Нестандартный анализ (стр. 2 из 4)

Вывод таков: если мы хотим рассматривать бесконечно малые , мы должны расширить множество R действительных чисел до некоторого большого множества *R. Элементы этого нового множества мы будем называть гипердействительными числами. В нём аксиома Архимеда не выполняется и существуют бесконечно малые числа, такие, что сколько их не складывай с собой, сумма будет всё время оставаться меньше 1. Нестандартный, или неархимедов, анализ изучает множество гипердействительных чисел *R.

Какие требования естественно предъявлять к гипердействительным числам?

1). Чтобы множество гипердействительных чисел содержало все обыкновенные действительные числа: R

*R.

2).Чтобы над гипердействительными числами можно было выполнять обычные операции: любые два гипердействительные числа нужно уметь складывать, умножать, вычитать и делить, причем так, чтобы выполнялись обычные свойства сложения и умножения. Кроме того, нужно уметь сравнивать гипердействительные числа по величине, т.е. решить какое из них больше.

Пусть имеется некоторое множество Р, в нём выделены некоторые элементы 0 и 1 и определены операции сложения, вычитания, умножения и деления, ставящие в соответствие двум любым элементам

и множества Р их сумму , произведение , разность и частное (если ). Пусть при этом перечисленные операции обладают всеми обычными свойствами.

(1)

;

(2)

;

(3)

;

(4)

;

(5)

;

(6)

;

(7)

;

(8)

;

(9)

(если ).

В таком случае множество Р называется полем. Пусть на поле Р введён порядок, т. е. для любой пары не равных друг другу элементов

и определено, который из них больше. При этом выполняются такие свойства:

(10) если

и , то ;

(11) если

, то для любого ;

(12) если

, , то ;

если

, , то .

В таком случае говорят, что введенный порядок превращает Р в упорядоченное поле. Упорядоченное поле Р является неархимедовым тогда и только тогда, когда в нём есть положительные бесконечно малые элементы. Упорядоченное поле Р называется расширением поля действительных чисел R, если Р содержит все действительные числа и, кроме того, операции и порядок из Р, рассматриваемые на элементах их R, совпадают с обычными арифметическими операциями и обычным порядком на действительных числах.

ПРИМЕР НЕАРХИМЕДОВОЙ ЧИСЛОВОЙ СИСТЕМЫ

Построим пример неархимедова упорядоченного поля, являющегося расширением поля действительных чисел.

Предположим, что искомое расширение *R уже построено, и исследуем его строение. Элементы множества *R мы будем называть гипердействительными числами. Среди них содержатся и все действительные числа. Чтобы отличить их, будем называть действительные числа (элементы R) стандартными, а остальные гипердействительные числа (элементы *R/R)—нестандартными.

По нашему предположению, поле *R содержит бесконечно малые числа, не равные нулю. Гипердействительное число

называется бесконечно малым, если все суммы

и т. д.

меньше 1. Здесь через

обозначен модуль гипердействительного числа , определяемый так .

Отметим, что стандартное число 0 также оказывается, согласно этому определению, бесконечно малым. Но все остальные бесконечно малые числа не могут стандартными. Это следует из того, что для стандартных чисел справедлива аксиома Архимеда.

Наряду с бесконечно малыми в поле *R существуют и бесконечно большие. Мы называем гипердействительное число А бесконечно большим, если

и т.д.

Если,

бесконечно мало, но отлично от нуля, то число бесконечно велико. Верно и обратное, если число А бесконечно велико, то число бесконечно мало. Отсюда следует, что все бесконечно большие числа нестандартны.

Гипердействительные числа, не являющиеся бесконечно большими, называются конечными. Каждое конечное гипердействительное число

можно представить в виде где - стандартное число, а - бесконечно малое. Пусть - конечное гипердействительное число. Разобьём действительные числа на два класса: меньшие и большие . Т.к. конечно, то оба класса не пусты. По “аксиоме полноты“ существует действительное число , разделяющее эти классы. Легко видеть, что будет бесконечно малым. Число называется стандартной частью конечного гипердействительного числа . Обозначается это так: . Таким образом, множество конечных гипердействительных чисел разбивается на классы. Эти классы называются монадами. Монадой стандартного числа называется множество всех бесконечно близких к нему гипердействительных чисел.

Обсудив структуру нестандартного “микромира”, скажем несколько слов о строении нестандартного “макромира”. Их можно разбить на классы (“галактики”), каждый из которых устроен, подобно множеству всех конечных гипердействительных чисел. Среди галактик нет ни самой большой, ни самой малой; между любыми двумя галактиками есть бесконечно много других галактик.

ЧТО ЕЩЕ НУЖНО ОТ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ?

Рассмотрим, что получается в результате построения поля гипердействительных чисел.