблиціна дошці, алев другий, порожнійстовпець.

	Властивістьфункції	=	=
1.	Областьвизначення Областьзначень	(-;-1)(-1;1)(1;) (-;)	(-;0)(0;) (-; )
2.	Парність	Непарна:f(-x)= – f(x)	Ні парна, ні непарна
3.	Періодичність	Неперіодична	Неперіодична
4.	Точки перетинуграфіка з віссю OX з віссю OY	(0;0) (0;0)	х = 2 нема
5.	Проміжки зростання: спадання:	(-; )( ;) (-1;0)(0;1)(1; )	(0;4) (-;0)(4;)
6.	Точки: максимуму мінімуму	,для х(-;-1) ,для х(1;)	х = 4 нема
7.			нема

Потім учнісамостійнобудують графікдругої функції(мал. 9*).

Після поясненнявчителем теоретичногоматеріалу інаведеннядекількохприкладівдослідженняфункції учнівже самі досліджуютьі будують графікифункцій.

Мал. 9 Мал. 9*

§3. ПРОБЛЕМНИЙВИКЛАД

При вивченнітеми “Застосуванняпохідної вфізиці та техніці”урок починаєтьсяз пригадуваннятого, яким чиномвизначаєтьсяшвидкість рухув курсі фізики.Розглянемовипадок, колиматеріальнаточка рухаєтьсяпо координатнійпрямій, і заданозакон руху цієїточки, тобтокоординатах цієї точкиє відома функція

часу .За момент часувід до переміщенняточки можемозаписати як = = ,а середня швидкістьруху точки .

При

значення середньоїшвидкостіпрямує до конкретногозначення, якеназиваютьмиттєвою швидкістю матеріальноїточки в моментчасу .Тобто при .

За означеннямпохідної

при .

Вважають, щомиттєва швидкість

визначенатільки длядиференційованоїфункції ,тому .

Скорочено цеговорять наступнимчином: похіднавід координатиза часом є швидкість.Це механічнийзміст похідної.Миттєва швидкістьможе прийматидовільні значення.

Аналогічнокажуть прозміну швидкості:похідна відшвидкості зачасом є прискорення.

.

Тепер розглядаютьсяприклади.

Приклад 1. Розглянемовільне падінняматеріальноїточки.

З фізики відомо,що при вертикальномупадінні рухтіла задається формулою

.Відшукаємошвидкістьпадіння точкив момент часу : .Відшукаємоприскоренняпадіння точки: ,прискоренняє величинапостійна.

Приклад 2.Нехайзалежністькоординатиточки, що рухаєтьсяпо прямій, відчасу вираженаформулою:

,де , -константи.Відшукаємошвидкість іприскоренняруху.

Швидкість рухубуде:

.

Так як нам відомашвидкість рухуяк функціячасу, то можемознайти прискоренняцього руху:

.Бачимо що а –константа, іпри а > 0 – це будеприскоренийрух, а при а

Приклад 3. СудноВ знаходитьсяна сході відсудна А на відстані
75 км і пливена захід зішвидкістю 12км/год. СудноА пливе на південьзі швидкістю4 км/год. Чи будев деякий моментчасу відстаньміж ними мінімальною?

Розв’язання

Перш за всенеобхіднонамалюватималюнок.

З

малюнку видно,що 2 судна В іА рухаютьсяперпендикулярноодин одному,тому відстаньміж ними можемозаписати, затеоремою Піфагора, .А відстані миможемо записатиза відомимишвидкостями: , .

Тому

.Ми отрималифункцію, якахарактеризуєзміну відстаніміж суднамив залежностівід часу. Дослідимоцю функцію намінімум.

Знайдемо похідну

.Відшукаємокритичні точки, проміжки зростаннята спаданняфункції на цихпроміжках тазнайдемо точкуекстремуму:

;

;

.

на проміжку(-; ), на проміжку( ;),тобто

t_m=

- точка мінімумуфункції l.

В момент часуt_m=

відстань міжсуднами будемінімальною.

В сильномукласі, для розширеннякругозоруучнів, та розширенняможливостейзастосуванняпохідної можнарозглянутизадачі геометричногота біологічноготипу, при вивченнітеми “Найбільшета найменшезначення функції”.

Приклад 1. Длябудівництвабудинку прямокутноїформи зображеногона плані темнимпрямокутникомз площею

м² відведеноділянку прямокутноїформи, межіякої повиннізнаходитисьвід будинкуна відстані36 і 16 метрів. Якірозміри потрібнонадати будинку,щоб площа ділянкиABCD була найменшою?

Розв’язання

П

означиморозміри будинкучерез і .
Площабудинку 400 м²,тобто м².

Враховуючивідстані відбудинку до межіотримаємодовжини меж:AD=

і AB= м.

Запишемо площуділянки якфункцію стороних:

(х)= .

Для знаходженнямінімальноїплощі ділянкискористаємосявластивістюпохідної длядослідженняцільової функціїна мінімум.

.Прирівняємодо нуля і отримаємозначення: . Беремододатне значеннязмінної х, - бо сторона.

Дослідимо знакпохідної на проміжках:

Похідна змінюєзнак з “–“ на“+”, тобто

буде точкоюмінімуму. Азначення функціїв цій точці .

Відповідь:

, .

Приклад 2. Швидкістьзростанняпопуляції xзадана формулоюy=0,001x(100-x) (час t вираженов днях). При якійчисельностіпопуляції цяшвидкістьмаксимальна? Скільки особинповинна міститирівноважнапопуляція, щобшвидкістьзростання їїспала до нуля?

Розв’язання

В цьому прикладі y – це функція,яку необхіднодослідити намаксимум. Томузнайдемо першупохідну: y=0,1-0,002x.Знайдемо критичніточки, прирівнявшиїї до нуля: x=50. Цяточка є точкоюмаксимумуфункції. Тобтопри чисельності50 особин, швидкістьзростанняпопуляції будемаксимальною.

Тепер необхідноперевірити,чи є таке числоособин, приякому швидкістьзростанняпопуляціїспадає до нуля.Прирівнюємошвидкість донуля 0,001x(100-x)=0, і отримаємозначення шуканоїчисельностіх=0 або х=100, нульвідкидаємо,бо не задовольняєумову. Тому причисельностів 100 особин, швидкістьзростанняпопуляції будерівна нулю.

§4. ЧАСТКОВО-ПОШУКОВИЙМЕТОД

Цей метод вимагаємайже самостійноїроботи учнів,а вчитель лишеспрямовуємислення учнівдо певних висновків.

Цим методомкраще користуватись,коли необхіднозакріпитипройденийматеріал чипевну тему, абодля перевіркипідготовленостіучнів до вивченняпевної теми.

Розглянемовикористанняметоду на прикладівивченняперіодичностіфункції.

Варто наступнимчином розпочатиурок.

Вчитель повиненпоказати, якіпроцеси існуютьв математицічи фізиці і яквони можутьповторюватись.Це може бутиобертанняМісяця навколоЗемлі, коливаннямаятника вгодиннику, повтореннязначень функціїчерез певнийкрок та інше.

С

початкуможна намалюватисхематичнографік і показатиучням, що черезпевний крокзначення функціїє однаковими,і немає значенняв якому напрямкуми будемо рухатисьпо осі OX.

П

отімможна намалюватиучням графіквже відомоїїм функції .

Учні помічають,що значенняфункції повторюютьсячерез 2П.

Вчитель звертаєувагу на те, щофункція маєте саме значенняі в точці

,і в точці ,і в точці , , і мінімальнечисло, яке додаєтьсядо значенняаргументу,називаєтьсяперіодом, позначаютьйого буквоюТ.

Учні повинніспробувативже сформулюватиозначенняперіодичноїфункції, хочавчитель можедопомагати.

Означення.Функція

називаєтьсяперіодичноюз періодом Т ,якщо для довільного з області визначеннязначення функціїв точках x, x+Т, x-Т рівні. Тобто .

Потім переходятьдо розв’язуванняприкладів.

§5. ДОСЛІДНИЦЬКИЙМЕТОД

Цим методомкористуютьсявже на певномуетапі навчанняучнів, колиучні вже здатнілогічно мислити,робити самостійнівисновки. Такожце корисно длярозвитку логічногомислення.Користуванняцим методомпокращуєпрацездатністьучнів і викликаєв них зацікавленість,розвиваєсамостійністьв дослідженніпевних закономірностейчи властивостейпевних об’єктів.

Розглянемоцей метод наприкладі дослідженняфункції звикористаннямпохідної.

Приклад1. Дослідитифункцію і побудуватиїї графік:

.

Розв’язування

1) Область визначенняфункції - множинадійсних чисел,бо функція ємногочленом.

2) Функція не єні парною нінепарною, бо

і область визначенняфункції симетричнавідносно початкукоординат.

3) Має точку перетинуз віссю

:при ,тобто точказ координатами .

4) Має точки перетинуз віссю

:
;
;
або .Тобто точкиз координатами , .

5) Знаходимомаксимуми імінімуми функції.

Знайдемо критичніточки. Для цьогознайдемо першупохідну функції:

.

Прирівнявшипохідну до нуля отримаємо трикритичні точки:
х= -1, х= 0, х= 1.

Знайдемо середних точки максимумуі мінімуму.

При переходічерез точкух= -1 похідна змінюєзнак з “+” на“-” – точкамаксимума, апри переходічерез точкух=1, похідна змінюєзнак з “-” на“+” – точка мінімума.А при переходічерез точкух=0 – не міняєзнаку.

6) Дослідимофункцію наточки перегину:

.

;

;

або - отримали точкипідозрілі наточки перегину.

Учні складаютьтаблицю:

X	(- ;-1)	-1	(-1;0)	0	(0;1)	1	(1; )
	+	0	–	0	–	0	+
	Зростає	2	спадає	0	спадає	-2	зростає
		MAX				MIN

З

таблиці видно,що функція маємаксимум вточці і мінімум вточці .

Будуємо самграфік використовуючиотримані даніз таблиці. Спочаткуучні відмічаютьна графікуточки максимумуі мінімуму,точки перетинуз осями, а потімбудують графікданої функції.

Приклад2.Заданим рівняннямруху авто

знайти його швидкість (приt = 2 сек.) ; моментчасу, коли автопочало рухатись в зворотномунапрямку та відстань, наяку воно відійшловід деякогопункту (початокруху) до розвороту.

Розв’язання

Бажано спочаткунамалюватиграфік рухуавто, це спроститьрозв’язуваннязадачі, та дастьможливістьзрозуміти, якимчином рухалосьавто.

З умови задачівидно, що

.

Знаходимо точкиперетину графікафункції

з віссю ОХ: t³- 4t = 0;
t = 0, t = ± 2. (t = -2 не розглядаємо,бо час t >0).

Знаходимо точкиекстремумуфункції:

; 3t ² – 4 = 0; t = .

Значення

- не задовольняєумові .Перевіримояк змінює знакпохідна припереході черезточку .

При переходічерез цю точку,похідна змінюєсвій знак з “–” на “+”, тобтоце точка мінімуму.

М

алюємомалюнок.

З малюнку видно,що в моментчасу t =

авто знаходилосьна максимальнійвідстані віддеякого пункту(хоч і рухалосяв зворотномунапрямку).

Тому в моментчасу t =

авто змінилонапрям руху.

Відстань в цеймомент була:

= .

(стоїть модуль,бо відстаньповинна бутидодатна).

Похідна відвідстані цеє швидкість,яку ми вже знайшли:

,тому через 2секунди післяпочатку рухуавто мало швидкість м/с.

§6 . МЕТОД ДОЦІЛЬНИХЗАДАЧ

В багатьохвипадках , впевних темахцей методзастосовуєтьсяне дуже часто,але при продовженнідеякої теми,чи при вивченнітеми з розв’язанняпрактичнихзадач кращескористатисяним, тоді в учнівпри вивченнітеми буде повнішерозуміннявивченогоматеріалу. Яквже було вищесказано, сутьметоду в тому,що розгляднової темирозпочинаєтьсяз наведеннядеяких прикладів,що можуть допомогтиучням кращеорієнтуватисяв тому, про щойде мова в данійтемі, або протягомуроку посилатисяна деякі з них.

Розглянемойого використанняна прикладівивчення теми“Функції таїх графіки”.

Вчитель напочатку уроку,але вже післяозначенняпоняття функції,може наводитиприклади, будуватиз учнями графіки,а потім на основіграфіків вивестипевні закономірностіїх побудовиі запропонуватиучням використовуватиці закономірностіпри подальшомурозв’язуванніприкладів.

П

обудуємографіки такихелементарнихфункцій:

Мал. 16 Мал.17 Мал.18

Учні помічають,що другий графік(Мал. 17.) зсунутийна 2 одиницівправо, а в формулістоїть знакмінус передцією цифрою.Третій графік(Мал. 18.) відрізняєтьсявід другоготим, що не тількизсунутий поосі OX, а йпо осі OY –на 1, але тут вжеспостерігаєтьсявідповідністьзнаку.

Після розгляданняцих прикладівучні можутьсформулюватиосновні правилапобудови графіківне тільки степеневихфункцій, а іграфіків довільнихфункцій.

Запишемо загальнийвигляд функції:

( , ).

Для побудовиграфіку довільноїстепеневоїфункції необхідно:

1. побудуватиграфік функції

   ;

2. зсунути йогона a значеньвліво (напрямокобирають протилежнодо знаку a), при

   - вліво, при
   - вправо;

3. зсунути на bзначень вгору(відповідністьзі знаком), при

   - вгору, при
   - вниз;

4. стиснути в kразів до осі

   .(кожне значенняфункції стаєв k разбільше).

Доцільно післяцього датиучням побудуватиграфік деякоїфункції заточками., а коливони його побудують,то показатипростішийспосіб побудовиграфіка, задопомогоюзміщення деякоговідомого графікупо осям координатта стисненняйого в

разів.

Так само і длятригонометричнихфункцій. Тригонометричніфункції викликаютьв учнів більшийінтерес припобудові, особливопри розгляданнідодавання тамноження графіків.

§7. АБСТРАКТНО-ДЕДУКТИВНИЙІ КОНКРЕТНО-ІНДУКТИВНИЙМЕТОДИ

Конкретно-індуктивнийметод є природнимрозширеннямі удосконаленнямметоду доцільнихзадач. За словамиК.Ф.Лебединцева,цей метод кращепідходить длязастосуванняв шкільномунавчанні. Методчимось нагадуєпроблемнийвиклад - вчительпропонуючирозв’язатипевний приклад,ставить передкласом невеликупроблемнуситуацію, арозв’язуючицей прикладробить висновокчи дає означення.

При використанніабстрактно-дедуктивногометоду, вчительповідомляєтему уроку, даєозначення,формулює теореми,а вже післявикладу теоріїпереходитьдо практичнихзавдань. Учніпочинаютьрозв’язуватиприклади, доводититвердженняна основі вивченихозначень чивластивостейпевних об’єктів,тим самим засвоюючиновий матеріал.

Розглянемозастосуванняабстрактно-дедуктивногометоду на прикладівивчення теми:“Застосуванняпохідної додослідженняфункцій”.

Вивчення починаєтьсяз пригадуваннягеометричногозмісту похідної, лише потімможна перейтидо вивченнянової теми.

Геометричнийзміст: Похіднафункції f(x)в точці х₀дорівнює тангенсукута нахилудотичної докривої з додатнимнапрямом осіОХ у точці забсцисою х₀.

Тангенс кутанахилу дотичноїназиваютькутовим коефіцієнтом

Функція можезростати чиспадати надеякому проміжку(можна намалюватималюнок).

Означення.Функція f(x) –називаєтьсязростаючоюна проміжку

,якщо для довільногоx(а; b) , щоx₁ x₂ виконується нерівність
f (x₁) f (x₂).

Означення.Функція f(x) –називаєтьсяспадною напроміжку 

,якщо для довільногоx(а; b) , щоx₁ x₂ виконується нерівність
f (x₁) f (x₂).

Далі в звичайнихкласах формулюютьсяознаки зростаннята спаданняфункції. Придоведенні ознаквикористовуєтьсяформула Лагранжа,тому в класахз поглибленимвивченнямматематикиможна спочаткудовести теоремуЛагранжа.

Теорема Лагранжа.Якщо функціяf(x) неперервнаі диференційовнана а;b, та існуєточка с(а,b), то f(а)-f(b)=f ^/(с)(b-а).

Доведення

Р

озглянемофункцію f(x) щовизначена напроміжку а,b тавізьмемо точку с, що с(а,b).

Дотична дографіка функції f (x) утворює кут з додатнімнапрямком осіОХ.

Кут  -подібний кутуВАD.

ΔВАD – прямокутний,тому

=tg()=f^/(x).

Так як ВD=f(b)-f(а),а АD=b-а,тому
f ^/(c)=

- формула Лагранжа.

Далі розглядаютьсяознаки зростаннята спаданняфункції.

Ознака зростанняфункції:

Якщо функція f(x) неперервнаі диференційовнав кожній точціінтервалу (x₁;x₂) і f ^/(x) 0 на цьому інтервалі,то функціязростає.

