Методы решения некорректно поставленных задач (стр. 5 из 7)

Пусть элементы z_TÎF и u_T ÎU связаны соотношением Az_T = u_T.

Определение 1. Оператор R(и, d), действующий из пространства U в пространство F, называется регуля-ризирующим для уравнения Az = и (относительно элемента u_T), если он обладает свойствами:

1) существует такое числоd1 > 0, что оператор R(u,d) определен для всякого d, 0<=d<=d1, и любого u_dÎU такого, что

r_U(u_d,u_T)<= d;

2) для всякого e > 0 существует d0=d0(e, u_d)<=d1 такое, что из неравенства

r_U(u_d,u_T)<= d<= d0;

следует неравенство

r_F(z_d,z_T)<= e,

где

z_d=R(u_d,d).

Здесь не предполагается, вообще говоря, однозначность оператораR(u,d). Через z_d обозначается произвольныйэлемент из множества {R(u_d,d)} значений оператора R(u_d,d).

3.1.2. В ряде случаев целесообразнее пользоваться другим определением регуляризирующего оператора (P.O.).

Определение 2. Оператор R(u, a), зависящий от параметра a и действующий из U в F, называется регуляризирующим для уравнения Az=и (относительно элемента u_T), если он обладает свойствами:

1) существуют такие числаd1>0, a1>0, что операторR(u, a) определен для всякого a, принадлежащего промежутку (0, a1), и любого uÎU, для которого

r_U(u,u_T)<=d1;

2) существует такой функционал a=a(u, d), определенный на множестве Ud₁º{u; r(u,u_T)<= d1} элементов иÎU, что для любого e > 0 найдется число d(e)<=d1 такое, что если u¹ÎU и r_U(u¹,u_T)<= d<= d(e), то

r_F(z_a,z_T)<= e , где

z_a=R(u¹, a(u¹,d)).

В этом определении не предполагается однозначность оператора R(u¹, a(u¹,d)). Следует отметить, что при a=d получаем определение 1 .

3.1.3. Если r_U(u_d,u_T)<= d, то известно, что в качестве приближенного решения уравнения (3; 0,1) с приближенно известной правой частью u_d можно брать элемент z_a=R(d, a), полученный с помощью регуляризирующего оператора R(u, a ), где a=a(u_d)=a1(d) согласовано с погрешностью исходных данных u_d. Это решение называется регуляризованным решением уравнения (3; 0,1). Числовой параметр aназывается параметром регуляризации. Очевидно, что всякий регуляризирующий оператор вместе с выбором параметра регуляризации a, согласованного с погрешностью исходных данных u_d,a=a(u_d), определяет устойчивый к малым изменениям правой части и метод построения приближенных решений уравнения (3;0,1). Если известно, что r_U(u_d,u_T)<= d, то согласно определению регуляризирующего оператора можно так выбрать значение параметра регуляризации a=a(u_d) ,

что при d-0 регуляризованное решение R(u_d,a(u_d)) стремится (в метрике F) к искомому точному решению z_T, т. е.r_F(z_T,z_a(ud)). Это и оправдывает предложение брать в качестве приближенного решения уравнения (3; 0,1) регуляризованное решение.

Таким образом, задача нахождения приближенного решения уравнения (3; 0,1), устойчивого к малым изменениям правой части, сводится:

а) к нахождению регуляризирующих операторов;

б) к определению параметра регуляризации aпо дополнительной информации о задаче, например, по величине погрешности, с которой задается правая часть u_d.

Описанный метод построения приближенных решений называется методом регуляризации.

3.2. О решении вырожденных и плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений

3.2.1. Известно, с какими трудностями связано решение так называемых плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений: малым изменениям правых частей таких систем могут отвечать большие (выходящие за допустимые пределы) изменения решения.

Рассмотрим систему уравнений

Аz=u, (3; 2,1)

где А — матрица с элементами a_ij, А ={a_ij}, z — искомый вектор с координатами z_j ,z={z_j}, и — известный вектор с координатами и_i ,u= {u_i}, i, j =1, 2, ..., п.Система (3; 2,1) называется вырожденной, если определитель системы равен нулю, detA = 0. В этом случае матрица А имеет равные нулю собственные значения. У плохо обусловленных систем такого вида матрица А имеет близкие к нулю собственные значения.

Если вычисления производятся с конечной точностью, то в ряде случаев не представляется возможным установить, является ли заданная система уравнений вырожденной или плохо обусловленной. Таким образом, плохо обусловленные и вырожденные системы могут быть неразличимыми в рамках заданной точности. Очевидно, такая ситуация имеет место в случаях, когда матрица А имеет достаточно близкие к нулю собственные значения.

