Пример.Используя данные рис. 10 определим коэффициенты а, b методом средней. Для этого семь измерений разделим на две группы m = 3 первых значений, n - m = 4 последующих
; ;
; .
Получаем систему
Решая систему находим
;
b =
Таким образом способ средней дает прямую
y = 0,55х + 3,11.
В сравнении с графическим способом коэффициенты а совпадают и имеется различие в коэффициенте b.
3.3.2. Метод наименьших квадратов
В методе средних при определении коэффициентов уравнения использовалось условие равенства нулю алгебраической суммы отклонений результатов эксперимента от теоретической кривой ( в частном случае прямой ). Очевидно, что при этом Di могут быть значительной величины. Имеет значение только ²уравновешивание² положительных и отрицательных отклонений.
Поставим теперь задачу нахождения по результатам наблюдений наиболее вероятные значения неизвестных коэффициентов.
Предположим, что искомая зависимость y = ¦(х) существует. Тогда параметры этой линии необходимо выбрать таким образом, чтобы точки yi располагались по обе стороны кривой y = ¦(х) как можно ближе к последней. Предположим, что разброс точек yi относительно y = ¦(х) подчиняется закону нормального распределения. Тогда мерой разброса является дисперсия s2 или ее приближенное выражение - средний квадрат отклонений.
.
И требование минимального разброса будет удовлетворено, если минимизировать выражение ( Dyi )2. Как известно, необходимым условием того, что функция приобретает минимальное значение, является то, что ее первая производная ( или частные производные для функции многих переменных ) равна нулю. Применение метода наименьших квадратов имеет смысл, если число экспериментальных точек n больше числа определяемых коэффициентов.
Рассмотрим реализацию метода наименьших квадратов применительно к уравнению вида y = ax + b.
Для нахождения коэффициентов а, b искомой прямой необходимо минимизировать сумму квадратов расстояний Dyi по ординате от точки (хi; yi) до прямой ( см. рис. 12 ). Расстояния Dyi определятся
Dyi = yi - axi - b.
Рис. 12. К способу наименьших квадратов
Для минимизации приравниваем к нулю производные этой суммы по параметрам а, b:
;
.
Преобразуем эту систему
Получим систему нормальных уравнений метода наименьших квадратов.
Решая ее относительно а, b получаем:
; .
Вычисляя из n опытов необходимые суммы и производя указанные действия, получаем величину коэффициентов а, b.
Как видно, способ наименьших квадратов достаточно громоздок и при его применении широко используется вычислительная техника. Метод наименьших квадратов может использоваться и в случае нелинейных функций. Например, если определяются параметры квадратичной зависимости:
y = ах2 + bx + с,
то
.
Дифференцируя это соотношение по а, b, с получаем систему нормальных уравнений:
Из этой системы можно определить параметры а, b, с.
При использовании метода наименьших квадратов при других нелинейностях, удобнее будет линеаризовать исходные зависимости.
В табл. 4 приведены системы нормальных уравнений для некоторых исходных уравнений.
Таблица 4
Системы нормальных уравнений
| Исходное уравнение | Система нормальных уравнений |
| y=axb | |
| y=a×lgx+b | |
| y=eax+b | |
| y=aebx | |
| y= | |
| y= | |
| y= |
Примечания: 1. Величины х, y обозначают значения величин хi, yi в i-ом
опыте;
Знак S обозначают сумму величин от i = 1 до i = n, где n
- число равноточных измерений.
Интерполирование функций
Известно, что под интерполированием понимают отыскание значений функции, соответствующих промежуточным значениям аргумента, отсутствующим в таблице логарифмов, тригонометрических и др. функций.
В общем смысле можно сказать, что задача интерполирования обратна задаче табулирования функций. При интерполировании по таблице значений функции строится ее аналитическое выражение, т.е. по значениям функции yo, y1, ..., yn при значениях аргумента хо, х1, ..., хn определяется выражение неизвестной функции.
Понятно, что через данные точки ( даже большого числа ) можно провести множество различных кривых. Поэтому существует интерполирование в различных функциях F (х). Чаще всего требуют, чтобы функция F(х) была многочленом степени на единицу меньшей, чем число известных значений.
Таким образом, задачу интерполирования функций можно сформулировать следующим образом.
Для данных значений х º хо, х1, ..., хn и y º yo, y1, ..., yn найти многочлен y = F (х) степени n, удовлетворяющий условиям F (хо) = yo, F (х1) = y1, ..., F (хn) = yn. Точки хо, х1, ..., хn называют узлами интерполяции. Многочлен F (х) - интерполяционным многочленом , а формулы его построения - интерполяционными формулами.
