Методы решения некорректно поставленных задач (стр. 2 из 7)

Практически минимизация невязки r_U(Az,и) производится приближенно и возникает следующий важный вопрос об эффективности метода подбора, т. е. о возможности как угодно приблизиться к искомому точному решению.

Пусть {z_n} — последовательность элементов, для которой r_U(Az_n,u) ®0 при n®¥. При каких условиях можно утверждать, что при этом и r_F(z_n,z_T) ®0, т. е. что {z_n} сходится к z_T?

Это вопрос обоснования эффективности метода подбора.

2.1.2. Стремление обосновать успешность метода подбора привело к установлению общефункциональных требований, ограничивающих класс возможных решений М, при которых метод подбора является устойчивым и z_n®z_T. Эти требования заключаются в компактности множества М и основываются на приводимой ниже известной топологической лемме.

Лемма.Пусть метрическое пространство F отображается на метрическое пространство U и Uo — образ множества Fo, FoÌF, при этом отображении. Если отображение F®U непрерывно, взаимно однозначно и множество Fo компактно на F, то обратное отображение Uo®Fo множества Uoна множество Fo также непрерывно по метрике пространства F.

Доказательство. Пусть z — элементы множества F (zÎF), а u—элементы множества U (uÎU). Пусть функция u=j(z) осуществляет прямое отображение F®U, а функция z=y(u)—обратное отображение U®F.

Возьмем произвольный элемент u₀ из Uo. Покажем, что функция y(u) непрерывна на u₀. Предположим, что это неверно. Тогда существует такое число e₁ > 0, что для всякого d > 0 найдется элемент и¹ из Uo, для которого r_U(и¹, и₀) <d, в то время как r_F(z¹,z₀)>= e₁. Здесь z=y(u¹), z₀=y(u₀) и z¹ÎFo, z₀ÎF₀.

Возьмем последовательность {d_n} положительных чисел d_n , сходящуюся к нулю при п®¥. Для каждого d_nнайдется элемент u_n¹ из Uo, для которого r_U(и_n¹, и₀)<d_n , но r_F(z_n¹,z₀)>= e₁ , где z_n¹=y(u_n¹). Очевидно, последовательность {u_n¹} сходится к элементу u₀. Так как z_n¹ принадлежат компактному на F множеству Fo, то из последовательности {z_n¹} можно выбрать подпоследовательность {Z¹n_k}, сходящуюся по метрике F к некоторому элементу z₀ÎF. При этом z₀¹¹z₀ , так как для всякого n_kr_F(Z¹n_k,z₀)>= e₁ , следовательно и r_F(z¹₀,z₀)>= e₁ . Этой подпоследовательности {Z¹n_k} отвечает последовательность элементов u¹n_k= j (Z¹n_k) из Uo, сходящаяся к u¹₀= j(z¹₀) и являющаяся подпоследовательностью последовательности {u¹_n}. Так как последовательность {u¹_n}сходится к и₀ =j(z₀), то u¹₀=j(z¹₀)=u₀=j(z₀) , т. е. j(z₀)= j(z¹₀). В силу взаимной однозначности отображения F®U z¹₀=z₀, что противоречит ранее установленному неравенству z¹₀¹z₀. Лемма доказана.

Эту лемму можно сформулировать короче.

Если отображение Fo-Uo компакта Fo на множество Uo взаимно однозначно и непрерывно, то обратное отображение Uo-Fo также непрерывно.

Эквивалентность этих формулировок следует из того, что замыкание F^*₀ множества Fo, компактного наF, является компактом.

Таким образом, минимизирующая последовательность {z_n} в методе подбора сходится к z_Tпри n-¥, если:

а)z_T принадлежит классу возможных решений М;

б) множество М — компакт.

Пусть оператор А непрерывен и вместо точной правой части u_T мы имеем элемент u_d такой, что r_U(u_d,u_T)<= d, причем u_d принадлежит множествуAM (образу множества М при отображении его с помощью оператора A) и М есть компакт. Пусть {d_n} — последовательность положительных чисел таких, что d_n-0 при n-оо. Для каждого п методом подбора можно найти такой элемент z^d_n , что r_U(A z^d_n ,u_d)<=d_n. Элементы z^d_n будут близки к решению z_T уравненияAz=u_T. В самом деле, при отображении с помощью непрерывного оператора образAM компакта М есть компакт и, следовательно, по лемме обратное отображение, осуществляемое оператором A^-1, непрерывно наAM. Так как

r_U(A z^d_n ,u)<=r_U(A z_n ,u_d)+r_U(u_d,u_T),

то

r_U(A z^d_n ,u_T)<=d_n+d=g^d_n.

