НАХОЖДЕНИЕ ВСЕХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МНОГОЧЛЕНА МЕТОДОМ ДЕЛЕНИЯ ОТРЕЗКА ПОПОЛАМ (БИСЕКЦИИ) И МЕТОДОМ ХОРД И КАСАТЕЛЬНЫХ С УКАЗАННОЙ ТОЧНОСТЬЮ И УЧЕТОМ ВОЗМОЖНОЙ КРАТНОСТИ КОРНЕЙ

ФедералЃEЃE АвиациоыLЃE СЃEжбЃEРъBсиЃE/b>

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

Кафедра ЃEикЃEдньH ЃEтеЃEтиЃE

Курсовая работа защищеъь

ЃEъGенЃEЃE_________________.

.__________________________.

РукьAьCителЃE/b>

доцеыQ, ЃEЃEЃEЛукинЃEО. П.

.__________________________.

ЃEдписЃE/i>

КУРСОВАЯ РАБОТА

ЃE теЃE

НАХОЖДЕНИЕ ВСЕХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МНОГОЧЛЕНА МЕТОДОМ ДЕЛЕНИЯ ОТРЕЗКА ПОПОЛАМ (БИСЕКЦИИ) И МЕТОДОМ ХОРД И КАСАТЕЛЬНЫХ С УКАЗАННОЙ ТОЧНОСТЬЮ И УЧЕТОМ ВОЗМОЖНОЙ КРАТНОСТИ КОРНЕЙ

(ПЃEснителЃEЃE заЃEскЃEЃE ЃEрсьAьH работе ЃE дисципЃEыD «ЧисЃEыLые ЃEтоды»)

РабъCу выЃEЃEилЃE/b>

студенты 5-го ЃEрсЃE/b>

специаЃEыMстЃE 01.02

КьFЃEЃE СергеЃEАЃEЃEандрьAич

/КьFЃEЃE С.А./------------------------.

СеменчихиЃE ВЃEдиЃEЃEВЃEдиЃEровиЃE/b>

/СеменчихиЃE В.В./------------------------.

28.X/1999 года.

МОСКВА - 1999

АННОТАЦИЯ

В даыLьH ЃEрсьAьH работе рассЃEтрен ЃEинциЃEъьхожденЃE ЃEрней алгебраическьBЃEЃEьBъHЃEъь следЃEщиЃE численыZЃE ЃEтодаЃE: ЃEтоЃEбисеЃEии, ЃEтоЃEхорд ЃEЃEсатеЃEыZЃE ЃEтоЃEразльEенЃE ъь ЃEьEителЃEЃEучетьK ъ@редеЃEемьH точнъBти ЃEЃEьAерЃE ЃEатыMстЃEЃEрней, ЃEтаЃEЃEЃEсредЃEVisual Basic for Applications 6.0 быЃE разрабъCанЃEЃEьBраЃEЃE реализЃEщая этоЃEЃEисЃEЃEЃEьAерЃE. В ЃEяснителЃEьH заЃEскЃEЃEивьCитЃE ъ@исание ЃEЃEсаЃEЃE численыZЃEЃEтодоЃE таЃEЃEЃEьBраЃEЃE вкЃEчая ЃEимерЃEЃE«эЃEаныZЃEЃEЃEи».

1. ТЕХНИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

Разработать ЃEьBраЃEЃEдля вычисленЃE ЃEрней алгебраическьBЃEЃEьBъHЃEъь следЃEщиЃE численыZЃE ЃEтодаЃE : ЃEтодоЃE ЃEЃEвиыLьBЃEдеЃEыGя, ЃEтодоЃEхорд ЃEЃEсатеЃEыZЃE ЃEтодоЃEразльEенЃE ъь ЃEьEителЃE ЃEтаЃEЃEь@есЃEчить вычисление значений ЃEрней ЃEуказываеЃEЃE точнъBтью ЃEЃEьAерЃE ЃEатыMстЃEЃEрней. Среда разрабъCЃE ЃEьBраЃEЃEЃEЃEьGзвьJЃEЃE.

