Методы решения некорректно поставленных задач (стр. 4 из 7)

Из (2; 3,3) и (2; 3,4) следует, что

Таким образом,

r_U(u,y₀)=r_U(u,N).

Отсюда и из единственности квазирешения на множестве М следует, что

y₀=Az¹.

Так как у₀ — произвольная предельная точка множества {y_n}, то последовательность {у_n} сходится к Аz¹. Это и означает,что в качестве приближения к квазирешению можно брать любой элемент z¹_n из множества Т_п, так как в силу леммы параграфа 2.1. z¹_n-z* при n-¥.

Если в качестве М_п брать конечномерные (n-мерные) множества, то задача нахождения приближенного квазирешения на компакте М сводится к минимизации функционалаr_U(Az,u) на множестве М_п, т. е. к нахождению минимума функции п переменных.

2.4. Замена уравнения Аz=u близким ему

Уравнения вида (2; 0,1), в которых правая часть u не принадлежит множествуN=AM, изучались М. М. Лаврентьевым . Ему принадлежит идея замены исходного уравнения (2; 0,1) близким ему, в некотором смысле, уравнением, для которого задача нахождения решения устойчива к малым изменениям правой части и разрешима для любой правой части u ÎU. В простейшем случае это делается следующим образом.

ПустьF ºU ºН — гильбертовы пространства, А — линейный, ограниченный, положительный и самосопряженный оператор,S_Rº {х, ||x||<=R,xÎF} есть шар радиуса R в пространстве F, В — вполне непрерывный оператор, определенный на S_R при любом R > 0. В качестве класса корректности М берется множество D_R=BS_R — образ шара S_R при отображении с помощью оператора В. Предполагается, что искомое точное решение z_T уравнения (2; 0,1) с правой частью u=u_T существует и принадлежит множеству D_R. Уравнение (2; 0,1) заменяется уравнением

(A+aE)z º Az+az=u , (2:4,1)

где a>0 – числовой параметр. Решение уравнения

z_a=(A+aE)^-1u , (2; 4,2)

при соответствующем выборе параметра a, принимается за приближенное решение уравнения (2; 0,1). Здесь Е — единичный оператор.

Замечание. Для оценки уклонения r_F(z_T,z_d) приближенного решения от точного можно использовать модуль непрерывности w обратного оператора на N.

Пусть u₁, u₂Î N иr_U(u₁,u₂)<=d. Тогда

w(d,N)= sup r_F(A^-1u₁,A^-1u₂).

u₁,u₂ÎN

Очевидно, что еслиr_U(u_T,u_d)<=dи z_d=A^-1u_d , то

r_F(z_T,z_d)<=w(d,N).

Вернемся к уравнению (2; 4,1). Если || Az ||<=d и w(d,D_R) = sup|| z ||, то легко

D_R

получить оценку уклонения z_a от z_T. Очевидно, что

|| z_a- z_T ||<=||z_a¹ - z_T|| + ||z_a- z_a¹||, (2;4,3)

где

z_a¹=(A + aE)^-1u_T.

Следовательно,

||z_a - z_T||<=w(d,D_R) + d/a. (2;4,4)

Если известен модуль непрерывности w(d,D_R) или его мажоранта, то из (2; 4,4) можно найти значение параметра wкак функцию d, при котором правая часть в неравенстве (2; 4,4) будет минимальной.

2. 5. Метод квазиобращения

2.5.1. Известно, что задача Коши для уравнения теплопроводности с обратным течением времени является неустойчивой к малым изменениям начальных значений. Неустойчивость сохраняется и в случаях, когда решение подчиняется некоторым дополнительным граничным условиям. Для устойчивого решения таких задач разработан метод квазиобращения . Мы изложим существо его для простейшего уравнения теплопроводности, не вдаваясь в вопросы обоснования. Подробное изложение в применении к более широкому классу задач содержится в .

2.5.2. Рассмотрим прямую задачу. ПустьD — конечная область n-мерного евклидова пространства Rⁿ точек x = (x₁,x₂, ..., x_n), ограниченная кусочно-гладкой поверхностью S, a t — время. Пусть, далее, j(x) — заданнаянепрерывная в D функция. Прямая задача состоит в нахождении решения u=u(x,t) уравнения

(2;5,1)

в областиG º{xÎ D, t > 0}, удовлетворяющего граничным условиям

u(х, t) =0 при xÎS(2; 5,2)

и начальным условиям

u(x, 0)= j(x). (2; 5,3)

Здесь

Известно, что решение такой задачи существует. Каждой функции j(x)ÎC отвечает решение задачи (2; 5,1)— (2; 5,3). Будем обозначать его через u(х, t; j).

