Обработка результатов экспериментов и наблюдений (стр. 7 из 10)
Поэтому
.
Таким образом y = 0,55х + 2,9.
Рис. 10. Графический метод интерполяции
В случае, если экспериментальная зависимость имеет нелинейный характер, то графическим способом в системе координат с равномерными шкалами определить коэффициенты кривой затруднительно. Но достаточно большой класс нелинейных зависимостей путем замены переменных и графического изображения в функциональных шкалах можно привести к линейным и далее использовать способ натянутой нити.
Функциональные шкалы и их применение
Пусть функция y = ¦(х) непрерывна и монотонна на некотором промежутке [ a; b ]. Возьмем ось ОМ, на которой будет строиться шкала, выберем на ней точку начала отсчета О и установим масштаб m. Функциональная шкала строится следующим образом.
Разбив интервал [ а; b ] на равные части, вычисляем значение функции ¦(х) в каждой из точек деления и отложим на оси ОМ для каждой точки отрезок m¦(х). Получающаяся при этом точка снабжается отметкой х, т.е. откладывается в выбранном масштабе значение функции, а надписывается значение аргумента.
Иногда начало шкалы помещают в первую точку отсчета, т.е. точку с надписью а совмещают с 0. Тогда точка х будет находиться в конце отрезка m [ ¦(х) - ¦(а) ]. Полученная шкала позволяет судить о поведении функции на рассматриваемом участке: большие промежутки между отметками укажут, что функция изменяется быстрее, чем там, где эти промежутки малы.
Выбор масштаба m определяет длину шкалы. Чаще поступают наоборот: задаются длиной шкалы l и определяют масштаб.
Þ m = .
Пример. Построим функциональную шкалу для функции y = x2 на участке [ 1; 2 ]. Зададимся длиной шкалы l = 12 см. Тогда m = см. Разобьем отрезок [ 1; 2 ] на десять равных частей и вычислим значения функции во всех точках деления. Совместим начало шкалы с точкой отсчета х = 1. Результаты расчета сведены в табл. 2, а функциональная шкала приведена на рис. 11.
Таблица 2
Расчет функциональной шкалы y = x2
| х | 1,0 | 1,1 | 1,2 | 1,3 | 1,4 | 1,5 | 1,6 | 1,7 | 1,8 | 1,9 | 2,0 |
| х2 | 1,0 | 1,21 | 1,44 | 1,69 | 1,96 | 2,25 | 2,56 | 2,89 | 3,24 | 3,61 | 4,00 |
| х2-1 | 0 | 0,21 | 0,44 | 0,69 | 0,96 | 1,25 | 1,56 | 1,89 | 2,24 | 2,26 | 3,00 |
| 4(х2-1) | 0 | 0,84 | 1,76 | 2,76 | 3,84 | 5,00 | 6,24 | 7,56 | 8,94 | 10,44 | 12,0 |
 |  | |||||||
 |  |  |  |  | | | | |
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0
Рис. 11. Функциональная шкала y = x2
С помощью функциональных шкал графики многих функций могут быть преобразованы к прямолинейному виду.
Например, уравнение параболы y = x2. Если на оси OY нанести равномерную шкалу, а на оси OX1 шкалу квадратов х1 = х2, то получится сетка, где уравнение параболы имеет изображение прямой линии ( y = x1 ),
проходящей через начало координат.
Особенно часто используются различные логарифмические функции, с помощью которых можно ²выпрямлять² графики степенных и показательных функций. Например, y = aebx; lg y = (b lg å) х + lg a. Полагая lg y = y1, lg a = A, b lg e = B запишем исходное уравнение в виде y1 = А + Вх, откуда видно, что оставив равномерной шкалу х и построив логарифмическую шкалу y1, можно изобразить исходное уравнение прямой линией. Полученная координатная сетка называется полулогарифмической.
Очевидно, что такого рода преобразования возможны и в более общем случае. Всякая неявная функция, заданная соотношением вида
аj(х) + by(y) + с = 0,
где a, b, с - постоянные, будет изображаться прямой линией на функциональной сетке, где на оси ОХ построена шкала j(х), а на оси OY - шкала функции y(y). Естественно, что функции j(х) и y(y) должны удовлетворять условиям непрерывности и монотонности. В табл. 3 приведены преобразования для некоторых функций.
Таблица 3
Линеаризация некоторых функций
| Исходная формула | Преобразованная формула | Замена переменных | Линеаризованная формула |
| y=axb | lg y=b×lgx+lga | lg y=y1 lg x=x1 lg a=a1 | y1=bx1+a1 |
| y=a×lgx+b | ¾ | lg x=x1 | y=ax1+b |
| y=ebx+k | lg y=b×lge×x+k×lge | lg y=y1 b×lg e=a k×lg e=k1 | y1=ax+k1 |
| y=aebx | lg y=bx×lge+lga | lg y=y1 b×lg e=b1 lg a=a1 | y1=b1x+a1 |
| y= | ¾ | y=ax1+b | |
| y= | y1=ax+b | ||
| y= | y1=bx1+a |
Из сказанного ясна роль функциональных сеток при обработке результатов эксперимента. Если результаты эксперимента располагаются вблизи кривой, то по имеющемуся ограниченному участку кривой трудно судить, какого типа функцией ее лучше всего приближать. Переведя полученные экспериментальные данные на функциональные сетки можно оценить на какой из них эти данные ближе всего подходят к прямой и, следовательно, какой функцией лучше всего описываются.
Аналитические методы обработки результатов
Графический метод обработки результатов обладает наглядностью, относительной простотой, однако его результаты содержат определенную субъективность и относительно низкую точность.
Аналитические методы лишены в какой - то степени указанных недостатков и позволяют получить результат для более широкого класса функций с большей точностью, чем графический метод.
Существуют различные аналитические методы получения параметров эмпирических кривых в зависимости от критерия, принятого при их получении. Рассмотрим некоторые из существующих способов.
Способ средней
Допустим, что имеется n сочетаний xi, yi, полученных при эксперименте. Даже в том случае, если между х и y теоретически установлена функциональная связь ( в данном случае предположим, что линейная ), то наблюдаемые значения yi будут отличаться от ахi + b вследствие наличия экспериментальных ошибок. Обозначим через Di соответствующую ошибку
Di = yi - axi - b (i = 1, 2, ..., n)
Если выбирать параметры а и b так, чтобы для всех n наблюдений ошибки уравновешивались, т.е. , то это привело бы нас к одному уравнению, тогда как для нахождения двух коэффициентов (а, b) их требуется два. Поэтому предположим, что уравновешивание происходит не только для всех произведенных наблюдений в целом, но и для каждой группы, содержащей половину ( или почти половину ) всех наблюдений в отдельности.
В этом случае можно прийти к системе уравнений
,
где m - число наблюдений в первой группе.
Данную систему уравнений запишем теперь в виде
.
Изложенное показывает, что метод средних ²уравновешивает² положительные и отрицательные отклонения теоретической кривой от экспериментальных значений.