Множина комплексних чисел (стр. 5 из 7)

т. е. при переходе от числа z к комплексно сопряженному числу

модуль не меняется, а аргумент изменяет лишь знак (см. рис. 2).

Покажем, как умножать и делить комплексные числа, заданные в тригонометрической форме. Пусть даны два комплексных числа

z₁ = r (cosφ + isinφ) , z₂ = ρ (cosψ + isinψ), (24)

где r = |z₁|, φ = Argz₁, ρ = |z₂|, ψ = Argz₂^.

Пользуясь правилами действий над комплексными числами в алгебраической форме, находим

z₁z₂ = r (cosφ + isinφ) ρ(cosψ + isinψ) = rρ(cosφcosψ + icosφsinψ + isinφcosψ + i²sinφsinψ ) = rρ(cosφcosψ – sinφsinψ) + i(cosφsinψ + sinφcosψ)),

или

z₁z₂ = rρ (cos(φ + ψ) + isin(φ + ψ) ). (25)

Из полученной тригонометрической формы произведения двух комплексных чисел следует, что

|z₁z₂| = rρ или |z₁z₂| = |z₁| |z₂|, (φ + ψ) = Arg(z₁z₂),

т. е. модуль произведения равен произведению модулей множителей, а сумма аргументов множителей является аргументом произведения.

Предположив, что z₂

0, т. е. ρ 0, найдем частное двух комплексных чисел z₁ и z₂ , заданных формулами (24):

или

. (26)

Из формулы (26) следует, что

, или ; (27)

φ – ψ = Arg

. (28)

Формула (27) означает, что модуль частного равен модулю делимого, деленному на модуль делителя. Формула (28) показывает, что разность аргументов делимого и делителя является аргументом частного двух комплексных чисел.

Формула (26) позволяет найти модуль и аргумент комплексного числа, обратного данному числу. Полагая в этой формуле z₁ = l = l (cos0 + isin0), z₂ = z = r (cosφ + isinφ), получаем

z^-1 =

= (cos(0-φ) + isin(0-φ)),

z^-1 = r^-1 (cos(-φ) + isin(-φ)), (29)

откуда |z^-1| = r^-1, argz^-1 = -φ, т. е.

|z^-1| = |z|^-1, argz^-1 = -argz.

Таким образом, модуль комплексного числа z^-1, обратного числу z, равен обратной величине модуля числа z, а его главное значение аргумента отличается от главного значения аргумента z лишь знаком.

Рассмотрим вопрос о возведении в степень комплексного числа z = r(cos φ + isin φ), заданного в тригонометрической форме. Если n — целое положительное число, то с помощью формулы (25) получаем следующую формулу

zⁿ = (r (cosφ + isinφ))ⁿ = rⁿ (cosnφ + isinnφ), (30)

откуда |zⁿ| = rⁿ, Arg zⁿ = nφ.

Итак, при возведении комплексного числа в натуральную степень модуль возводится в ту же степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Формула (30) справедлива и для целых отрицательных показателей. В самом деле, так как z^-n = (z^-1)ⁿ , то достаточно применить формулу (30) к числу z^-1, тригонометрическая форма которого определяется формулой (29).

Формулу (30) называют формулой Муавра. В частном случае, при r = 1, из этой формулы получаем

(cos φ + isin φ)ⁿ = cos nφ + isin nφ.

ю;

Извлечение корня n-й степени из комплексного числа

Извлечь корень n-й степени из комплексного числа z – это значит найти такое комплексное число α, что αⁿ = z. Представим числа z и α в тригонометрической форме: z = r (cosφ + isinφ), α = ρ (cosψ + isinψ), где r = |z|, φ = Argz; ρ = |α|, ψ = Αrgα. Обозначим корень n-й степени из комплексного числа z через

, тогда по определению

.

.

Применяя формулу (30), получаем

.

На основании формул (22) и (23) из этого равенства следует, что

ρⁿ = r, nψ = φ + 2kπ (k = 0, ± 1, ± 2, …), откуда

, (k = 0, ± 1, ± 2, …). (31)

Полученные формулы определяют модуль ρ и аргумент числа α – корня степени n из комплексного числа z. Обратно, если дано комплексное число

, то при любом целом k,положительном или отрицательном, n-я степень этого числа равна числу z = r(cosφ + isinφ). Итак,

, (32)

где

- арифметическое значение корня из действительного неотрицательного числа, k – любое целое число. Так как k может принимать любые значения (положительные и отрицательные), то может показаться, что корень n-й степени из комплексного числа z имеет бесконечное множество различных значений. На самом деле различных значений будет только n. Полагая

k = 0, 1, 2, … , n – 1, (33)

получаем следующие n значений корня:

,

,

, (34)

……………………………….

.

Докажем, что среди значений α_i (i = 0, 1, ... , n – 1) нет равных между собой. Пусть p и q – любые различные числа из чисел k = 0, 1, 2, ... , n – 1, тогда

.

Поскольку

не является целым числом (p < n, q < n), то число 2π не будет кратным 2π. Таким образом, комплексные числа

,

не равны между собой, потому что разность их аргументов не будет кратной 2π (см. (22) и (23)).

Предположим, что k – любое натуральное число, большее n – 1. Пусть k = nq + r, где 0 ≤ r ≤ n – 1, тогда

, т. е. значение аргумента при этом значении k отличается от значения аргумента при k = r на число, кратное 2π. Следовательно, при этом значении k получаем такое же значение корня, как и при k = r, т. е. при значении k=0, 1, 2, ..., n – 1.

Таким образом, извлечение корня n-й степени из комплексного числа z всегда возможно и дает n различных значений, определяемых формулами (34). Из этих формул видно, что все n значений корня n-й степени из комплексного числа z расположены на окружности радиуса

с центром в точке нуль и делят эту окружность на n равных частей.

Отметим, что корень n-й степени из действительного числа a также имеет n различных значений. Среди этих значений действительных будет два, одно или ни одного, в зависимости от знака a и четности n. Корень n-й степени из нуля имеет только одно значение, равное нулю, т. е.

.

Рассмотрим важный частный случай извлечения корня, а именно извлечения корня n-й степени из числа 1. Представляя это число в тригонометрической форме 1=cos0+isin0 и применяя формулу (34), получаем n значений корня из единицы:

, k = 0, 1, 2, … , n – 1. (35)

На комплексной плоскости корни n-й степени из единицы изображаются точками, расположенными на окружности радиуса R = 1 и делящими ее на n равных дуг. Одной из таких точек будет точка, изображающая число 1.

Например: найдем все значения корня шестой степени из единицы. По формуле (35), которая в данном случае принимает вид

, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5,

получаем шесть следующих значений: