Номограммы в декартовой системе координат
В разделах 3.1., 3.2. описана процедура построения графиков для функции одного переменного. При этом на графике получается одна линия ( прямая или кривая ).
Если же изучаемая функция зависит от двух переменных
Z = ¦ (х, y),
то придавая в этом уравнении, например, параметру y ряд частных ( постоянных ) значений y1, y2, ..., yn можно, как и для функции одного переменного, построить зависимости
Z = ¦ (х, y1);
Z = ¦ (х, y2);
...................
Z = ¦ (х, yn).
Получим систему кривых ( в частном случае прямых ), называемых номограммой из ²помеченных² линий, т.к. каждая линия помечается соответствующим значением yi.
Пример. При исследовании процесса фрезерования было установлено, что наиболее целесообразно величину радиального биения смежных зубьев фрезы назначать по условию обеспечения участия в процессе резания всех зубьев фрезы. Аналитически это условие выражается уравнением
,
где Sz - расчетная величина подачи на зуб, мм/зуб;
k = - параметр операции;
D - диаметр фрезы, мм;
t - глубина резания, мм;
D - величина биения смежных зубьев фрезы, мм.
Как видно, Sz = ¦ (k, D) является функцией двух параметров. Здесь можно отметить, что, фактически Sz = ¦ (D, t, D), т.е. функцией трех параметров, но два параметра (D, t) заменены одним - k = , легко определяемым и уменьшающим количество переменных. Данный прием широко используется в номографии.
Теперь необходимо определиться с осями и помеченным параметром. В качестве оси ординат, в соответствии с функциональной зависимостью, рационально принять Sz. В качестве же оси абсцисс можно принять либо k, либо D. Если в качестве оси ординат принять k ( а помеченным параметром Di ), то зависимость
Sz = ¦ (k, Di)
будет получаться криволинейной, в соответствии с закономерностью . Проще строить и использовать прямолинейные графики при равномерных шкалах. Поэтому стараются номограммы строить на основе прямых линий. Поэтому лучше будет строить номограмму из помеченных линий вида
Sz = ¦ (D, Ki),
где .
Теперь выбираем масштаб построения и диапазоны изменения переменных. С учетом условий процесса фрезерования принимаем D £ 0,08 мм; Sz £ 0,20 мм/зуб. Параметр k изменяем дискретно k = 2; 5; 10; 20; 30; 40; 50. Так как зависимость Sz = ¦ (D, Ki) является прямой линией, проходящей через начало координат, то для построения графиков достаточно вычислить только одно значение Sz при каком - либо значении D. Например, для k = 2, при D = 0,06 мм имеем
( мм/зуб ).
Теперь через точки ( 0; 0 ) и ( 0,06; 0,06 ) можно провести прямую линию и пометить ее параметр k = 2. Аналогично проводятся и другие линии ( рис. 13 ). На номограмме наносится линия, показывающая порядок ее использования.
Рис. 13. Номограмма определения допустимой величины
радиального биения смежных зубьев фрезы.
4.2. Составные номограммы с помеченными линиями
Номограмму в одной четверти можно построить для функции двух переменных. При большем числе переменных это сделать уже нельзя. В этом случае используют составные номограммы. Идею построения рассмотрим сначала в общем виде.
Пусть нам дано уравнение в неявном виде с четырьмя переменными
¦ (х, y, z, h) = 0.
Допустим, что его можно привести к виду
¦1(х, y) = ¦2 (z, h),
т.е. можно разделить переменные. Положим
¦1 (х, y) = g;
¦2 (z, h) = g.
Мы получим два уравнения, зависящих от двух переменных. Каждое из этих уравнений можно номографировать, как описано выше. Обеспечив отсчет величины g на одинаковой функциональной шкале, можно обойтись и без численных значений g ( если они нас не интересуют по условиям решаемой задачи ). Схематически такая номограмма приведена на рис. 14.
Рис. 14. Схема номограммы с помеченными линиями
с четырьмя переменными
Аналогично поступают и с уравнениями с большим числом переменных, которое будет приводить к увеличению числа общих шкал и большему числу четвертей построения номограммы. Нужно только иметь в виду, что не всякое уравнение допускает разложение на несколько уравнений с двумя переменными и, следовательно, не всякое уравнение удается таким образом номографировать.
Рассмотрим реальный пример построения составной номограммы.
При исследовании процесса фрезерования было установлено, что сила резания при фрезеровании узких поверхностей приобретает характер повторяющихся импульсов не гармонической формы. И возмущение технологической системы осуществляется не на одной, а в бесконечном диапазоне частот. Наиболее опасно воздействие первых трех гармоник, несущих значительно больше энергии возмущения, чем все другие. Распределение энергии по этим трем гармоникам осуществляется в зависимости от отношения фронтов нарастания и спада силы в импульсе. Это отношение можно характеризовать отношением углов контакта фрезы (j) и зуба фрезы (y) с заготовкой. Причем всегда j ³ y.