2. ПРЕДМЕТНАЯ ОБЛАСТЬ

2.1. ОЃEсаыGЃEчисленыZЃEЃEтодоЃE/b>

ЧисЃEыLые ЃEтоды ЃEзвьJяюЃEъьйтЃEрешеыGя ъ@редеЃEыLых задаЃE зараыDЃEзнЃE, чтЃEЃEЃEчеыLые резуЃEтаты будуЃEвычисленЃEЃE ъ@редеЃEыLьH ЃEгрешыMстЃE, ЃEэтоЃE для ЃEьBих численыZЃEЃEтодоЃEыDь@ходиЃE зараыDЃE знатЃE«урьAенЃEточнъBти», ЃEтороЃE будеЃEсоъCветствьAатЃEЃEЃEчеыLьD решеыGЃE

В этоЃEсвязи задача ъьхожденЃE ЃEрней ЃEьBъHЃEъь вида (1)

F(x)=a₀+a₁x+a₂x²+ЃEa_nxⁿ(1)

ЃEедставЃEет ъBь@ый интереЃE ЃEЃE формулЃEъьхожденЃE ЃEрней даже ЃEбическьBЃEуравыDыGя достатъHыM сльEыZ, ЃEесЃE ыDь@ходиЃE ъCысЃEть ЃEрнЃE ЃEьBъHЃEъь, степенЃEЃEторого равнЃE ъьЃEимер, 5 ЃEто беЃEЃEЃEщи численыZЃE ЃEтодоЃEыD ь@ьHтись, теЃEбоЃE, чтЃEвероятнъBть ъьЃEчия ЃEтаЃEго ЃEьBъHЃEъь ъьтураЃEыZЃE(илЃEцеЃEЃE илЃEточных ЃEрней ЃEЃE«ЃEроткьH» дрь@ыMЃEчастЃE) довоЃEыM ЃEЃE, ЃEформул для ъьхожденЃE ЃEрней уравыDыGя степенЃE ЃEевышЃEщеЃE4, ыD существует.[1]ДЃEфаЃEЃEвсЃEдаЃEыDйшие ъ@ерации будуЃEсвьCитЃEя ЃEшь ЃEутъHыDыGю ЃEрней, интервалЃEЃEторыЃEЃEибЃEзитеЃEыM известыZ зараыDЃE Проще всегЃEэти «ЃEибЃEзитеЃEыZе» ЃEрнЃEъьходить, исЃEЃEзуя графичесЃEЃEЃEтоды.

ДЃE ъьхожденЃE ЃEрней ЃEьBъHЃEъь существует ыDскьJЃEЃEчисленыZЃEЃEтодоЃE ыM ЃE ъBтаыMвиЃEя ъь теЃEиз ыGЃE ЃEтоде итераций, ЃEтоде хорд ЃEЃEсатеЃEыZЃEЃEЃEтоде ЃEЃEвиыLьBЃEдеЃEыGя.

2.2.1. МетьC хорд ЃEЃEсатеЃEыZЃE (ЃEЃEинирьAаныZЃE

ДаныZЃEЃEтоЃEъBыMваЃEъь ЃEстроении схематичесЃEго графикЃEфуыIциЃE ъ@редеЃEыGЃEинтервальA егЃEЃEресечеыGя ЃEъBЃE абсцисЃEЃEЃEследЃEщиЃE«сжатиеЃE этого интервалЃEЃEЃEЃEЃEщи строимых хорд ЃEЃEсатеЃEыZЃE ЃEграфикЃEэтоЃEфуыIциЃE

НадЃEъCЃEтить, чтЃEсуществуюЃEтаЃEЃE ъCдеЃEыM ЃEтоЃEхорд (дает значение ЃEрня ЃEыDдостатЃEЃE ЃEЃEтоЃEЃEсатеЃEыZЃE(ЃE избыткьK). ОднакЃEЃEеиЃEщество ЃEЃEинирьAаныMго ЃEтода заЃEючаетЃE ЃE «двустороыLем сжатии» рассЃEтриваеЃEго ъCрезкЃE

РассмъCриЃEследЃEщиЃEслучай:

- даъь фуыIция F(x) ЃEЃEстроен ее график;

- ъ@редеЃEъь доЃEстимЃEЃEгрешыMстЃEQ

риЃE1

- существует ЃEреы[ рассЃEтриваеЃEго ЃEьBъHЃEъь. (ь@ьFъьчиЃEегЃEчереЃEA)

ДалЃEейшиЃEалгоритм свьCитЃE ЃEследЃEщиЃE действЃEЃE

1. строим ЃEсатеЃEыRю ЃEграфикЃEфуыIциЃE ЃEточкЃEF(b)

2. вычисляем ЃEъAдиъьту ЃEЃEресечеыGя ЃEсатеЃEыMЃEЃEъBЃE абсцисЃEЃE формулЃE(3) ЃEь@ьFъьчаем ее череЃEbЃE/p>

3. строим ЃEграфикЃE фуыIциЃEхордЃE ЃEъFьCящую череЃEточкЃEF(a) ЃEF(b).

4. ВычисЃEем точкЃE ЃEресечеыGя хордЃEЃEъBЃE абсцисЃEЃE формулЃE(2) ЃEь@ьFъьчаем ее череЃEa'.

aЃEa- Da , гдЃE/b>

(2)

bЃEb- Db , гдЃE/b> (3)

Таким ь@разоЃEЃE ЃEЃEчаем ыMвыЃE ъCрезоЃE[aЃE, b’], ЃEтръVЃE(ЃE ъ@редеЃEыGяЃE хордЃEЃEЃEсатеЃEыMЃE ЃE-ЃEежыDЃE содержЃEрешеыGЃEуравыDыGя A.

5. ТеперЃEЃEинимаеЃE ъCрезоЃE [aЃEb’] за ыMвыЃEъCрезоЃE [a,b] ЃEЃEвтъAяем шаги 1-4 до теЃEЃEЃE ЃEЃE разнъBть F(b)-F(a) ыD станет ЃEы[ше ЃEрвЃEачалЃEЃE заЃEжеыLьH ЃEгрешыMстЃEQ. Отметим таЃEЃE чтЃEЃEслЃEэтого реЃEЃEыCуется ЃEЃEчестве исЃEЃEго решеыGя взять средыDЃEарифЃEтическьD F(a) ЃE F(b).

Замечание ЃEЃEтоду хорд ЃE ЃEсатеЃEыZЃE В рассЃEтреныMЃEслучае ЃEьGзвьCъья FЃEx)>0, ЃEЃE график «выЃEЃEый» ЃEb>a. При работе ЃEЃEждым ъCдеЃEыZЃEслучаеЃEыDь@ходиЃE ъьходить ЃEьGзвьCыZЃEфуыIциЃE ЃEрвьBЃEЃEвтъAьBЃEЃEЃEдкьA ЃE соь@разуясь ЃEее знакьK, ъ@редеЃEть a ЃEb.

ВьFЃEжнЃEчетыре случЃE:

y y

F(x) F(x)

x x

ЃEЃE

y y

F(x) F(x)

x x ЃEЃE

ЃE FЃEx) < 0

F’’(x) > 0

ЃE FЃEx) > 0

F’’(x) > 0

ЃE FЃEx) < 0

F’’(x) < 0

ЃE FЃEx) > 0

F’’(x) < 0

СЃEсоЃEхорд	СЃEсоЃEЃEсатеЃEыZЃE/b>
FЃEx)F’’(x) > 0	С ыDдостатЃEЃE/td>	С избыткьK
FЃEx)F’’(x) < 0	С ибытЃEЃE/td>	С ыDдостатЃEЃE/td>

Таким ь@разоЃE есЃE хордЃE(ЃEсатеЃEъья) дает значение ЃEрня ЃEизбыткьK, то этоЃEЃEреы[ берется ЃEЃEчестве ыMвоЃEЃEавьH границЃE ЃEесЃE ЃEыDдостатЃEЃEЃEто ЃEвоЃE В ь@ьGЃEслучЃEЃEточный ЃEреы[ ЃEжиЃE ЃEждЃEточкамЃEЃEресечеыGя хордЃEЃEЃEсатеЃEыMЃEЃEъBЃE абсцисЃE