Ознака спаданняфункції:

Якщо функція f(x) неперервнаі диференційовнав кожній точціінтервалу (x₁;x₂) і f ^/(x) 0 на цьому інтервалі,то функціяспадає.

Доведення цихознак можнапровести вкласах з математичнимнахилом.

При доведеннівикористовуєтьсятеорема Лагранжа.

Розв’язуєтьсяприклад.

Приклад.

Як веде себефункція f(x)=x²-8x+12 на проміжках(-; 4)(4;+).

Д

ослідження. Знайдемо похідну,критичні точкита дослідимофункцію накожному з отриманихпроміжків: f^/(x)=2x-8; тобтоx=4 і це є критичнаточка. На проміжку(-; 4) похіднамає від’ємнийзнак, тому функціяспадає, а напроміжку (4; +)похідна маєдодатній знак,тому функціяна цьому проміжкузростає.

Ми отрималиточку х=4, переходячичерез яку похідназмінює знак, тобто в ційточці дотичнапаралельнаосі ОХ, а це можебути лише внайвищій абов найнижчійточці. Такуточку називаютьточкою екстремуму.Похідна функціїв цій точцідорівнює нулю,тобто кутовийкоефіцієнтрівний нулю.

Точки максимумівта мінімумівфункції називають– екстремальнимиточками.

Означення.Внутрішні точкиобласті визначенняфункції в якихпохідна рівнанулю або неіснує – називаютьсякритичнимиточками.

ФормулюєтьсяН еобхіднаумова існуванняекстремумуфункції в точці.(Терема Ферма)

Якщо функція f(x) - неперервнаі диференційовнана (а, b) і в точціx₀ має екстремум,то похіднафункції в ційточці рівнанулю.

Переходимодо розв’язуванняприкладів.

Дослідити наекстремумифункцію:

1. f(x)=2х³-9х²+12х-8.

f ^/(x)=6х²-18х+12;

f ^/(x)=0;

6х²-18х+12=0;

х²-3х+12=0;

х₁=1; х₂=2.

Н

аносимокритичні точкина координатнувісь і перевіряємознак на кожномуз отриманихпроміжків.

f ^/(1)=-3; - максимумфункції

f ^/(2)=-4. – мінімумфункції.

§8. ПРОГРАМОВАНЕНАВЧАННЯ

Програмованенавчаннявикористовуєтьсядуже часто,особливо цейметод використовуютьдля написаннясамостійнихробот, контрольних,під час складанняіспитів. Використовуютьдля контролюзнань і інодідля проведенняуроків, щобпідвищити увагута зацікавленістьучнів, коливчитель спеціальнозаготовлюєпрограмованізавдання дотієї теми, якуважче розуміютьучні. Такимчином цей методможе покращуватирівень знаньучнів.

Розглянемодеякі прикладизавдань, щовикористовуютьсяна вступнихіспитах, нашкільномувипускномуіспиті, та наконтрольнихроботах.

Визначитипарність (непарність)функції:

1)

а) парна, б) непарна, в) інша відповідь.

(вірно – парна,бо

-парна функція, -парна ).

2)

а) парна, б) непарна,в) інша відповідь.

(вірно – іншавідповідь, босинус непарнафункція, а косинус- парна).

Знайти областьвизначенняфункції:

1)

;

а)

, б) ,в) інша відповідь.

Розв’язання.ОДЗ:

.
,
,
.Розглянемоотримані проміжки,і виберемо зних ті, що задовольняютьОДЗ. Тобто .

(вірно -

).

2)

;

а)

,б) ,в) інша відповідь.

Розв’язання.Підлогарифмічнийвираз завждидодатній, азнаменник нерівний нулю.

,

,

Нанесемо значення

на числовувісь, і відшукаємопроміжки, якізадовольняютьнашим умовам.Нас задовольняютьлише значення .

(вірно -

).

Який з данихграфіків відповідаєфункції:

1)

?

Вірна відповідьб). В цьому прикладівикористовуєтьсязнання формулзведення, томуучні повинніпобачити, згадатиі оцінити: чверть– перша, знак– додатній,функція – змінюєназву, томуграфіком будекосинус.

2)

.

Вірнавідповідь –а), бо за властивістюлогарифма,підлогарифмічнийвираз не можебути від’ємний,а в б) – ця умовапорушується,або видно ззапису функції,що графік повиненбути зсунутийна одиницювправо по осіОХ – це першийграфік.

Знайти найменшезначення функції:

;
а)0; б) ; в) інша відповідь.

Розв’язання.Оскільки функція

приймає найменшезначення ,то загальнезначення даноїфункції буде ,тобто варіантвідповіді –інша відповідь.

Знайтинайбільшезначення функції:

;

а)–2; б) 2; в) іншавідповідь.

Розв’язання.Найбільшезначення самоїфункції

це 1, а тому враховуючимножник передфункцією, вінвід’ємний,виходить, щонайбільшезначення будепри найменшомузначенні ,тобто максимумдорівнює 2.

Знайтиобласть значеньфункції:

;

а)

; б) ;в) інша відповідь.

Розв’язання.Оскільки функція

має значення,що містятьсяв проміжку-1;1, то враховуючимножник це буде проміжок ,та ще всі значеннябудуть збільшеніна 1, тобто вкінцевомурезультатіотримаємопроміжок - вірна відповідьа).

Висновки

В дипломнійроботі булорозглянутометоди навчанняматематикивикладені упідручникуМетодика навчанняматематикиЗ.І.Слєпкань.А саме: пояснювально-ілюстративний, репродуктивний,проблемнийвиклад, частково-пошуковий,дослідницький,метод доцільнихзадач, абстрактно-дедуктивнийі конкретно-індуктивний,програмованенавчання. Деякіз цих методівдоцільно булоб використатив молодшихкласах, іншів старших, деякікраще використовуютьсяв дослідах чиекспериментальнихнауках.

В першому розділібуло розкритозміст кожногоз методів навчанняматематики.Були розглянутілише найпоширенішіметоди навчання.Було розглянутопрограмованенавчання, щовідноситьсядо самостійноїроботи учнів,але теж є методомзакріпленняматематичнихзнань.

В другому розділірозглянутота поясненовикористанняметодів навчаннядля поясненнята закріпленнянового матеріалув 10-11 класах прививченні темзмістових лінійкурсу “Елементарніфункції”, “Похідната її застосування”.Кожен з методівнавчання ілюструєтьсявідповіднимпрактичнимвикладом частиниуроку на конкретнутему.

Додаток

Розробка урокуна тему: “Застосуванняпохідної додослідженняфункцій”

Вивчення починаєтьсяз пригадуваннягеометричногозмісту похідної, лише потімможна перейтидо вивченнянової теми.

Учень:

Геометричнийзміст: Похіднафункції f(x)в точці х₀дорівнює тангенсукута нахилудотичної докривої з додатнимнапрямом осіОХ у точці забсцисою х₀.

Тангенс кутанахилу дотичноїназиваютькутовим коефіцієнтом

Функція можезростати абоспадати надеякому проміжку(можна намалюватималюнок).

Вчитель:

Означення.Функція f(x) –називаєтьсязростаючоюна проміжку

,якщо для довільногоx(а; b) , щоx₁ x₂ виконується нерівність
f (x₁) f (x₂).

Означення.Функція f(x) –називаєтьсяспадною напроміжку 

,якщо для довільногоx(а; b) , щоx₁ x₂ виконується нерівність
f (x₁) f (x₂).

Далі в звичайнихкласах формулюютьсяознаки зростаннята спаданняфункції. Придоведенні ознаквикористовуєтьсяформула Лагранжа,тому в класахз поглибленимвивченнямматематикиможна спочаткудовести теоремуЛагранжа.

Теорема Лагранжа.Якщо функціяf(x) неперервнаі диференційовнана а;b, та існуєточка с(а,b), то f(а)-f(b)=f ^/(с)(b-а).

Доведення

Р

озглянемофункцію f(x) щовизначена напроміжку а,b тавізьмемо точку с, що с(а,b).

Дотична дографіка функції f (x) утворює кут з додатнімнапрямком осіОХ.

Кут  -подібний кутуВАD.

ΔВАD – прямокутний,тому

=tg()=f^/(x).

Так як ВD=f(b)-f(а),а АD=b-а,тому
f ^/(c)=

- отрималиформулу Лагранжа.

Вчитель: Якимже чином зазаданою функцієюми можемо визначитизростає воначи спадає вданому інтервалі?Розглянемоознаки зростаннята спаданняфункції.

Ознака зростанняфункції:

Якщо функція f(x) неперервнаі диференційовнав кожній точціінтервалу (x₁;x₂) і f ^/(x) 0 на цьому інтервалі,то функціязростає ніцьому інтервалі.