Из этого неравенства и из непрерывности обратного отображения АМ- М следует, что r_F(z^d_n ,z_T)<= e(g^d_n) , причем e(g^d_n)-0 приg^d_n-0. Таким образом, при нахождении приближения z^d_n к z_T надо учитывать уровень погрешности d правой части u_d.

2.1.3. На основе изложенных соображений М. М. Лаврентьев сформулировал понятие корректности по Тихонову. В применении к уравнению (2; 0,1) задача называется корректной по Тихонову, если известно, что для точного значения u=u_T существует единственное решение z_T уравнения (2; 0,1), Az_T=u_T,принадлежащее заданному компакту М.В этом случае оператор А^-1 непрерывен на множествеN=AM и, если вместо элемента u_Tнам известен элемент u_d такой, что r_U( u_T, u_d)<=dи u_dÎN, то в качестве приближенного решения уравнения (2; 0,1) с правой частью u= u_d можно взять элемент z_d=A^-1u_d.При d-0(u_dÎN) z_dбудет стремиться к z_T. МножествоF₁ (F₁ÌF), на котором задача нахождения решения уравнения (2; 0,1) является корректно поставленной, называют классом корректности. Так, если операторА непрерывен и осуществляет взаимно однозначное отображение, то компакт М, к которому принадлежит z_T, является классом корректности для уравнения (2; 0,1). Таким образом, если задача (2; 0,1) корректна по Тихонову и правая часть уравнения uÎAM, то метод подбора с успехом может быть применен к решению такой задачи. На первый вопрос дан исчерпывающий ответ.

Рассмотрим задачу решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода

(2;1,1)

на множестве М₁ монотонно убывающих (возрастающих) и равномерно ограниченных функций |z(s)|<=B. Она корректна по Тихонову, так как множествоM₁ — компакт в пространстве L₂.

Действительно, возьмем любую последовательность E= {z₁(s), z₂(s), .... z_n(s), ...} изM₁. Согласно теореме Хелли о выборе существуют подпоследовательность

E₁ = {Zn₁(s), Zn₂ (s), ...,Zn_k(s), ...},

последовательности Е и функция z*(s) из множества M₁, z*(s) ÎL₂, такие, что

всюду, кроме, может быть, счетного множества точек разрыва функции z*(s). Из поточечной сходимости подпоследовательности Е₁ к функции z*(s) всюду, кроме, может быть, счетного множества точек, следует, какизвестно, сходимость подпоследовательности E₁ к функции z*(s) по метрике L₂.

Таким образом, в качестве приближенного решения на множестве М₁ уравнения (2; 1,1) с приближенно известной правой частью u¹ÎАМ₁ можно брать точное решение этого уравнения с правой частью u=u¹ . Эта последняя задача эквивалентна задаче нахождения на множествеM₁ функции, минимизирующей функционал

N[z,u¹]=|| A₁z – u¹ ||²_L2 .

Пусть r_U(u_T, u¹)<= d. Тогда, очевидно, в качестве приближенного решения уравнения (2; 1,1) можно брать функцию z_d, для которой

|| A₁z_d – u¹ ||²_L2<= d² . (2;1,2)

Если заменить интегральный оператор A₁z интегральной суммой на фиксированной сетке с n узлами и обозначить значения искомой функции в узловых точках через z_i , то задача построения приближенного решения уравнения (2; 1,1) сведется к задаче нахождения конечномерного вектора, минимизирующего функционалN[z,и¹] и удовлетворяющего неравенству (2; 1,2).

В ряде других случаев компактные классы корректности можно указать эффективно, что дает возможность строить устойчивые приближенные решения.

2.1.4. В силу погрешности исходных данных элемент и может не принадлежать множествуAM. В этих условиях уравнение (2; 0,1) не имеет решения (классического) и возникает вопрос: что надо понимать под приближенным решением уравнения (2; 0,1)?

В этом случае вводится понятие квазирешения и метод подбора при условии компактности множества М позволяет найти приближение к квазирешению. В следующемпараграфе вопрос о квазирешении рассматривается подробнее.

2.2. Квазирешения

2.2.1. Пусть оператор А в уравнении (2; 0,1) — вполне непрерывный. Построение устойчивого к малым изменениям правой части и приближенного решения уравнения (2; 0,1) по формуле

z=A^-1u (2; 2,1)

возможно в тех случаях, как отмечалось в 2.1. , когда решение ищется на компакте МÌF и правая часть уравнения принадлежит множеству N =AM.