Нестандартный анализ (стр. 4 из 4)
Истинность формул зависит от выбора интерпретации и от значений переменных, входящих в эту формулу свободно. Если формула не содержит свободных вхождений, то ее истинность зависит только от выбора интерпретации. Формулы языка, не содержащие свободных вхождений переменных, называют суждениями данного языка. Как только мы зафиксировали какую-то интерпретацию языка, все суждения разделяются на истинные и ложные.
Теперь мы в состоянии точно сказать, что мы называем гипердействительными числами. Именно, системой гипердействительных чисел называется любая интерпретация Р рассмотренного языка RL, в которой истинны те же суждения, что и в стандартной интерпретации, но для которой не выполнена аксиома Архимеда. Элементы носителя этой интерпретации и называются гипердействительными числами. Таким образом, возможно много систем гипердействительных чисел.
Вернемся к построению системы гипердействительных с помощью методов математической логики.
Введем несколько понятий. Пусть фиксирован некоторый язык L. Пусть Т- некоторое множество суждений этого языка. Будем говорить, что интерпретация Р языка L является моделью Т, если все суждения из Т истинны в Р. Возьмем в качестве L рассмотренный выше язык RL, в качестве Т - множество Tr всех суждений этого языка, истинных в стандартной его интерпретации. Тогда в соответствии с нашим определением стандартная интерпретация, так же как и любая система гипердействительных чисел, будет моделью для Tr. Теперь задачу отыскания системы гипердействительных чисел можно сформулировать так: найти модель множества Tr, которая не удовлетворяет аксиоме Архимеда.
Введем еще один термин, относящийся к произвольному языку L и произвольному множеству Т суждений языка L.Назовем множество Т совместным, если существует его модель, т.е. если существует интерпретация языка L, в которой истинны все формулы из Т. Теперь все готово для того, чтобы сформулировать теорему компактности Мальцева.
Теорема компактности. Пусть имеется произвольный язык L и произвольное множество Т суждений этого языка. Пусть каждое конечное подмножество
множества Т совместно. Тогда множество Т совместно.Эта теорема показывает, что для построения модели множества Т достаточно уметь строить модели всех конечных подмножеств множества Т.
Существуют два способа доказательства. Один из них использует нетривиальные ультрафильтры, а другой метод состоит в применении одной из центральных теорем логики - теоремы Гёделя-Мальцева о полноте, рассмотрим его более подробно. Определяется понятие выводимости данного суждения
из данного множества суждений Т. Выводимость из Т означает, что существует последовательность формул, каждая из которых принадлежит либо Т , либо заранее фиксированному множеству, либо получается из предидущих членов последовательности по определенным правилам, причем последней формулой этой последовательности является формула . Последовательность формул, обладающая описанными свойствами, называется выводом формулы из множества формул Т.Свойство выводимости: если формула
выводится из множества Т, то существует такое конечное подмножество 
, что формула выводится из множества 
. Наконец, назовем множество суждений противоречивым, если из него выводится одновременно некоторое суждение и его отрицание 
. Теперь сформулируем теорему Гёделя о полноте.Теорема. Пусть L - произвольный язык, Т - множество суждений этого языка. Тогда следующие свойства равносильны: а) Т - совместно; б) Т- не противоречиво. Эта теорема позволяет заменить семантическое (т.е. апеллирующее к интерпретациям ) свойство совместимости на синтаксическое (рассматривающие формулы только как знакосочетания в отрыве от их смысла) свойство непротиворечивости. Из неё легко вытекает теорема компактности. Основная трудность в построении гипердействительных чисел заключена именно в доказательстве теоремы о полноте. Так что,. Построение системы гипердействительных чисел с помощью теоремы о полноте ничем не лучше и не хуже, чем её построение с помощью нетривиальных ультрафильтров.
ИСТОРИЯ НЕСТАНДАРТНОГО АНАЛИЗА
Возраст нестандартного анализа колеблется от двух десятков до трех сотен лет. Два десятка получается, если считать, что нестандартный анализ зародился осенью 1960 года, когда его основатель, Абрахам Робинсон, сделал на одном из семинаров Принстонского университета доклад о возможности применения методов математической логики к обоснованию математического анализа. Триста лет получается, если считать началом нестандартного анализа появление символов бесконечно малых dx и dy в трактате Лейбница.