Ознака спаданняфункції:

Якщо функція f(x) неперервнаі диференційовнав кожній точціінтервалу (x₁;x₂) і f ^/(x) 0 на цьому інтервалі,то функціяспадає на цьомуінтервалі.

(Доведення цихознак можнапровести вкласах з математичнимнахилом. Придоведеннівикористовуєтьсятеорема Лагранжа)

Вчитель: Длязакріпленнярозв’яжемоприклад.

Приклад.

Як веде себефункція f(x)=x²-8x+12 на проміжках(-; 4)(4;+).

Д

ослідження. Знайдемо похідну,критичні точкита дослідимофункцію накожному з отриманихпроміжків: f^/(x)=2x-8; тобтоx=4 і це є критичнаточка. На проміжку(-; 4) похіднамає від’ємнийзнак, тому функціяспадає, а напроміжку (4; +)похідна маєдодатній знак,тому функціяна цьому проміжкузростає.

Ми отрималиточку х=4, переходячичерез яку похідназмінює знак, тобто в ційточці дотичнапаралельнаосі ОХ, а це можебути лише внайвищій абов найнижчійточці. Такуточку називаютьточкою екстремуму.Похідна функціїв цій точцідорівнює нулю,тобто кутовийкоефіцієнтрівний нулю.

Точки максимумівта мінімумівфункції називають– екстремальнимиточками.

Означення.Внутрішні точкиобласті визначенняфункції в якихпохідна рівнанулю або неіснує – називаютьсякритичнимиточками.

Вчитель: Виникаєпитання, а щонеобхідно длятого, щоб існувавекстремумфункції в данійточці ?

Вчитель: Сформулюємота доведемоНеобхідну умовуіснуванняекстремумуфункції в точці.(Терема Ферма)

Якщо функція f(x) - неперервнаі диференційовнана (а, b) і в точці
x₀(а,b) має екстремум,то похіднафункції в ційточці рівнанулю
f ^/(x)=0.

Доведення

Так як функціядиференційовнав кожній точці (а, b), то на цьомуінтервалі існуєпохідна. Якщона (а, х₀) похіднаf ^/(x)0 – функціязростає, а на(х₀, b) похіднаf ^/(x)0 – функціяспадає (або на(а, х₀) – функціяf(x) спадає, а на(х₀,b) – функціяf(x) зростає), значить в точціх₀ – функціямає конкретнезначення максимумуабо мінімуму, тому похіднарівна нулю f^/(x) = 0.

Вчитель: Переходимодо розв’язуванняприкладів.

Дослідитина екстремумифункцію:

f(x)=2х³-9х²+12х-8.

Знайдемо похіднуфункції:

f ^/(x)=6х²-18х+12;

f ^/(x)=0;

Відшукаємокритичні точки:

6х²-18х+12=0;

х²-3х+12=0;

Критичні точки:

х₁=1; х₂=2.

Н

аносимокритичні точкина координатнувісь і перевіряємознак на кожномуз отриманихпроміжків.

f ^/(1)=-3; - максимумфункції

f ^/(2)=-4. – мінімумфункції.

Тепер викликаюучня до дошки.

Дослідити наекстремумифункцію: f(x)=х²+2х-2.

Учень:

Знайдемо похіднуфункції:

.

Прирівняємодо нуля і відшукаємокритичні точки:

;
- критична точка.

Нанесемо точкуна координатнувісь і перевіримознаки на отриманихінтервалах

та .На інтервалі похідна приймаєвід’ємні значення,а на інтервалі - додатні, тобтоточка - є точкою мінімуму.І значенняфункції в нійдорівнює .

Даємо домашнєзавдання.

Знайти проміжкизростання іспадання наступнихфункцій

1. f (х) = 2х³-9х²+12х-15,

2.

,

3.

,

4.

,

5.

.

При поясненніданої теми науроці використовувавсяцілий ряд методівнавчання: основнимиметодами поясненнянового матеріалуна уроці булипояснювально-ілюстративний(коли необхіднобуло графічнопояснюватипроцеси спаданняі зростанняфункцій) іабстрактно-дедуктивнийметод (доведенняознак і теорем).Також використовувавсярепродуктивнийметод (учнямпропонуютьдоводити певніознаки аботеореми самостійно).Для кращогота дохідливогопоясненнянового матеріалуна уроках кращевикористовуватидекілька методів,це сприяє непросто розуміннюматеріала, аі кращомузапам’ятовуваннюза рахунокактивізаціїдекількоханалізаторів:слуху, зору тапідтриманняпостійногоконтакту зучнями під часуроку.

ЛІТЕРАТУРА

1. Махмутов М. Й.Проблемноєобучение. -М.:Педагогика,1975. – 240 с.

2. Методи обученияматематике/ Под ред. А. А.Столяра. –Минск.:Висш. шк.,1981. – 398 с.

3. Г.П.Бевз. Методикавикладанняматематики.3-видання. -К.: Вищашкола, 1989. – 352 с.

4. Н.В.Богомолов.Практическиезанятия поматематике.– 3- е издание. -М.: Высшаяшкола , 1990. –495 с.

5. Методика викладанняматематикив середнійшколі: Навч.посібник дляпед. інститутів за спец. 2104 “Математика”і 2105 “Фізика”:Пер. з рос. /О.Я.Блох,Є.С.Канін, Н.Г.Килината ін.;Упоряд. Р.С.Черкасов,А.А.Столяр. –Х.: Видавництво“Основа”. 1992. –304 с.

6. Г.М.Литвиненко,Л.Я.Федченко,В.О.Швець. Збірникзадач для екзаменуз математикина атестат просередню освіту:Частина І. –Львів.:ВНТЛ, 1997.-93 с.

7. З.І.Слєпкань.Методика навчанняматематики:Підруч. длястуд. мат. Спеціальностейпед. навч.Закладів.-Київ.:Зодіак-ЕКО,2000.-512 с.

8. Л.О.Соколенко.Прикладнаспрямованістьшкільногокурсу алгебриі початківаналізу: Навчальнийпосібник. -Чернігів:Сіверянськадумка, 2002.- 128 с.

9. М.И.Каченовский.Математикадля техникумов.Алгебра и началаанализа: Учебник.– М.: Наука. Гл.ред. физ.-мат.лит., 1987.– 464 с.

10. М.І.Шкіль, З.І.Слепкань,О.С.Дубинчук.Алгебра і початкианалізу
    10-11 кл.– Київ.: Зодіак-ЕКО,1998. – 608 с.

11. Колягин Ю.М. идр.. Методикапреподаванияматематикив средней школе:Общая методика / Колягин Ю.М.,Оганесян В.А.,
    СаннинскийВ.Я., ЛуканкинГ.Л. М.: Просвещение,1975. – 320 с.

12. Репьев В.В. Общаяметодикапреподаванияматематики.М.: УПГ, 1958. – 306 с.

13. Лоповок Л.М.Збірник задачдля 9-10 класів.:Дидактичніматеріали длявчителів. –К.: Рад. шк., 1984. – 120с.

14. Дубинчук О.С.,Слепкань З.И.Преподаваниематематикив средних ПТУ(1-й год обучения).– К.: Вища школа.Голов. изд-во,1985.
    – 112с.

15. Алгебра і початкианалізу. Підручникдля 10-11 класівсеред. шк./А.М.Колмогоров,О.М.Абрамов,Ю.П.Дудніцинта ін.; за ред.А.М.Колмогорова.– К.: Освіта, 1992.– 350 с.

16. Башмаков М.И.Алгебра и началаанализа: Учеб.для 10-11 кл. сред.шк. – 2-е изд. – М.:Просвещение,1992. – 350 с.

17. Груденов Я.И.Совершенствованиеметодики работыучителя математики:Кн. для учителя.– М.: Просвещение,1990. – 228 с.

53

ЗМІСТ

Вступ…………………………………………………..………….............	3
Розділ 1. Методинавчанняматематики,їх суть таможливостівикористанняу навчальномупроцесі, зокремапри поясненнінового матеріалу
§1. Проблемаметодів навчання.Існуючі методинавчанняматематики..........................................................................................	5
§2. Суть та можливостівикористанняметодів навчанняу навчальномупроцесі.................…………………………………....	7
§2.1Пояснювально-ілюстративнийметод.......................................	7
§2.2Репродуктивнийметод..............................................................	8
§2.3 Проблемнийвиклад....................................................................	8
§2.4 Частково-пошуковийметод…....……………………………....	11
§2.5 Дослідницький метод...............…………………............….....	11
§2.6 Метод доцільнихзадач……………………………………......	12
§2.7 Абстрактно-дедуктивнийта конкретно-індуктивнийметоди	13
§2.8 Програмованенавчання……………………………………....	18
Розділ2. Використанняметодів навчанняпри вивченнізмістовихліній курсуалгебри і початківаналізу. „Елементарніфункції”, “Похідната її застосування”
§1.Пояснювально-ілюстративнийметод.........................................	22
§2.Репродуктивнийметод........................................................…......	26
§3. Проблемнийвиклад.......................................................................	28
§4. Частково-пошуковийметод…......……………………………....	32
§5. Дослідницькийметод..................…………………............….....	33
§6. Метод доцільнихзадач…………………………………….......	36
§7. Абстрактно-дедуктивнийта конкретно-індуктивнийметоди..	38
§8. Програмованенавчання…………………………………….....	42
Висновки………………………………………………………………..... Додаток......................................................................................................	46 47
Література..................................................................................................	52

Вступ

Одним з центральнихмісць в дидактиці(загальнійтеорії навчання)і в методицівикладанняматематики(конкретнійтеорії навчання,де враховуєтьсяспецифікаматематикияк навчальногопредмету) займаютьметоди навчання.Володіння цимиметодами необхіднедля організаціїефективногонавчання школярів.

Як навчальнийпредмет «математика»має особливіриси, які притаманнітільки їй. Головноюз них є високийступінь узагальненостіпонять, щовивчаються.Ця риса виявляєтьсябуквальновідразу, припершому ж знайомствіз математикоюна уроках. Осьтому в процесінавчання необхідновикористовуватирізні методи,які відображаютьцю особливість,і при формуванніматематичнихпонять, і признайомствіз задачами, щовиникають привикористанніцих понять впрактичнійі навчальнійдіяльності.Істотно відмітити,що зазначеніметоди сприяютьрозвитку мисленняшколярів, підвищуютьїх загальнукультуру, викликаютьінтерес доматематики,а не відлякуютьучнів.

Мета даноїроботи – з’ясуватисуть основнихметодів навчанняматематики,а саме: пояснювально-ілюстративногометоду, репродуктивного,проблемноговикладу, частково-пошуковогометоду, дослідницького,методу доцільнихзадач, абстрактно-дедуктивногота конкретно-індуктивного,програмованогонавчання.Продемонструватиїх використанняпри поясненніта закріпленнінового матеріалуна уроках алгебрив 10-11 класах.

В першому розділірозглядається теоретичнийматеріал: основніметоди навчання,їх класифікаціята розкриваєтьсязміст кожногометоду.

В другому розділінаводитьсяпрактичнезастосуванняметодів навчання.Пояснюєтьсявикористаннякожного з методівна прикладірозглядуваних фрагментівуроків по темахзмістових лінійкурсу “Елементарніфункції”, “Похідната її застосування”

Завданнямиданої роботиє: висвітлитиіснуючі танайбільш поширеніметоди навчанняматематиці;показати майбутнімвчителям підходищодо покращеннявикладанняматематикив 10-11 класах,використовуючиметоди навчанняматематикиописані в данійроботі, як окремотак і в сукупностіза допомогоюрозглянутихфрагментівуроків.

РОЗДІЛ І

Методи навчанняматематики,їх суть та можливостівикористанняв навчальномупроцесі, зокремапри поясненнінового матеріалу

§1. ПРОБЛЕМАМЕТОДІВ НАВЧАННЯ.ІСНУЮЧІ МЕТОДИНАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ

Проблема методівнавчання формулюєтьсякоротко задопомогоюпитання, якучити?

Длярозв'язанняпитання проте, як учитичому-небудьучнів, треба,по-перше, з'ясувати,для чого потрібноце вивчати, якізнання, вмінняі навички сліднабути учнямвнаслідок цьоговивчення; по-друге,треба провестилогіко-дидактичнийаналіз того,що вивчається,тобто виявитиструктуру таінші особливостізмісту навчання,його викладу шкільномупідручнику;по-третє, требазнайти об'єктнавчання, тобторівень розумовоїдіяльностіучнів, які вонимають знання,уміння і навички,на які можнаспиратися внавчанні їхданому змісту5.

Тільки принаявностідостатньоїінформаціїз питань, длячого? чому? ікого?, ми можемоуспішно розв'язатиі питання, як?,тобто питанняпро вибір методівнавчання, якінайкращевідповідаютьцілям, змістунавчання ірівню розумовоїдіяльностіі знань учнів.

Постановкапроблеми відображенняметодів наукив навчанніцілком виправдана.По-перше, цілінавчання включаютьзасвоєння нелише визначеноїсукупностінаукових фактів,а й методівдобування цихфактів, яківикористовуютьсяв самій науці.По-друге, методинаукових досліджень— це методидобування новихзнань в навчальній(пізнавальній)діяльності.Тому цілкомприродно, щобметоди навчаннявідображалиметоди пізнання.

Система методівнавчання математикискладаєтьсяіз загальнихметодів, розробленихдидактикою,адаптованихдо навчанняматематики,та із спеціальних(часткових)методів навчанняматематики,що відображаютьосновні методипізнання, яківикористовуютьсяв математиці.

Одно із завдань,поставленихперед народноюосвітою, полягаєв тому, щоб привестисамі методинавчання увідповідністьз вимогою життя.

Далі розглянемодеякі основніметоди навчання,що найчастішевикористовуютьсяпри поясненніта закріпленнінового матеріалу.

Слово “Метод”грецькогопоходженняі в перекладіозначає шляхдослідження,спосіб пізнання7.

Під методомнавчання вдидактицірозуміютьспособи навчальноїроботи вчителяі організаціїнавчально-пізнавальноїдіяльностіучнів з розв’язуваннярізних дидактичнихзадач, спрямованихна оволодінняматеріалом,що вивчається.

У педагогіцііснує різнакласифікаціяметодів навчаннязалежно відвибору основикласифікації,а саме: за джереломздобуваннязнань (словесні,наочні, практичні),за способамиорганізаціїнавчальноїдіяльностіучнів (методиздобуваннянових знань,методи формуванняумінь та навичокі застосуваннязнань на практиці,методи перевіркий оцінюваннязнань, уміньта навичок), захарактеромнавчальнопізнавальноїдіяльностіучнів (І.Я.Лернері М.М.Скаткін):
а) пояснювально-ілюстративний(розповідь,лекція, пояснення,робота з підручником,демонстраціїта інше);
б)репродуктивний(відтвореннязнань і способівдій, діяльністьза алгоритмом,програмою);
в)проблемнийвиклад; г)частково-пошуковийабо евристичнабесіда;
д)дослідницькийметод.

До самостійноїроботи учніввідносятьпрограмованенавчання.

Нові знанняз математикисприймаютьсяі застосовуютьсяучнями з певнимитруднощами.Тому інодіпотрібно організуватисамостійнуроботу учнівз математичнимтекстом абонауковою літературою.

Методи навчанняматематики7за характеромнавчально-пізнавальноїдіяльностіучнів:

1. Пояснювально-ілюстративний

2. Репродуктивнийметод

3. Проблемнийвиклад

4. Частково-пошуковийметод (евристичнабесіда)

5. Дослідницькийметод

6. Метод доцільнихзадач

7. Аналіз і синтез

8. Порівнянняі аналогія

9. Абстрактно-дедуктивнийі конкретно-індуктивний

10. Програмованенавчання.

§2. СУТЬ ТА МОЖЛИВОСТІВИКОРИСТАННЯМЕТОДІВ НАВЧАННЯУ НАВЧАЛЬНОМУПРОЦЕСІ

§2.1 ПОЯСНЮВАЛЬНО-ІЛЮСТРАТИВНИЙМЕТОД

Цим методомпослуговуються,вводячи математичніпоняття 7,вивчаючи аксіоми,теореми і способирозв'язуваннярізних класівзадач. Наприклад,під час вивченняпоняття функціївчитель наводитьприклади залежностіміж зміннимивеличинамиі об'єктамиіншої природи,що задані задопомогоюформули, графіка,таблиці, і формулюєозначенняфункції якзалежностіміж змінними,за якої кожномузначенню незалежноїзмінної відповідаєєдине значеннязалежної змінної.Вводятьсяпоняття аргумент,область визначення,область значеньфункції; розв'язуютьсявправи на відшуканнязначень функціїза даним значеннямаргументу.

Цим методомкористуютьсядаючи лекційнийурок, на якомупояснюють певнутему з відповіднимілюструваннямна дошці, плакатах,таблицях; прироботі на уроціз підручником.

