т.е. погрешность получилась меньше примерно на 30%. Если по этой величине погрешности определить величину надежности при ta = ka, то из таблицы коэффициентов Стьюдента получим a < 0,90 вместо заданной a = 0,95. Следовательно при малом числе измерений n применение закона нормального распределения с s2 = S2n вместо распределения Стьюдента приводит к уменьшению надежности результата измерений.
Найдем средние значения и погрешности следующих пяти измерений
| i | аi, мм | аi - ао, мм | (аi - ао)2, мм2 |
| 1 | 14, 81 | 0, 01 | 0, 0001 |
| 2 | 14, 80 | 0, 00 | 0 |
| 3 | 14, 85 | 0, 05 | 0, 0025 |
| 4 | 14, 84 | 0, 04 | 0, 0016 |
| 5 | 14, 80 | 0, 00 | 0 |
| 0, 10 | 0, 0042 |
ао = 14, 80 мм;
а = ао + ( мм );
а - ао = 0, 02 мм;
( мм2 );
Sa = 1, 05×10-2 мм.
При a = 0,95:
Dх = ta×Sa = ± 2,78×1,05×10-2 = 2,92×10-2 ( мм );
εа = ;
Х = 14, 82 ± 0, 03 мм.
При a = 0,99:
Dх = ± 4,60×1,05×10-2 » 5×10-2 ( мм );
εа = ±
Х = 14, 82 ± 0,05 мм.
Результаты практически не отличаются, от результатов полученных из первой серии.
Найдем теперь погрешность результата всей серии из десяти измерений. В этом случае (мм); (мм2).
Эти величины получаются суммированием последних строк из таблиц частных серий.
ао = 14, 80 мм;
а = ао + ( мм );
а - ао = 0, 019 мм.
Sa2 =
= ( мм2 );
Sa = 7, 35×10-3 мм.
При a = 0,95 имеем
Dх = ta×Sa = ± 2,26×7,35×10-3 = ± 1,7×10-2 ( мм );
εа = ;
а = 14, 819 ± 0, 017 мм.
При a = 0,99 получаем
Dх = ta×Sa = ± 3,25×7,35×10-2 = ± 2,4×10-2 ( мм );
εа = ;
а = 14, 819 ± 0, 024 мм.
Видно, что абсолютная и относительная погрешность результата десяти измерений стали почти в два раза меньше погрешностей пяти измерений.
Применение нормального распределения с s2 = S2n дает в случае a = 0,95 ka = 1,96 и Dх = 1,4 × 10-2 мм, а величина надежности понижается до 0,91; в случае a = 0,99 получаем ka = 2,58 и Dх = 1,9 × 10-2 мм, а величина надежности понижается до a = 0,97.
Как видно, с ростом числа измерений различие между результатами, вычислениями по распределению Стьюдента и по нормальному распределению уменьшается.
Контрольные вопросы
Цель математической обработки результатов эксперимента;
Виды измерений;
Типы ошибок измерения;
Свойства случайных ошибок;
Почему среднеарифметическое значение случайной величины при нормальном законе ее распределения является вероятнейшим значением?
Что такое истинная абсолютная и вероятнейшая ошибки отдельного измерения?
Что такое доверительный интервал случайной величины?
Что такое уровень значимости (надежности) серии измерений?
Геометрический смысл уровня значимости;
Почему при малом числе опытов нельзя погрешность измерений представить в виде Dх = ± Ksа?
Что является критерием “случайности” большого отклонения измеряемой величины?
Чем определяется величина случайной ошибки косвенных измерений?
Чем определяется точность числовой записи случайной величины?
ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
При характеристике случайных величин недостаточно указать их возможные значения. Необходимо еще знать насколько часто возникают различные значения этой величины. Это характеризуется вероятностью p отдельных ее значений.
Соотношение, устанавливающее связь между значениями случайной величины и вероятностями этих значений, называют законом распределения случайной величины. Различают интегральный и дифференциальный законы распределения.
Виды случайных величин и законы их распределения
Под случайной величиной понимается величина, принимающая в результате опыта какое либо числовое или качественное значение.
Случайная величина, принимающая конечное число или последовательность различных значений, называется дискретной случайной величиной. Случайная величина, принимающая все значения из некоторого интервала, называется непрерывной случайной величиной.
Под интегральным законом распределения (или функцией распределения) F (х) случайной величины Х понимают вероятность p того, что случайная величина Х не превысит некоторого ее значения х
F (х) = p (Х < х).
Основным свойством интегрального распределения является монотонное не убывание в ограниченном диапазоне [ 0; 1 ].