Как и всякое другое научное направление, нестандартный анализ возник не на пустом месте. Основные его источники: во-первых, это идущая от классиков математического анализа традиция употребления бесконечно больших и бесконечно малых - традиция, сохранившаяся до нашего времени. Второй, менее очевидный источник - нестандартные модели аксиоматических систем, появившиеся в математической логике.
К 1960 году методы построения нестандартных моделей были давно разработаны и хорошо известны специалистам по теории моделей, одним из основателей которой был А. Робинсон. Оставалось лишь соединить их с идеями о применении бесконечно малых величин в анализе, чтобы положить начало развитию нестандартного анализа. В 1961 г. появилась статья А. Робинсона “Нестандартный анализ” в Трудах Нидерландской академии наук. В статье были намечены как основные положения нестандартного анализа, так и некоторые его приложения. В течении последующих восьми лет вышли в свет три монографии, излагающие нестандартную теорию: в 1962 г. - книга В.А. Дж. Люксембурга “Нестандартный анализ. Лекции о робинсоновой теории бесконечно малых и бесконечно больших чисел” , в 1966 г. - книга самого А. Робинсона “Нестандартный анализ” и в 1969 г. - книга М. Маховера и Дж. Хиршфелда “Лекции о нестандартном анализе”.
Наибольший резонанс вызвала книга Робинсона. В девяти первых главах этой монографии содержалось как построение необходимого логико-математического аппарата, так и многочисленные приложения - к дифференциальному и интегральному исчислению, к общей топологии, к теории функций комплексного переменного, к теории групп Ли, к гидродинамике и теории упругости.
В 1966 г. появилась статья А.Р. Бернстейна и А. Робинсона, в которой впервые методами нестандартного анализа было получено решение проблемы инвариантных пространств для полиномиально компактных операторов. В очерке П.Р. Халмоша “взгляд в гильбертово пространство” в качестве проблемы фигурирует поставленная К.Т. Смитом задача о существовании инвариантного подпространства для таких операторов Т в гильбертовом пространстве
, для которых оператор 
компактен. А.Р. Бернстейном и А. Робинсоном методами нестандартного анализа было доказано, что любой полиномиально компактный оператор в гильбертовом пространстве имеет нетривиальное инвариантное замкнутое подпространство.Приложения нестандартного анализа внутри математики охватывают обширную область от топологии до теории дифференциальных уравнений, теории мер и вероятностей. Что касается внематематических приложений, то среди них мы встречаем даже приложения к математической экономике. Многообещающим выглядит использование нестандартного гильбертова пространства для построения квантовой механики. А в статистической механике становится возможным рассматривать системы из бесконечного числа частиц.Помимо применений к различным областям математики, исследования в области нестандартного анализа включают в себя и исследование самих нестандартных структур.
В 1976 г. вышли сразу три книги по нестандартному анализу: “Элементарный анализ” и “Основания исчисления бесконечно малых” Г. Дж. Кейслера и “Введение в теорию бесконечно малых” К. Д. Стройана и В. А. Дж. Люксембурга.
Быть может, наибольшую пользу нестандартые методы могут принести в области прикладной математики. В 1981 г. вышла книга Р. Лутца и М. Гозе “Нестандартный анализ: практическое руководство с приложениями”. В этой книге после изложения основных принципов нестандартного анализа рассматриваются вопросы теории возмущений.
В настоящее время нестандартный анализ завоёвывает всё большее признание. Состоялся ряд международных симпозиумов, специально посвященных нестандартному анализу и его приложениям. В течении последнего десятилетия нестандартный анализ ( точнее, элементарный математический анализ, но основанный на нестандартном подходе) преподавался в ряде высших учебных заведений США.
Литература Успенский В.А. “Нестандартный, или неархимедов, анализ”. - М.: Знание, 1983 г. - 64 с. ( Новое в жизни, науке, технике. Сер. “Математика, кибернетика”; № 8 ).
Девис М. “Прикладной нестандартный анализ”. - М., Мир, 1980. (Русский перевод книги: Davis M. Applied nonstandard analysis. New York et al.; John Wiley & Sons, 1977)
.