Замечание 2 ЃEЃEтоду хорд ЃE ЃEсатеЃEыZЃE Так ЃEЃEдля решеыGя ЃEставЃEыLьH задачи требуется ъCысЃEыGЃEЃEьGзвьCыMЃEфуыIциЃEF(x), ЃEтоЃEхорд ЃEЃEсатеЃEыZЃEдостатъHыM трудыM реализуеЃEъь ЃEьBраЃEыMЃEурьAыD, ЃEЃE ЃEавилЃEвычисленЃE ЃEьGзвьCыZЃEЃE ь@щеЃEвиде довоЃEыM грьKьFдки для «ЃEыGЃEыGя» ЭВМ; ЃEЃEыDЃEсредствеыLьK указании ЃEьGзвьCыMЃEдля ЃEждьH степенЃEЃEьBъHЃEъь ЃEЃEть ЃEЃEЃEтера серьезыM загружается, чтЃEъHенЃEзаЃEдляет работу, ЃEзадаыGЃEфуыIциЃEЃE соъCветственыM, ее ЃEьGзвьCыMЃE ыDЃEсредствеыLЃEЃEЃEьBраЃEыMЃEЃEде ЃEыDдоЃEстимЃE ОднакЃE исЃEЃEзуя даыLый ЃEтоЃE схьCимъBть интервалЃEЃEЃEрню ЃEьGсхьCит ъьибьJее быстро, ъBь@еныM есЃE совместить ЃEтоЃEхорд ЃEЃEсатеЃEыZЃEЃEЃEтодоЃEбисеЃEии, ЃEЃE середиъь ыMвого ъCрезкЃEзачастЃE дает впьJыD удьAЃEтвъAителЃEьD решеыGЃE

2.2.2. МетьC итераций

ПятыЃEшаЃEалгоритмЃEхорд ЃE ЃEсатеЃEыZЃEъ@редеЃEЃEвозвраЃEЃEЃEрвьKЃEшагу ЃEЃEследЃEщую циЃEичыMстЃEхода, ЃEЃE ЃEтоЃEхорд ЃEЃEсатеЃEыZЃEявляЃEя итерациоыLым. ДругоЃEЃEтоЃE таЃEЃEъBыMваыLый ъь ЃEвтъAах таЃEЃEбыЃEъьзван ЃE«ЃEтоЃEитераций». СутЃEегЃEзаЃEючаетЃE ЃEследЃEщеЃE

- даъь фуыIция F(x);

- ъ@редеЃEъь доЃEстимЃEЃEгрешыMстЃEQ;

- ъ@редеЃEЃE ыDЃEторыЃEинтервал [ a , b ], точнЃEсодержащий решеыGЃEуравыDыGя.

- ОЃEеделенЃE ыDЃEтороЃEчислЃEz, ЃEинадЃEжащеЃE[ a , b ] (ъьзовеЃEz «ыRЃEвыЃEЃEибЃEжеыGем»)

ДЃE ЃEЃEчеыGя следЃEщего ЃEибЃEжеыGя ЃEдставиЃEЃEформулЃE(1) вместо X Z, ЃEЃEчиЃE

x₁=F(z) (4)

ЃE ЃEьCьJжая анальBичыM,

x₂=F(x₁)

x₃=F(x₂) (5)

ЃE/b>

x_n=F(x_n-1)

Таким ь@разоЃE ЃEЃEчаем ыDЃEторую ЃEследьAателЃEъBть, ЃE есЃE ее ЃEедел (6)

limx_n=A, n®v (6)

то А являетЃE исЃEЃEЃEЃEрнем.

ДаныZЃEЃEтоЃEявляетЃE исЃEючитеЃEыM аналитичесЃEЃE чтЃEупрощает егЃEЃEшиыLЃE реализацЃE, ьCъьЃE содержит следЃEщиЃE ыDдостатЃE:

- ыDь@ходиЃEстЃE выбора ыRЃEвого ЃEибЃEжеыGя (ведь то, чтЃEинтуитивыM для чеЃEвеЃE, для ЭВМ ЃEжеЃEстатЃEдовоЃEыM сльEыMЃEзадачеЃE

- ъьЃEыDЃE ЃEЃEчеыLЃE ЃEследьAателЃEъBть ЃEъBто ЃEжеЃEыD схьCитЃEя, ЃEтогдЃEрешеыGЃE ъьйденЃEыD будеЃE