Обратная задача состоит в нахождении функции j(х)по известной функции u(х,t; j). В реальных задачах функция u(x,t;j) обычно получается в результате измерений и, следовательно, известна приближенно. Будем полагать, что uÎL₂. Такая функция может и не соответствовать никакой «начальной» функции j(х). Таким образом, может не существовать в классе функций С решения обратной задачи. Поэтому будем рассматривать задачу нахождения некоторого обобщенного решения обратной задачи.

Пусть заданы число T > 0 и функция y(x), определенная в областиD,y(x) ÎL₂. На функциях j(х) класса С определен функционал

Обобщенным решением обратной задачи будем называть функцию j(х)., на которой достигается

f₀=inf f(j)

jÎC

Замечание. «Естественный» подход к решению этой задачи — выбрать функцию j(х).так, чтобы f(j)=0 .

Для этого достаточно найти решение прямой задачи

u(x, t) = 0 для х Î S, 0 < t <T;

u(x,T) = y(x)

и положить j (x) = u(x,0). Но такая задача при заданной функции y(x) из L₂, вообще говоря, неразрешима и, кроме того, неустойчива к малым изменениям функции y(x).

На некотором классе обобщенных функций j (x) f₀=0 . Поэтому рассматривается задача нахождения приближенного значения f₀ с заданным уровнем погрешности.

Для заданного числаe > 0найти функциюj_e(x), на которойf(j_e)<=e.

Эта задача и решается методом квазиобращения.

Идея метода квазиобращения состоит в том, что вместо оператора теплопроводности

находится «близкий» ему оператор В_a, для которого задача с обращением отсчета времени

B_au_a = 0,xÎD, t < Т, a > 0;

u_a(x,T)= y(x);

u_a(x,t)= 0 для xÎS, t< Т

устойчива. Решив эту задачу, полагают j (x)=u_a(x,0). Обычно в качестве оператора В_aберут оператор

и решают прямую задачу

xÎ D, t<T, a>0;

u_a(x,T)= y(x);

u_a(x,t)= 0 для xÎS, 0< t<= Т

Du_a=0 для xÎ S, 0< t<= Т.

Затем полагают

j(x)=u_a(x,0).

Следует отметить, что u_aне сходится в обычном смысле при a -0.

3.МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ

В главе предыдущем разделе рассмотрены случаи, когда класс возможных решений уравнения (2; 0,1) является компактом. Однако для ряда прикладных задач характерна ситуация, когда этот классF не является компактом, и, кроме того, изменения правой части уравнения

Аz= u, (3; 0,1)

связанные с ее приближенным характером, могут выводить за пределы множестваAF — образа множества F при отображении его с помощью оператора А. Такие задачи называются существенно некорректными. Был разработан новый подход к решению некорректно поставленных задач, позволяющий строить приближенные решения уравнения (3; 0,1), устойчивые к малым изменениям исходных данных, для существенно некорректных задач. В основе этого подхода лежит фундаментальное понятие регуляризирующего оператора (P.O.) . Для упрощения изложения в настоящей главе мы будем полагать, что в уравнении (3; 0,1) приближенной может быть лишь правая часть и, а оператор А известен точно.

3.1. Понятие регуляризирующего оператора

3.1.1. Пусть оператор А в уравнении (3; 0,1) таков, что обратный ему оператор

A^-1не является непрерывным на множестве AF и множество возможных решений F не является компактом.

Пусть z_T есть решение уравненияAz =u_T, т. е. Az_T=u_T.Часто вместо u_T мы имеем некоторый элемент u_d и известное число d > 0 такие, что r_U(u_d,u_T)<= d, т. е. вместо точных исходных данных (u_T,А) мы имеем приближенные исходные данные (u_d, А) и оценку их погрешности d. Задача состоит в том, чтобы по известным исходным данным (u_d,A, d) найти приближение z_d к элементу z_t,обладающее свойством устойчивости к малым изменениям u_d. Очевидно, что в качестве приближенного решения z_d уравнения (3; 0,1) нельзя брать точное решение этого уравнения с приближенной правой частью и= u_d, т. е. элемент z_T, определяемый по формуле

z_d=A^-1 u_d

так как оно существует не для всякого элемента u ÎU ине обладает свойством устойчивости к малым изменениям правой части и.

Числовой параметр d характеризует погрешность правой части уравнения (3;0,1). Поэтому представляется естественным определить z_d с помощью оператора, зависящего от параметра, значения которого надо брать согласованными с погрешностью d исходных данных u_d. Эта согласованность должна быть такой, чтобы при d-0, т. е. при приближении (в метрике пространства U) правой части u_d уравнения (3; 0,1) к точному значению u_T, приближенное решение z_d стремилось бы (в метрике пространстваF) к искомому точному решениюz_tуравнения Az_T =u_T.