§2.2 РЕПРОДУКТИВНИЙМЕТОД

Використовуєтьсядля закріпленняна уроці новогоматеріалу,перевіркидомашньогозавдання (учнівідтворюютьрозв'язаннязадач, формулюванняі доведеннятеорем, означенняматематичнихпонять, правилатощо). На уроках,де формуютьсяуміння і навичкирозв'язуванняприкладів,задач, застосуваннярепродуктивногометоду виявляєтьсяв діяльностіучнів під часрозв'язуваннявправ і задачза зразком,який дано вчителемабо наведенов підручнику,в діяльностіза певним алгоритмом.При цьому діяльністьза зразком маєпроводитисьне за вказівкою«роби те, щороблю я», а запорадою «робитак, як роблюя».

Недоліком двохназваних методівє те, що вонимало сприяютьрозвиткупродуктивногомислення,пізнавальнійактивностій самостійностіучнів. Разомз тим недооцінкарепродуктивноїдіяльностіучнів призводитьдо того, що вучнів не забезпечуєтьсяфонд дійовихзнань, який єнеобхідноюумовою дляможливостейорганізаціїсамостійноїпізнавальноїдіяльності,розвитку творчогомислення іпродуктивноїдіяльності7.

Наступні триметоди проблемногонавчання спрямованіна усуненнязазначенихвище недоліків.

§2. 3 ПРОБЛЕМНИЙВИКЛАД

Проблемнийвиклад як методнавчання математикиполягає в тому,що, пояснюючинавчальнийматеріал, учительсам висуваєпроблеми і,звичайно, якправило, самїх розв'язує.Однак постановкапроблем посилюєувагу учнів,активізуєпроцес сприйманняі усвідомленнятого, що пояснюєвчитель. Наприклад,доводячи теорему, вчитель висуваєпроблеми накожному етапідоведення ісам проводитьпотрібніобґрунтування7.

Під проблемнимнавчаннямзвичайно розуміютьнавчання, якепроходить увигляді розв'язуванняпослідовностворюванихв навчальнихцілях проблемнихситуацій.

Що ж таке проблемнаситуація? Зпсихологічноїточки зорупроблемнаситуація являєсобою більшчи менш явноосмисленеутруднення,породжуваненевідповідністю,неузгодженістюміж тими знаннями,що і є тими, якіпотрібні длярозв'язуваннязадачі, якавиникла абозапропонована.

Задача, якастворює проблемнуситуацію -називаєтьсяпроблемноюзадачею, абопросто проблемою.

Сказане відноситьсяі до науки, ідо навчання,яке названопроблемнимта імітуючим,в якійсь мірі,процес розвиткунаукових знаньшляхом розв'язуванняпроблемнихситуацій. Частозадача, яка єпроблемноюпри вивченнішкільного курсуматематики(навчальноюпроблемою),колись виниклаяк науковапроблема 5.

Психологічноюосновою проблемногонавчання, звичайно,називаютьсформульовануС. Л. Рубінштейномтезу: «Мисленняпочинаєтьсяз проблемноїситуації».Усвідомленняхарактеруутруднення,недостатностізапасу знаньрозкриває шляхийого подолання,яке полягаєв пошуку новихзнань, новихспособів дій,а пошук — компонентпроцесу творчогомислення. Безтакого усвідомленняне виникаєпотреби в пошуку,а значить, немаєі творчогомислення.

Таким чином,не кожне утрудненнявикликає проблемнуситуацію. Воноповинно породжуватисянедостатністюзнань, і цянедостатністьповинна бутиусвідомленаучнями.

Однак і не кожнапроблемнаситуація породжуєпроцес мислення.Воно не виникає,зокрема, колипошук способіврозв'язуванняпроблемноїситуації непід силу дляучнів на даномуетапі навчанняв зв'язку з їхнепідготовленістюдо необхідноїдіяльності.

Це особливотреба враховувати,щоб не включатив навчальнийпроцес непосильнізадачі, якісприяють нерозвитку самостійногомислення, авідверненнювід нього іпослабленнювіри в своїсили.

В зв'язку зпроблемнимнавчаннямвживають дватерміни: «проблема»і «проблемназадача». Інколиїх розуміютьяк синоніми,частіше ж якоб'єкти, позначуваніцими термінами,відрізняютьза обсягом.Проблема розпадаєтьсяна послідовністьабо розгалуженусукупністьпроблемнихзадач. Такимчином, проблемнузадачу можнарозглядатияк найпростіший,окремий випадокпроблеми, щоскладаєтьсяз однієї задачі.

До методівпроблемногонавчання відносятьсятакі: дослідний,евристичнийі метод проблемноговикладу.

Центральнемісце в проблемномунавчанні займаєдосліднийметод. Досліднийметод у навчанні,однак, тількив якійсь міріімітує процеснауковогодослідження.Навчальнедослідженнявідрізняєтьсявід науковогодеякими істотнимиособливостями.

По-перше,як уже згадувалосявище, навчальнапроблема, тобтоте, що досліджуєтьсяв процесі проблемногонавчання, і таістина, якувідкриваютьучні, для наукине е новими.Але вони новідля учнів, авідкриваючидля себе те, щов науці давновідкрито, учніна цьому етапісвоєї навчальноїдіяльностіміркують якпершовідкривачі.Тому застосуваннядослідногометоду в навчаннівідносять додидактики “перевідкриття”.

По-друге, стимулиучнів до проведеннядослідженнявідрізняютьсяі від стимулів,які спонукаютьвченого надослідження.Навчальне дослідженняпроводитьсяучнями підкерівництвом,при особистій участі і задопомогоювчителя. Цядопомога повиннабути такою, щобучні вважали,що вони самостійнодосягли мети.

По-третє, як ікожний іншийметод навчання,дослідний неє універсальним.У молодших ісередніх класахшколи в діяльністьучнів можнавключати тількиокремі елементидосліджень.Це є підготовкоюдля застосуванняв старших класахдослідногометоду в більшрозвиненійі складнійформі. Але й нацьому етапінавчання цейметод можназастосовуватилише для вивченняокремих тем.

§2. 4 ЧАСТКОВО-ПОШУКОВИЙМЕТОД

Частково-пошуковийметод (інколиназиваютьевристичноюбесідою), сутьйого полягаєв тому, що вчительзаздалегідьготує системузапитань,відповідаючина які учнісамостійноформулюютьозначенняпоняття, «відкривають»доведеннятеореми, знаходятьспосіб розв'язуваннязадачі.

Цей метод дещосхожий надослідницькийметод черезте, що учні повиннісамостійнозробити відкриття,дати означення,обґрунтуватитвердження,тощо 7.

§2. 5 ДОСЛІДНИЦЬКИЙМЕТОД

Дослідницькийметод передбачаєсамостійнийпошук розв'язанняпізнавальноїзадачі. Причомуможе виявитисьпотреба, щобпроблемусформулювавсам учень абоїї формулюєвчитель, алерозв'язуютьучні самостійно.

У 9 класі, дляприкладу, післявивчення формулдля обчисленняплощ прямокутника,паралелограма,трикутникаперед учнямиставитьсяпроблема -знайти формулудля обчисленняплощі трапеції,спираючисьна вже вивченіформули обчисленняплощ фігур.Одні учні можутьпровести діагональтрапеції ізвести обчисленняїї площі дознаходженнясуми площ двохтрикутників,на які вонарозіб'ється,інші - можутьдобудуватитрапецію допаралелограма,треті - побудуватитрикутник,площа якогодорівнює площітрапеції, абоскористатисяіншими можливимиспособами. Таксамо і признаходженніплощі криволінійноїтрапеції, колифігура обмеженадекількомалініями, щовиражаютьсярізними функціями.Колективнеобговореннянаприкінціуроку знайденихспособів відшуканняформули площіфігури максимальноактивізує увагуі тих учнів,які самі незмогли знайтипотрібну формулу.

Дослідження— емпіричнийметод, якийвикористовується,зокрема, векспериментальнихприродничихнауках. Математикане являє собоюекспериментальнунауку, томуствердженнядослідом неможе бути достатньоюосновою істинностіїї положень.

Дослід требаспрямовуватина створенняв навчальномупроцесі спеціальнихситуацій ізабезпеченняучням можливостідістати з нихочевиднізакономірності,геометричніфакти, ідеїдоведення.Найчастішерезультатидосліду є посилкамиіндуктивнихвисновків, задопомогою якихздійснюютьсявідкриття новихістин. Тому дослід відносятьдо евристичнихметодів навчання,тобто до методів,що сприяютьвідкриттям7.

Слід відмітити,що за допомогоюемпіричнихметодів виконуєтьсялише початковийетап роботиз математичногоопису реальнихситуацій.Математичнийматеріал(інтуїтивніпоняття, гіпотези,сукупностіматематичнихтверджень),який при цьомуодержуємо,підлягає наступнійобробці вжеіншими методами.