В практических задачах часто правая часть и и элементы матрицы А, т. е. коэффициенты системы (3; 2,1), известны приближенно. В этих случаях вместо системы (3;2,1) мы имеем дело с некоторой другой системой Az=и такой, что ||A-A||<=h, ||u-u||<= d, где смысл норм обычно определяется характером задачи. Имея

вместо матрицы А матрицу A, мы тем более не можем высказать определенного суждения о вырожденности или невырожденности системы (3; 2,1).

В этих случаях о точной системе Аz=u, решение которой надо определить, нам известно лишь то, что для матрицы А и правой части и выполняются неравенства

||A-A||<=h, ||u-u||<= d. Но систем с такими исходными данными (А, и) бесконечно много, и в рамках известного нам уровня погрешности они неразличимы. Поскольку вместо точной системы (3; 2,1) мы имеем приближенную систему Аz= и, то речь может идти лишь о нахождении приближенного решения. Но приближенная система Аz=и может быть неразрешимой. Возникает вопрос:

что надо понимать под приближенным решением системы (3; 2,1) в описанной ситуации?

Среди «возможных точных систем» могут быть и вырожденные. Если они разрешимы, то имеют бесконечно много решений. О приближенном нахождении какого из них должна идти речь?

Таким образом, в большом числе случаев мы должны рассматривать целый класс неразличимых между собой (в рамках заданного уровня погрешности) систем уравнений, среди которых могут быть и вырожденные, и неразрешимые. Методы построения приближенных решений систем этого класса должны быть одними и теми же, общими. Эти решения должны быть устойчивыми к малым изменениям исходных данных (3; 2,1).

В основе построения таких методов лежит идея «отбора». Отбор можно осуществлять с помощью специальных, заранее задаваемых функционалов W[ z ] , входящих в постановку задачи.

Неотрицательный функционал W[ z ] , определенный на всюду плотном в F подмножестве F₁множества F, называется стабилизирующим функционалом, если:

а) элемент z_Tпринадлежит его области определения;

б) для всякого числа d>0 множество F_1,dэлементов z из F₁, для которых

W[ z ]<=d, компактно на F.

3.2.2. Итак, рассмотрим произвольную систему линейных алгебраических уравнений (короче — СЛАУ)

Аz =u, (3; 2,2)

в которой z и u—векторы, z=(z₁, z₂, ...,z_n) ÎRⁿ, и=(u₁,u₂, ...,u_n) ÎR^m, А—матрица с элементами a_ij, А = {a_ij}, где j =1, 2, ..., n; i= 1, 2, ..., т, и число п не обязано быть равным числу т.

Эта система может быть однозначно разрешимой, вырожденной (и иметь бесконечно много решений) и неразрешимой.

Псевдорешением системы (3; 2,2) называют вектор z, минимизирующий невязку || Az – u || на всем пространстве Rⁿ. Система (3; 2,2) может иметь не одно псевдорешение. Пусть F_A есть совокупность всех ее псевдорешений и z¹ — некоторый фиксированный вектор изRⁿ, определяемый обычно постановкой задачи.

Нормальным относительно вектораz¹ решением системы (3;2,2) будем называть псевдорешение z⁰ с минимальной нормой || z – z¹ ||, т. е. такое, что

|| z⁰ – z¹ || =

Здесь

. В дальнейшем для простоты записи будем считать z¹= 0 и нормальное относительно вектора z¹=0 решение называть просто нормальным решением.

Для любой системы вида (3; 2,2) нормальное решение существует и единственно.

Замечание 1. Нормальное решение z° системы (3;2,2) можно определить также как псевдорешение, минимизирующее заданную положительно определенную квадратичную форму относительно координат вектора z—z¹. Все излагаемые ниже результаты остаются при этом справедливыми.

Замечание 2. Пусть ранг матрицы А вырожденной системы (3; 2,1) равен r <n и z_r+1,z_r+2, … , z_n— базис линейного пространства N_A, состоящего из элементов z, для которых Аz=0,N_A = {z; Аz= 0}. Решение z° системы (3; 2,1), удовлетворяющее n—r условиям ортогональности

(z⁰ – z¹, z_S)= 0, S= r + 1, r + 2, .. ,n, (3; 2,3)

определяется однозначно и совпадает с нормальным решением.

3.2.3. Нетрудно видеть, что задача нахождения нормального решения системы (3; 2,2) является некорректно поставленной. В самом деле, пусть А — симметричная матрица. Если она невырожденная, то ортогональным преобразованием