Механические колебания в дифференциальных уравнениях (стр. 2 из 3)
и подставляем t = 0 в выражения для
и 
получим систему уравнений 
Разделелив обе части второго уравнения на соответствующие части первого получим
откуда
или 
а 
Так как
то
Решение (5) показывает, что имеют место затухающие колебания. Действии-тельно, амплитуда колебания
зависит от времени и является монотонно убывающей функцией, причем 
при 
.Период затухающих колебаний определяется по формуле
Моменты времени, в которые груз получает максимальное отклонение от начала координат (положения равновесия), образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной полупериоду Т/2. Амплитуды затухающих колебаний образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем, равным
или 
. Эта величина называется декрементомзатухания и обычно обозначается буквой D. Натуральный логарифм декремента lnD= - пТ/2 называется логарифмическим декрементом затухания.Частота колебаний
в этом случае меньше, нежели в предыдущем ( 
), но, как и там, не зависит от начального положения груза.Если сопротивление среды велико и
, то, положив 
, получим корни (4) в виде 
Так как 
, то оба корня отрицательны. Общее решение уравнения в этом случае имеет вид 
(6)Отсюда видно, что движение апериодическое и не имеет колебательного характера. Аналогичный характер будет иметь движение и в случае
, когда общее решение имеет вид 
(7)Легко заметить, что в обоих последних случаях при
имеем 
.Если заданы начальные условия
и 
, то в случае, когда , имеем 
, а 
. Решая эту систему относительно 
и 
, получим 
, 
и, следовательно
В случае же, когда
, получаем 
, 
и следовательно, 
Вынужденные колебания без учета сопротивления среды.
Вынужденными колебаниями называют колебания, вызванные внешней периодической возмущающей силой.
Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в ненагруженном состоянии равна
. На груз действует периодическая возмущающая сила 
где Q и р — постоянные. Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением среды.Решение
Как и для гармонических колебаний, получаем уравнение
Полагая, как и прежде,
и, кроме того, 
перепишем уравнение в виде 
(8)Это—неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, причем однородным уравнением, соответствующим уравнению (8),является (1). Поэтому
; остается найти х. Если предположить, что 
, то частное решение х, нужно искать в виде 
, где М иN — коэффициенты, подлежащие определению. Итак, 
Производя вычисления, получаем
откуда М=0 и
Полученное таким образом частное решение 
(9)определяет так называемые вынужденные колебания, созданные возмущаю-щей силой
. Вынужденные колебания, имеют тот же период, что и возмущающая сила, совпадают с ней по фазе (т. е. имеют одинаковую начальную фазу) при k>p, либо отличаются наp, если k<p, т. е. если N<0.Закон движения представляется общим решением
. (10)Оно слагается из собственно вынужденных колебаний (9), которые определяются внешней возмущающей силой, и собственных колебаний (2), обусловленных исключительно внутренними причинами: жесткостью пружины и массой груза.
Если заданы начальные условия:
и 
, то можно определить произвольные постоянные А и u. Для этого продифференцируем функцию (10): 
и подставим в выражения х и
значение аргумента t = 0; получим систему уравнений относительно A и a: 
Преобразуем её так:
возведем в квадрат обе части каждого из этих уравнений и сложим. Тогда
Для нахождения a разделим обе части первого уравнения на соответствую-щие части второго; получим
откуда
при этом
, 