Нестандартный анализ (стр. 3 из 4)

Прежде всего, мы получаем не архимедово расширение поля действительных чисел. Кроме того, “каждому объекту стандартного мира” поставлен в соответствие его аналог в “нестандартном мире”. Именно нестандартным аналогом любого действительного числа является оно само; любому подмножеству А множества R соответствует подмножество *А множества *R, каждой функции f из R в R соответствует функция *f из *R в *R, каждой двуместной функции g из R в R соответствует функция *g из *R в *R и т. д. Разумеется, эти аналоги *A, *f, *g не произвольны, а должны обладать некоторыми специальными свойствами: так, *А

, на действительных числах f и *f совпадают, так что *f является продолжением для f, а *g - продолжением для g . При этом оказывается выполненным так называемый принцип переноса, утверждающий грубо говоря, что гипердействительные аналоги стандартных объектов обладают теми же самыми свойствами, что и исходные стандартные объекты.

Покажем теперь, как принцип переноса позволяет нам обосновать наши примеры. Пример 1 становится вполне корректным: нужно сказать лишь, что производной функции

в стандартной точке называется стандартная часть отношения . Во втором примере рассматривается функция извлечения корня и её гипердействительное положение. Мы пользуемся равенством ; первое из них представляет собой стандартное определение квадратного корня, второе получается по принципу переноса.

Приведем еще два примера “нестандартных определений” стандартных понятий. Пусть

- последовательность действительных чисел, или, другими словами, функция из N в R. Её нестандартный аналог представляет собой функцию из *N в *R; значение этой функции на гипернатуральном числе m естественно обозначать .

Определение предела. Стандартное число

называется пределом последовательности , если все бесконечно далекие члены этой последовательности бесконечно близки к , т.е. для всякого нестандартного гипернатурального числа разность бесконечно мала.

Определение предельной точки. Стандартное число

называется предельной точкой последовательности , если некоторые бесконечно далёкие члены последовательности бесконечно близки к , т.е. существует такое нестандартное гипернатуральное число , что разность бесконечно мала.

ЧТО ЖЕ ТАКОЕ ГИПЕРДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО ?

Гипердействительные числа можно рассматривать как классы последовательностей обыкновенных действительных чисел. Рассмотрим способ построения классов. Его определение будет использовать так называемый нетривиальный ультрафильтр на множестве натуральных чисел. Объясним, что это такое.

Пусть некоторые множества натуральных чисел называются “большими”, а некоторые - “малыми”, причем выполнены следующие свойства:

1. Любое множество натуральных чисел является либо большим, либо малым. Ни одно множество не является большим и малым одновременно.

2. Дополнение (до N) любого малого множества является большим, дополнение любого большого множества - малым.

3. Любое подмножество малого множества является малым, любое надмножество большого - большим.

4. Объединение двух малых множеств является малым, пересечение дух больших множеств - большим.

5. Всякое конечное множество является малым, всякое множество, имеющее конечное дополнение - большим.

С помощью такого ультрафильтра построим искомое неархимедово расширение поля действительных чисел.

Будем говорить, что последовательности

эквивалентны, если равенство “выполнено почти при всех i “, т.е. Если множество тех i , при которых , большое. Согласно свойству 5 любые последовательности, отличающиеся в конечном числе членов, эквивалентны. С каждой последовательностью сопоставим ее класс эквивалентности - класс всех эквивалентных ей последовательностей. Получающиеся классы эквивалентности будут называться гипердействительными числами. Обыкновенные действительные числа вкладываются в множество гипердействительных чисел. Таким образом, *R оказывается, как мы того и хотели, расширением множества R.

Определим сложение и умножение на гипердействительных числах. Пусть класс

содержит последовательность , класс - последовательность . Назовем суммой классов и класс, содержащий последовательность ,а произведением последовательность . Корректность этих определений обеспечивается свойством 4 из определения ультрафильтра.

Итак, мы ввели на множестве гипердействительных чисел сложение, умножение и порядок. Нетрудно проверить, что мы получили упорядоченное поле, т.е. что в множестве гипердействительных чисел выполняются все обычные свойства сложения, умножения и порядка. Аксиома Архимеда, однако, в этом поле не выполняется.

ПОСТРОЕНИЕ ПОЛЯ ГИПЕРДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ С ПОМОЩЬЮ

ТЕОРЕМЫ КОМПАКТНОСТИ

Рассмотрим другой метод построения поля гипердействительных чисел. Но прежде мы должны обсудить понятие логического языка и понятие интерпретации этого языка. Рассмотрим общее понятие односортного языка первого порядка.

Пусть фиксирован набор символов

, элементы которого мы будем называть предикатными символами, и набор , элементы которого мы будем называть функциональными символами. Пусть каждому предикатному и функциональному символу сопоставлено некоторое натуральное число, называемое числом аргументов, или валентностью, соответствующего символа. В таком случае говорят, что задан некоторый язык.

Определим теперь понятие формулы данного языка. Выберем и зафиксируем бесконечную последовательность символов, называемых переменными. Пусть это будут например символы

Определим в начале понятие терма. Именно (Т1) любая переменная и любой функциональный символ с нулем аргументов суть термы;

(Т2) если термы

уже построены, а f - функциональный символ с m аргументами, то выражение есть терм.

Термами называются те и только те выражения, которые можно получить путем многократного применения правил (Т1) и (Т2). Определим теперь понятие формулы следующим образом:

(Ф1) если t и s термы, то (t=s) - формула; (Ф2) если

- термы, а Р - предикатный символ с m аргументами, то Р ) - формула; если Р - предикатный символ с нулем аргументов, то Р - формула; (Ф3) если Р и Q- формулы, то - формулы; (Ф4) если Р - формула, а - переменная, то и - формулы.

Формулами называют те и только те выражения, которые можно получить путем многократного применения правил (Ф1)-(Ф4).

Определить интерпретацию языка L означает:

выбрать некоторое множество М - носитель интерпретации;

с каждым предикатным символом Р валентности m сопоставить некоторый m-местный предикат;

С каждым функциональным символом f валентности k сопоставить некоторую функцию F, ставящую в соответствие любой k-элементной последовательности элементов М некоторый элемент М:F:

.