§2. 6 МЕТОД ДОЦІЛЬНИХЗАДАЧ

Одним із першихметодів свідомогонавчання математикибув метод доцільнихзадач, опрацьованийв кінці ХІХ ст.відомим методистомС.І.Шохор-Троцьким.Пропонувалосьу центрі навчаннябудь-якогорозділу шкільноїматематикипоставитизадачу: “Із задач при методідоцільних задачпочинаєтьсяурок, задачастає вихіднимпунктом, колидоводитьсязвертатисядо новогоарифметичногоуявлення, чито уявленняпро суть множенняодноцифровогочисла на одноцифрове,чи то домовленістьпро зміст множенняна дріб...”. Малисьна увазі насампередпрості задачі,які дозволяливироблятипотрібні уявленняі збуджувати розумову діяльністьучнів 7.

Спочатку методдоцільних задачзастосовувалитільки принавчанні арифметики,потім і в геометрії.Книга Шохор-Троцького“Геометріяв задачах” 1909року має багатоцікавого матеріалуі для сучасноговчителя математики.В передмовідо неї написано:“Учні в цьомукурсі займаютьсяпереважнорозв’язуваннямзадач. Теоремивони доводятьтільки ті, якіне є очевиднимиі не потребуютьнадто тонкихміркувань. Додоведенняочевиднихтеорем учніможуть звертатисьтільки у випадкуїх особливогоінтересу досамого процесудоведення. Алеце залежитьі від складукласу, і відтакту вчителя”.Автор пропонувавставити учняу такі умови,“при яких вінміг би бути нелише свідком,а й, по можливості,активним учасникомцього винаходу”,радив “не викладатиматематику,а навчати їївсіма доступнимивчителю і доцільнимидля учнів способами”

Практика засвідчила,що значенняметоду доцільнихзадач не можнаперебільшуватиі додержуватисяйого формально.По-перше, вивченняне кожної темидоцільно починатиз розв'язуваннязадач, по-друге,не можна недооцінюватироль теоретичнихзнань.

В наш часматематики-методистизнову звертаютьувагу вчителівдо методу доцільнихзадач і називаютьйого теперчастіше “Навчаннячерез задачі”.

§2. 7 АБСТРАКТНО-ДЕДУКТИВНИЙІ КОНКРЕТНО-ІНДУКТИВНИЙМЕТОДИ

У навчанніматематикинеабиякогопоширеннянабули абстрактно-дедуктивнийі конкретно-індуктивнийметоди навчання.Вперше докладнопроаналізувавці методи вметодиці навчанняматематикиК. Ф. Лебединцев.Суть абстрактно-дедуктивногометода навчанняполягає в тому,що під час вивченнянового матеріалувчитель відразусам повідомляєозначенняпонять, що вводяться,а потім наводитьконкретніприклади об'єктів,що належатьдо понять.Формулюєтьсяй доводитьсятеорема, і лишепісля цьогорозглядаютьсяконкретніприклади застосуваннянового теоретичногоматеріалу 5.

Узагальненняі абстрагування— два логічнихспособи, якізастосовуютьсямайже завждиразом в процесіпізнання.

Узагальнення— це мисленевиділення,фіксуванняяких-небудьзагальнихістотнихвластивостей,які належатьпевному класупредметів абовідношень.

Абстрагування— це мисленевідхилення,відокремленнязагальних,істотнихвластивостей,виділенихвнаслідокузагальнення,від інших неістотнихабо незагальних властивостейпредметівабо відношень,які розглядаються,і відкиданнянеістотних.

Істотні зматематичноїточки зору,тобто один ітой самий предметможе вивчатися,наприклад, ів фізиці, і вматематиці.Для фізикиістотними водні його властивості(твердість,теплопровідність,електропровідністьта інші фізичнівластивості),для математикиці властивостінеістотні,вона вивчаєтільки форму,розміри, розміщенняпредмета.

Узагальненняі абстрагуваннянезміннозастосовуютьсяв процесі формуванняпонять, припереході відуявлень допонять і разомз індукцієюяк евристичнийметод. Підузагальненнямрозуміють такожперехід відодиничногодо загального,від менш загальногодо більш загального.

Під конкретизацієюрозуміютьзворотнийперехід — відбільш загальногодо менш загального,від загальногодо одиничного.

Якщо узагальненнявикористовуєтьсяпри формуванніпонять, токонкретизація— при описіконкретнихситуацій задопомогоюсформованихраніше понять.

Уточнимо перехідвід одиничногодо загального,від менш загальногодо більш загальногоі зворотнийперехід.

Вивчення окремихпредметів а,b, с, ... приводитьнас до висновкупро наявністьу них спільноївластивостіабо загальнихвластивостей,які ми можемооб'єднати водну — кон'юнкціюцих властивостейS(b), тобто S(а), S(b),S(с), ..., S(х) означає:« x має властивістьS ».

Відхиленнямцих властивостей S від іншихвластивостейпредметів(тобто абстрагуванням),що розглядаються,ми формуємоклас предметів,який характеризуєтьсявластивістюS:

А= { х | S(х) }.

Таким чиномми здійснюємоперехід відодиничного(від окремихпредметів) дозагального(класу предметів).Подальше вивченняприводитьдо включеннякласу А в більшширокий класВ; А

В. Це і є перехіддо більш загального.

У математиціузагальненняі абстрагуваннячасто поєднаніз заміною сталихзмінними (впереході відзапису окремихфактів до записузагальнихзакономірностей),а конкретизація - з підстановкоюзамість зміннихїх значень (взворотномупереході).

Індукція -перехід відчастинногодо загального,від одиничнихфактів, встановленихза допомогоюспостереженняі експерименту,до узагальненьє закономірністюпізнання. Невід'ємноюлогічною формоютакого переходує індукція, щоявляє собоюметод міркуваньвід частинногодо загального,виведеннявисновку зчастиннихпосилок (відлат. inductio — наведення).

Використанняцього методуміркувань, длятого щоб одержатинові знанняв навчальномупроцесі, називаютьіндуктивнимметодом навчання.Нехай А = {а₁,а₂ , ...} - множинавсіх можливихчастиннихвипадків, вкожному з якихдеяка властивістьС може бути абоне бути (маєабо не має місця).Припустимо,що в k випадкахмає місце властивістьС, тобто є посилки С(a₁), С(а₂), ..., С(а_к).

Індуктивніміркуваннябудуються васхемою:

(*)

(в схемі надрискою записаноперелік посилок,під рискою —висновок). Увипадку, колиА — скінченамножина, щоскладаєтьсяз k елементів(всіх можливихчастиннихвипадків - k), тобтонаші посилкивичерпуютьвсі можливічастинні випадки,схема (*) являєсобою правиловиведення,засноване наформулі

,

і висновокдостовірний(істинний, якщоістинні посилки).У цьому випадкуміркування,побудованеза схемою (*),називаєтьсяповною індукцією.

Якщо ж множинаА всіх можливихчастиннихвипадків маєбільше k елементівабо ж нескінченість,що особливочасто зустрічаєтьсяв математиці,тобто коли нашіпосилки невичерпуютьвсі можливічастиннівипадки, товисновок засхемою (*) не єдостовірноістиннимвисловленням,а тільки ймовірноістинний(правдоподібний)при істинностіпосилок. Такеміркування,побудованеза схемою (*),називаєтьсянеповною індукцією.

В математицішироко використовуєтьсяще один видіндукції —повна математична(або математична)індукція.

Математичнаіндукція —спеціальнийметод доведеннятверджень, яківиражають деякувластивість,притаманнувсім натуральнимчислам. Цейметод хоч іназиваєтьсяіндуктивним,за своєю структуроюявляє собоюдедуктивнеміркування,що спираєтьсяна аксіомуматематичноїіндукції:

Р(1)  х (Р (х)) Р (х +1))  nР (n),

тобто якщо 1має деяку властивістьР і якщо длякожного натуральногочисла х маємо,“якщо воно маєцю властивість,то його має ібезпосередньонаступне заним число х +1” , то кожненатуральнечисло n маєвластивістьР*.

Звичайно, колиговорять «індуктивніметоди навчання»,то мають наувазі застосуваннянеповної індукціїв навчанні. Аколи говоримо“індукція”- слід мати наувазі неповнуіндукцію.

Через недостовірністьвисновку індукціяне може бутиметодом доведення.Але вона являєсобою ефективнийевристичнийметод, тобтометод відкриттянових істин.В такій якостііндукцію слідшироко застосовуватив шкільномунавчанні врамках методів,орієнтованихна навчанняучнів діяльності,спрямованоїна засвоєннянових знань.

В історії математикибули випадки,коли видатніматематикипомилялисяв своїх індуктивнихвисновках.Наприклад,П.Ферма припустив,що всі числавиду

+ 1 прості, виходячиз того, що приn = 1, 2, 3, 4 вони є такими,але Л. Ейлерзнайшов, що вжепри n = 5 число + 1 не е простим(воно ділитьсяна 641).

