Методы численного моделирования МДП-структур (стр. 4 из 5)

(D_nj ^l⁺¹)n^l⁺¹)_k-p_k^lr(p_k^l,n_k^l)n_k^l⁺¹=-(n_ie²)_kr(p_k^l,n_k^l) (3.26)

(D_pj ^l⁺¹)p^l⁺¹)_k-n_k^lr(p_k^l,n_k^l)p_k^l⁺¹=-(n_ie²)_kr(p_k^l,n_k^l) (3.27)

где r(p,n)= +C_nn+C_pp.

Методы решения каждой из линейных систем уравнений, т.е. для определения j ^l⁺¹,n^l⁺¹,p^l⁺¹_,будут рассмотрены позже.

Можно привести пример ещё двух подобных методов , отличающихся от предыдущего видом лианеаризованного разностного аналога уравнения Пуассона :

(D^hrj^l⁺¹)_k=n_k^l-p_k^l-Nd_k+Na_k+(n_k^l+p_k^l)(j_k^l⁺¹-j_k^l)/t_k(3.28)

(D^hrj^l⁺¹)_k=n_k^l-p_k^l-Nd_k+Na_k+(n_k^l/a_k^l+p_k^l/b_k^l)(j_k^l⁺¹-j_k^l) (3.29)

гдеa_k^l=(j_k^l-j_k^l^-1)/ln(n_k^l/n_k^l^-1); b_k^l=(j_k^l-j_k^l^-1)/ln(p_k^l/p_k^l^-1);

Итерационный процесс (3.29),(3.26),(3.27) будем называть методом 1, итерационный процесс (3.25),(3.26),(3.27)-методом 2, итерационный процесс

(3.28),(3.26),(3.27)-методом 3. Метод 3 во многих случаях более эффективен, чем 1 и 2, и обладает более высокой скоростью сходимости. Другой подход к решению системы нелинейных разностных уравнений (*)(**), также основанный на линеаризации, связан с методом Ньютона .Запишем (*)(**) в виде

(D^hrj)_k-n_k+p_k=-Nd_k+Na_k

F_k(j_k_-1,j_k,j_k₊₁,j_k-m,j_k+m,n_k_-1,... n_k+m, p_k_-1,p_k,p_k₊₁,p_k-m,p_k+m)=0,

(3.30)

G_k(j_k_-1,j_k,j_k₊₁,j_k-m,j_k+m,n_k_-1,... n_k+m, p_k_-1,p_k,p_k₊₁,p_k-m,p_k+m)=0,

(3.31)

Линеаризуя (3.30) и (3.31) в окрестности известного l-го приближения, получаем, что, для определения l+1 приближения неоходимо решить систему линейных уравнений

(D^hrj^l⁺¹)_k-n_k^l⁺¹+p_k^l⁺¹=-Nd_k+Na_k

3.2.3.1 Итерационные методы решения линеаризованных уравнений

На каждом шаге итерационного процесса в методах линеаризации 1-3 необходимо решить три системы эллиптических разностных уравнений большой размерности. Прямые методы их решения громоздки и требуют больших вычислительных затрат. Поэтому, как правило, используют итерационные методы. Методам решения эллиптических разностных уравнений посвящена обширная литература [4][5]. Рассмотрим наиболее широко применяющиеся методы решения этих уравнений.

Матрицы систем разностных уравнений (3.25), (3.28) и (3.29) (линеаризованное уравнение Пуассона) имеют сильное диаганальное преобладание, и их числа обусловленности (отношение максимального собственного значения матрицы к минимальному) невелики.

Поскольку числа обусловленности невелики, то нахождение решения указанных систем разностных уравнений не вызывает затруднений.Обычно используется метод поточечной верхней релаксации.

Определение решений разностных аналогов уравнений неразрывности для электронов и дырок является значительно более трудной задачей. Коэффициенты этих уравнений зависят от потенциала электрического поля ,который сильно меняется по структуре прибора. Данное обстоятельство приводит к плохой обусловленности (большим числам обусловленности) разностных уравнений. В связи с этим использование методов простой итерации и Зейделя [4][5], скорость сходимости которых обратно пропорциональна числу обусловленности, для решения разностных аналогов уравнений неразрывности требует очень больших вычислительных затрат.