Для наглядного представления и определения характера распределения энергии по трем гармоникам в зависимости от условий операции построим номограмму.
В одной из четвертей первоначально отражается характер распределения энергии по гармоникам возмущения в зависимости от j/y (рис. 15). Эти зависимости построены из результатов исследований, которые здесь не отражаются. Коэффициент Х2 характеризует ²удельный вес² энергии данной гармоники в общем силовом возмущении. Диапазон j/y = 1...9.
Теперь отношение j/y раскрываем в параметрах инструмента и операции
.
Видно, что здесь четыре переменных величины: D, t, B, w.
Введем промежуточную ось С и построим номограмму из помеченных линий для одной из переменных величин, а именно Вi
.
Видно, что это уравнения прямых линий, проходящих через начало координат. Задаваясь одним значением j/y и Вi можно провести ее график. Например, при j/y = 5, Вi = 5 получим С = 2×5×5 = 50. Аналогично поступаем для Вi = 10; 15; 20.
Далее вводим следующую промежуточную ось ( и соответственно переменную ) L = C ×tg wi. Задаваясь величинами угла wi и С можно определить положение помеченных линий. Например, при w = 45°, С = 50
L = 50×tg 45° =50. Àíàëîãè÷íî ïîñòóïàåì è äëÿ äðóãèõ óãëîâ wi = 15°; 30°; 60°; 75°. Проводим прямые линии через начало системы координат и помечаем значение угла wi каждой линии.
Таким образом осталась одна взаимосвязь параметров
.
Здесь необходимо определиться с параметром, направленном по оси и ²помеченным² параметром. В любом случае зависимость нелинейная. Кроме того, глубина резания является задаваемым параметром и его лучше взять в качестве ²помеченного² параметра. Для построения помеченных линий нужно определить несколько координат каждой линии.
Рассмотрим ²помеченную² линию t = 5 мм. В качестве переменного параметра принимаем диаметр фрезы D. При D = 25; 50; 100; 150; 200 мм соответственно имеем
По найденным точкам строится линия для t = 5 мм. Аналогично поступают и для других значений t.
На рис. 15 показана построенная номограмма. Указаны промежуточные оси С, L, которые при использовании номограммы не нужны и могут не указываться, указаны и частные зависимости для каждой четверти номограммы.
Полученная номограмма наглядно показывает, что распределение энергии по гармоникам возмущения технологической системы определяется условиями операции, изменяя которые можно воздействовать на возмущение технологической системы.
Для исключения резонансных явлений необходимо знать спектр собственных частот системы и согласовывать условия операции с их значениями, уменьшая количество энергии на ²резонансной² частоте. Эти данные, как правило, отсутствуют. Поэтому используя номограмму можно скорректировать условия операции. Для этого по известным параметрам фрезы, которая показала неудовлетворительные результаты, и элементам режима резания необходимо определить распределение энергии по гармоникам возмущения и выбрать другое распределение. Так как глубину резания и ширину фрезерования изменять, как правило, невозможно, а изменение угла наклона режущей кромки часто нецелесообразно по условиям
Рис. 15. Номограмма распределения энергии по гармоникам
возмущения и условия операции
стойкости инструмента, то новое распределение энергии можно получить изменив диаметр фрезы ( в большую или меньшую сторону по сравнению с первоначальным ). При этом необходимо сохранить прежним относительное число зубьев ( z/D) и скорость резания, так как число оборотов и зубьев фрезы играют самостоятельную роль в определении частотного диапазона возмущения (inz).
Как видно из изложенного, номограмма может существенно помогать в управлении процессом резания, на основе заложенных в нее функциональных зависимостей.
Контрольные вопросы
Сущность и назначение номографии;
Функцию какого числа переменных можно отразить в одной четверти декартовой системы координат ?
Понятие номограммы из ²помеченных² линий;
Сущность составной номограммы и промежуточной функциональной шкалы.
ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
В целях закрепления знаний и получения практических навыков предлагается решить несколько задач, имеющих практическую направленность.
При измерении твердости по Роквеллу были получены следующие результаты. Для образца А: 97,0; 98,7; 99,9; 99,5; 97,1; 99,5; 92,0; 100,6; 99,7; 98,0; 98,5; 99,5; 99,7; 99,5; 99,0; 98,5; 99,5; 98,8; 98,5; 99,1; 98,4; 96,6; 97,2; 101,7; 97,2; 98,2; 97,5; 97,7; 99,0; 99,0; 97,5. Для образца В, проверяемого на этом же приборе: 85,6; 87,1; 87,9; 86,9; 85,6; 85,2; 85,5; 85,7; 84,7; 86,4; 80,0; 85,0; 82,0; 86,0; 86,0; 87,3; 84,5; 87,0; 87,3; 85,4; 91,0; 90,0; 90,8; 89,2; 91,0; 90,4; 84,1; 81,7; 87,4; 84,0; 85,2.