Действительно, если х1 и х2 некоторые значения случайной величины Х. Причем х2 > х1, то очевидно, что событие p (Х < х2) ³ p (Х < х1), т.к. между значениями х1 и х2 могут быть и промежуточные. Из определения интегрального закона следует, что F (х2) ³ F (х1), что говорит о монотонном не убывании функции. Очевидно также, что
F (- ¥) = p (Х < - ¥) = 0;
Þ F (¥) - F (- ¥) = 1,
F (+ ¥) = p (Х < ¥) = 1;
т.е. F (х) изменяется в диапазоне от 0 до 1.
Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан таблицей или ступенчатой функцией (рис. 4)
Рис. 4. Интегральный закон распределения
дискретной случайной величины
Для дискретной случайной величины
F (x) = P (X < x) = P (-¥ < X < x) = ,
где суммирование распространяется на хi < х. В промежутке между двумя последовательными значениями Х функция F (х) постоянна. При переходе аргумента х через значение хi F (х) скачком возрастает на величину p (Х = хi).
Рассмотрим p (х1 £ Х < х2). Если х2 > х1, то очевидно, что
p (Х < х2) = p (Х < х1) + p (х1 £ Х < х2).
Тогда
p (х1 £ Х < х2) = p (Х < х2) - p (Х < х1) = F (х2) - F (х1),
т.е. вероятность попадания случайной величины в интервал [х1; х2) равен разности значений интегральной функции граничных точек.
Последнее условие можно использовать для нахождения вероятности p (Х = х1) для непрерывной случайной величины. Для этого рассмотрим предел
p (X = x1) = ,
т.е. если закон распределения случайной величины есть функция непрерывная, то вероятность того, что случайная величина примет заранее заданное значение, равна нулю.
Здесь видно различие между дискретными и непрерывными случайными величинами. Для дискретных случайных величин, для каждого значения случайной величины существует своя вероятность. И для него справедливо утверждение: событие, вероятность которого равна нулю, невозможно. Для непрерывной случайной величины это утверждение неверно. Как показано, вероятность того, что Х = х1 ( где х1- заранее выбранное число) равна нулю, это событие не является невозможным.
Рассмотрим непрерывную случайную величину Х, интегральный закон которой предполагается непрерывным и дифференцируемым. Функцию
¦ (х) = F¢ (õ)
называют дифференциальным законом распределения или плотностью вероятности случайной величины Х. Из определения производной можно записать
¦ (x) = F¢ (x) = ,
т.е. плотность вероятности случайной величины Х в точке х равна пределу отношения вероятности попадания величины Х в интервал (х; х + Dх) к Dх, когда Dх стремится к нулю.
Используя понятия интегральной функции распределения и определенного интеграла можно записать
¦ (x) = F¢ (x) или F (x) = p (x1 < X < x2) = .
Это соотношение имеет простое геометрическое толкование (рис. 5).
Если определяет заштрихованную область в соответствующих пределах, то
p (х < Х < х + Dх) » ¦ (х) Dх.
Рис. 5. Геометрический смысл дифференциальной функции распределения
Из свойств интегрального распределения следует
.
Зная дифференциальный закон распределения можно определить интегральный закон распределения
F (x) = .
Числовые характеристики случайных величин, заданных своими распределениями
Основными характеристиками случайной величины, заданной своими распределениями, является математическое ожидание ( или среднее значение ) и дисперсия.
Математическое ожидание случайной величины является центром ее распределения. Дисперсия характеризует отклонение случайной величины от ее среднего значения.
Если Х дискретная случайная величина, значения хi которой принимают с вероятностью pi, так, что , то математическое ожидание М (Х) случайной величины Х определяется равенством
M (X) = ,
т.е. суммой произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности.
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины является аналог его дискретного выражения
M (X) = .
Действительно, все значения в интервале (х; х + Dх) можно считать примерно равными х, а вероятность таких значений равна ¦ (х) dx (см. ранее). Поэтому значения хi дискретного распределения заменяются х, а вероятности pi - на ¦ (х) dx, а сумма заменяется интегралом.
Дисперсией или рассеянием случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата разности случайной величины и ее математического ожидания.
D (Х) = М [Х - М (Х)]2 = М (Х - х)2 = s2 (х)
Если случайная величина Х дискретна и принимает значения хi с вероятностями pi, то случайная величина (Х - х)2 принимает значения (хi - х)2 с вероятностями Рi. Поэтому для дискретной случайной величины имеем
D (X) = .
Аналогично для непрерывной случайной величины получаем
D (X) = .
Чем меньше величина дисперсии, тем лучше значения случайной величины характеризуются ее математическим ожиданием.
Основные дискретные и непрерывные законы распределения
Как отмечалось ранее, очень часто случайная величина распределена по нормальному закону. Но существуют и другие распределения, имеющие практическое значение. Рассмотрим некоторые из них по условиям возникновения и основным параметрам их характеризующим.