О некоторых применениях алгебры матриц (стр. 1 из 3)
 |
МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Х.М. Бербекова
Математический факультет
Кафедра геометрии и высшей алгебры
Лакунова Залина
Дипломная работа
«О некоторых применениях алгебры матриц»
Научный руководитель:
д.ф.-м.н.,проф.каф. Г и В А /В.Н.Шокуев /
Рецензент:
к.ф.-м.н.,доцент /В.М.Казиев/
Допущена к защите 2002г.
Заведующий кафедрой
к.ф.-м.н.,доцент /А.Х.Журтов/
Нальчик2002
Оглавление
стр.
Введение 3
§1. О правиле Крамера 4
§2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел 9
§3. Матричный вывод формулы Кардано 17
Литература 21
Отзыв
О дипломной работе «О некоторых применениях алгебры матриц».
Студентки 6 курса МФ специальности «математика» Лакуновой З.
В данной дипломной работе рассматривается новые применения матриц в теории систем линейных уравнений, теории чисел и теории алгебраических уравнений малых степеней.
В §1 дается новый (матричный) вывод правила Крамера для решения любых квадратных систем линейных уравнений с неравным нулю определителем.
В §2 получено тождество (1) , которое используется для доказательства некоторых теоретико-числовых фактов (предложения 1-4); при этом основную роль играют матрицы- циркулянты и их определители. Здесь попутно доказана теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом трех положительных чисел.
В §3 дается новый вывод правила Кардано для решения кубических уравнений; его можно назвать «матричным выводом» , поскольку он опирается на свойства циркулянта (третьего порядка).
Считаю, что результаты получения в дипломной работе студентки Лакуновой З. удовлетворяют требованиям, предъявляемым к дипломным работам, и могут быть допущены к защите.
Предварительная оценка – «хорошо»
д.ф.-м.н., проф.каф. Г и ВА /В.Н.Шокуев/
§1. О правиле Крамера
В литературе известны разные способы решения Крамеровой системы линейных алгебраических уравнений. Один из них – матричный способ – состоит в следующем.
Пусть дана Крамерова система, т.е. квадратная система
линейных уравнений с неизвестными 
(1)Определитель которой отличен от нуля:
(2)Систему (1) можно представить в виде одного матричного уравнения
(3)где
- матрица коэффициентов при неизвестных системы (1), 
(4) 
- столбец (Матрица-столбец) неизвестных 
- столбец свободных членов системы (1)Так как
, то матрица невырожденная и для нее существует обратная матрица 
. Умножив равенство (3) на (слева), получим (единственное) решение системы в следующей матричной форме (в предположении, что она совместима и 
- ее решение) 
,где обратная матрица
имеет вид: 
(
-алгебраическое дополнение элемента 
в определителе 
)Другой известный способ можно назвать методом алгебраических дополнений. Его использование предполагает владение понятием алгебраического дополнения
как и в матричном способе, теоремой о разложении определителя по столбцу (строке), теоремами о замещении и об аннулировании.Предлагаемый нами новый метод опирается на теорему Коши-Бине об определителе произведения матриц.
Суть этого метода можно понять легко, если сначала рассмотрим случай
. Очевидно, что при выполняются следующие матричные равенства (если задана система (1)): 
Переходя к определителям в этих равенствах и обозначив определители правых частей соответственно через
получим формулы Крамера: 
( 
) 
(Правило Крамера)Переход к общему случаю Крамеровых систем (1) порядка
ничего по существу не меняет. Просто следует заметить, что матрица 
с определителем 
получается из единичной матрицы заменой 
-го столбца столбцом неизвестных: 
(5)Теперь из
равенств 
,где
- матрица, получающаяся заменой - го столбца матрицы столбцом свободных членов системы (1), причем к формулам Крамера, взяв определители от обеих частей в каждом равенстве: 
, откуда ввиду имеем 
.(здесь
получается из , как и из ).Другой, еще более короткий способ отыскания решения системы (1) состоит в следующем (по-прежнему
): пусть система (1) совместна и числа (после переобозначений) образуют ее решение. Тогда при 
имеем, используя два линейных свойства определителя: 
Можно начать и с определителя
, в котором вместо свободных членов в -м столбце подставлены их выражения согласно (1); используя соответствующие свойства определителя, получим: 
( ),откуда и получаются формулы Крамера.
Замечание. Проверка того, что значения неизвестных, определяемые по формуле Крамера удовлетворяют системе (1), (т.е. образуют решение системы), производится одним из известных способов.