Однакможливістьодержати задопомогоюіндукції хибневисловленняне є підставоюдля запереченняролі індукціїв шкільномунавчанні математики.Тому, застосовуючиіндукцію, необхіднопідкреслювати,що висновокє лише припущенням,що може бутидоведено, коливоно істинне,або відкинуте,коли воно хибне.

Дедукція (відлат. deductio — виведення)в широкомурозумінні являєсобою формумислення, якаполягає в тому,що нове твердження,а точніше, висловленав ньому думкавиводитьсясуто логічнимспособом, тобтоза певнимиправиламилогічноговиведення(слідування)з деяких відомихтверджень(думок).

Впершетеорія дедукції(логічноговиведення) буларозробленаАристотелем.Ця теоріярозвивалась,удосконалюваласьз розвиткомнауки логіки.Особливийрозвиток зурахуваннямпотреб математикивона одержалау вигляді теоріїдоведення вматематичнійлогіці.

Дедуктивнеміркування(умовивід)відрізняєтьсявід індуктивного,або міркуванняза аналогієюдостовірністювисновку, тобтов дедуктивномуміркуваннівисновок істинний, коли істиннівсі посилки.На відмінністьвід індукції(неповної) іаналогії вдедуктивномуміркуванніне можна одержатихибний висновокіз істиннихпосилок. Саметому дедуктивніміркуваннявикористовуютьсяв математичнихдоведеннях(доведенняхматематичнихтверджень).Широке застосуваннядедукції вматематицізумовленоаксіоматичнимметодом побудовиматематичнихтеорій.

Аксіоматичнийметод, по суті,являє собоюсвоєріднийметод встановленняістинностітверджень. Цевихідні твердження,або аксіомитеорії. Істинністьостанніх тверджень,теорем цієїтеорії, встановлюєтьсяза допомогоюдедуктивнихдоведень, тобтовсі останнітвердженнятеорії логічновиводяться(дедукуються)з попередніхтверджень:аксіом, означеньі раніше доведенихтеорем. Осьчому математикуі називають«дедуктивною»наукою — в нійвсе виводиться,«дедукується»з деяких первинних(вихідних) фактів,які висловленів аксіомах.

У практицінавчання вчитель,як правило, самдоводить укласі кожнутеорему, а той двічі абонавіть тричіповторює її.Такий методорієнтованоголовним чиномна запам'ятовуванняучнями доведеньпевних теорем,і навряд чиможна такимметодом навчитиучнів доводити.Поєднуючи ціметоди з методаминавчання пошукудоведення, минавчимо їхдоводити. Самже пошук доведення,як і будь-якийпошук, вимагаєтворчого мисленняі розвиваєйого. Тому методнавчання пошукудоведенняпідвищує ефективністьінтелектуальногорозвитку учнів,розвитку їхтворчого мислення.

§2. 8 ПРОГРАМОВАНЄНАВЧАННЯ

Поряд з уснимвикладом теоретичнихзнань, поясненнямучителем способіврозв’язуваннярізних типівзадач та колективнимїх розв’язуваннямзначне місцев процесі навчанняматематикипосідає самостійнаробота учнів.До самостійноїроботи відносятьсяне лише самостійневивчення матеріалу,доведеннятеорем тарозв’язування,а й робота здрукованоюосновою, програмованенавчання задопомогоюпосібниківабо персональнихкомп’ютерів,де потрібнообирати вірнувідповідь знаведених 7.

У 50—60-х рокахз’явилось іодержало широкупопулярність“програмованенавчання”, якепотім підлягалокритиці. Завеликим і широкорекламованимпіднесеннямнаступив деякийспад, і до цьогочасу навколопрограмованогонавчання ведутьсядискусії, впроцесі якихвисловлюютьсяістотно різні,часом прямопротилежніточки зору 5.

Нагадаємо,що розуміютьпід програмованимнавчанням ірозглянемодеякі особливостіцього видунавчання. Термін«програмованенавчання»запозиченийз термінологіїпрограмуваннядля ЕОМ, очевидно,тому, що таксамо, як і впрограмах дляЕОМ, розв'язаннязадачі подаєтьсяу вигляді строгоїпослідовностіелементарнихоперацій, у«навчальнихпрограмах»матеріал, щовивчається,подається вформі строгоїпослідовностікадрів, кожнийз яких має, якправило, порціюнового матеріалуі контрольнепитання абозавдання.

Програмованенавчання невідкидає принципівкласичноїдидактики.Навпаки, воновиникло внаслідокшукання способів,форм і методівудосконаленняпроцесу навчанняшляхом кращоїреалізаціїцих принципів.

Програмованенавчання здійснюєтьсяза допомогою«навчальноїпрограми», якавідрізняєтьсявід звичайногопідручникатим, що вонавизначає нетільки зміст,а й процес навчання7.

Існують двісистеми програмуваннянавчальногоматеріалу —лінійна і«розгалужена»програми, яківідрізняютьсяміж собою важливимивихіднимипередумовамиі структурою.Можливі і комбінованіпрограми, якіявляють собоюпоєднання цихдвох методівпрограмованогонавчання.

За лінійноюпрограмоюнавчальнийматеріал полаєтьсяневеликимипорціями, кадрами,до яких входить,як правило,просте питанняз цього матеріалу.Передбачається,що учень, уважнопрочитавшицей матеріал,зможе датибезпомилковувідповідь напоставленепитання. Припереході донаступногокадру ученьперш за всевзнає, чи правильновін відповівна питанняпопередньогокадру. Оскількикожний кадрмає доситьневелику інформаціюз нового матеріалу,то навіть простимпорівняннямсвоєї неправильноївідповіді, якщовсе таки вінпомилився, зправильноюучень швидковстановлює,де саме нимбула допущенапомилка.

За розгалуженоюпрограмоюнавчальнийматеріал розбиваєтьсяна порції, якінесуть більшуінформацію,ніж при лінійномупрограмуванні.В кінці кожногокадру учневіпропонуютьпитання, відповідьна яке він самне формулює,а вибирає знаведених уцьому ж кадрідекількохваріантіввідповідей,з яких тількиодна правильна(метод альтернативи).Неправильнівідповідівибираютьсяавторами програми,зрозуміло, невипадково, аз урахуваннямнайбільш імовірнихпомилок учнів.Учень, якийвибрав правильнувідповідь,відсилаєтьсядо сторінки,на якій викладенанаступна порціянового матеріалу.Учень, що вибравнеправильнувідповідь,відсилаєтьсядо сторінки,на якій роз'яснюєтьсядопущена помилкаі пропонуєтьсяповернутисядо останньогокадру, щоб, уважнопрочитавшище раз викладенийв ньому матеріал,вибрати правильнувідповідь абож в залежностівід допущеноїпомилки відкритисторінку, наякій поданододатковепоясненнянезрозумілого.

Порівнюючидві системипрограмуваннянавчальногоматеріалу,можна помітити,що при лінійномупрограмуванніучень самостійноформулює відповідіна контрольніпитання, прирозгалуженомувін вибираєлише одну здекількохготових, ужесформульованихвідповідей.

Розгалуженапрограма складаєтьсяз урахуваннямможливих помилковихвідповідейучнів і з цієїточки зору вонаближче до реальногопроцесу навчання.За розгалуженоюпрограмоюважливо те, щорізних учніввона супроводжуєдо засвоєннянового матеріалурізними шляхамиз урахуваннямїх можливостейі потреб в додатковихпоясненняхі вказівках.Один ученьпросуваєтьсяпрямо від однієїпорції новогоматеріалу донаступної,другий — користуєтьсядодатковимипоясненнями,роз'ясненнямийого помилковихвідповідей,які свідчатьпро нерозуміннянавчальногоматеріалу.Внаслідокчого і виходить,що різні учніпросуваютьсяв засвоєннінавчальногоматеріалу зрізними індивідуальнимишвидкостями.

21

ЧЕРНІГІВСЬКИЙДЕРЖАВНИЙПЕДАГОГІЧНИЙУНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІТ.Г.ШЕВЧЕНКА

Кафедрапедагогіки,психологіїта методикивикладанняматематики

МЕТОДИПОЯСНЕННЯНОВОГО МАТЕРІАЛУНА УРОКАХ АЛГЕБРИІ ПОЧАТКІВАНАЛІЗУ В 10-11КЛАСАХ

На матеріалізмістових лінійкурсу “Елементарніфункції”, “Похідната її застосування”

Дипломнаробота з методикивикладанняматематики

студента53 групи

фізико-математичногофакультету

******************

Науковийкерівник –к.п.н., доц.

************.

Чернігів,2003 р.