Временные булевы функции применяются для описания работы схем с памятью.
Определение: Производной первого порядка от булевой функции
по переменной называется выражение:Где первая
- единичная остаточная функция, а вторая- нулевая остаточная функция.Пример:
после минимизации получим:производная первого порядка по
переменной определяет условие, при котором эта функция изменяет свое значение при перемене значения с 0 на 1.Для данной функции получим схему:
---Смешанные производные k-го порядка.
Определение: смешанной производной k-го порядка называется выражение вида:
При этом порядок фиксированной переменной не имеет значения. Производная k-го порядка
определяет условия, при которых эта функция изменяет свое значение при одновременном изменении значений .Согласно Бохману, производная k-го порядка вычисляется по формуле:
Пример: определить условия переключения выходного канала функции при переключении каждого канала, первого и второго канала, всех каналов одновременно.1)
Понятие производной от булевых функций используется для синтеза логических схем, а также в теории надежности.
Приложение алгебры логики. (1.8)
1) Для решения логических задач, - суть в том, что имея конкретные условия логической задачи стараются записать их в виде ФАЛ, которые затем минимизируют. Простейший вид формуды, как правило, приводят к ответу на задачу.
Задача:
По подозрению в преступлению задержаны: Браун, Джон и Смит. Один – старик, другой – чиновник, третий – мошенник). Все они дали показания, причем: старик всегда говорил правду, мошенник всегда лгал, а чиновник иногда лгал, а иногда говорил правду.
Показания: Браун – Я совершил это, Джон не виноват.
Джон – Браун не виноват, это сделал Смит.
Смит – я не виноват, виновен Браун.
На основании этого условия определить, кто из них совершил преступление, и кто старик, кто мошенник и кто чиновник.
Обозначим буквами: Б- виноват Браун
Д – виноват Джон
С – виноват Смит
Тогда показания запишутся в виде:
Тогда запишем функцию:
Запишем ее таблицу истинности и вычеркнем некоторые не подходящие наборы (2 преступника одновременно и.т.д.)
Б | Д | С | L | ||||
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
2 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
3 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
4 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
5 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
6 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
7 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
8 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Значит Браун – чиновник, Джон – старик, Смит – мошенник, он же преступник.
2) Среди технических средств автоматизации (релейно-контактные системы).
Значительное место занимают РКС, используемые в вычислительной технике. РКС – переключательные схемы. В 1910 г. физик Эрнфест указал на возможность применения алгебры логики при исследовании РКС. Его идея заключается в том, что каждой схеме можно сопоставить ФАЛ и наоборот. Это позволяет выявить возможности схемы, изучая соответствующую формулу, а упрощение схемы свести к упрощению ФАЛ – анализ переключательной схемы.
Синтез переключательной схемы (до построения схемы можно описать ее работу с помощью логической функции).
Рассмотрим связь между переключательными схемами и ФАЛ. (1.8.1)
Определение: переключательная схема – схемотехническое изображение устройства, состоящее из следующих элементов:
1) переключатель (может быть разомкнут или замкнут)
2) проводники
3) вход в схему и выход из нее
Q |
Из схем а,б,в можно получить функцию алгебры логики.