Как видно из описания сущности интерполирования, в отличии от описанных ранее способов получения функций ( графического, метода средних, метода наименьших квадратов ), интерполяционный многочлен опишет кривую, проходящую точно через заданные точки.
Параболическое интерполирование
При параболическом интерполировании в качестве интерполяционного многочлена F (х) принимают многочлен n - ой степени вида
F (х) = ао + а1х + а2х2 + ... + аnxn.
Используя свойство прохождения функции F (х) через заданные точки для неизвестных коэффициентов аi можно составить n + 1 уравнений с n + 1 неизвестным:
ао + а1хо + а2хо2 + ... + аnхоn = yo;
ао + а1х1 + а2х12 + ... + аnх12 = y1;
....................................................
ао + а1хn + а2хn2 + ... + аnхn2 = yn.
Эта система имеет единственное решение, если значения хi отличны друг от друга. Понятно, что при большом n возникает сложность решения этой системы. Перед рассмотрением общего способа решения, рассмотрим простой пример.
Дано: хо = 0, х1 = 1, х2 = 2, yо = 1, y1 = 1, y2 = 3. Определить многочлен F (х).
Записывая многочлен F (х) в виде
F (х) = ао + а1х + а2х2
составим систему уравнений
или
откуда ао = 1, а1 = - 1, а2 = 1 и интерполирующий многочлен имеет вид
F (х) = 1 - х + х2.
Теперь рассмотрим общий подход к отысканию интерполяционного многочлена F (х), не решением системы, а непосредственной записью.
Определим выражение для многочлена, принимающего в точке х = хо значение yо = 1, а в точках х = х1, х2, ..., хn - значения y1 = y2 = ... = yn = 0. Очевидно, что многочлен будет иметь вид
.
Здесь при х = хо числитель и знаменатель равны, а при х = х1, х2, ..., хn - числитель равен нулю.
Теперь построим многочлен Fо (х), принимающий в точке хо значение yо и обращающийся в нуль для значений х = х1, х2, ..., хn. Учитывая предыдущее построение можно записать
.
Теперь можно записать многочлен F (х) для произвольного значения хi ( i = 0, 1, 2, ..., n ) принимающего значения F (хi) = yi, а во всех остальных точках х ¹ хi значение, равное нулю
.
Как видно из записи, числитель не будет содержать выражения (х - хi), а знаменатель - (хi - хi), т.е. выражений, обращающих числитель и знаменатель в нуль.
Искомый многочлен будет равен сумме
,
т.е. снова в каждой точке хi одно из слагаемых принимает нужное значение yi, а все остальные обращаются в нуль.
В развернутом виде
=
... + .
Полученная формула называется интерполяционной формулой Лагранжа.
Используя формулу Лагранжа запишем многочлен F (х) для разобранного выше примера.
=
=.
Получили тоже самое выражение, что и ранее.
Контрольные вопросы
Назначение графического метода обработки результатов;
Сущность графического метода обработки результатов;
Понятие и назначение функциональной шкалы;
Выбор масштаба функциональной шкалы;
Сущность аппроксимации методом средних;
Сущность аппроксимации методом наименьших квадратов;
Принципиальное отличие метода интерполирования от метода наименьших квадратов.
4.ОСНОВЫ НОМОГРАФИИ
Номография - слово греческое. Номос - закон, графо - пишу, черчу. В буквальном переводе это слово означает ²черчение закона².
Своей задачей номография ставит построение специальных графиков - номограмм, служащих для решения различных уравнений. Номограммы дают возможность компактно представлять функции многих переменных и таблицы с несколькими входами. На номограммах можно решать некоторые трансцендентные уравнения и системы таких уравнений. Номограммы можно применять не только для вычислительных целей, но и для исследования положенных в их основу функциональных зависимостей.
Наглядность представления различных закономерностей и простота использования номограмм при достаточно высокой точности результата обеспечивают широкое использование номограмм в различных областях техники.
В основе номограмм лежит понятие функциональной шкалы ( см. выше ). На основе функциональных шкал создаются не только номограммы, но и различные вычислительные средства: универсальные вычислительные номограммы, логарифмические линейки и т.п.
В данной главе излагается один из возможных видов номограмм - номограммы в декартовой системе координат, имеющие достаточно широкое использование в машиностроении.