Операторы в вейвлетном базисе (стр. 2 из 3)

где

, (1.22)

можно показать, что при каждом фиксированном масштабе jÎZ вейвлеты

{y_j,k(x)=2^-j/2y(2^-jx-k)}_kÎZ образуют ортонормальный базис пространства W_j.

Равенство (1.17) определяет пару квадратурных зеркальных фильтров (quadrature mirror filters, QMF)H и G, где

и . Коэффициенты QMFH и G вычисляются с помощью решения системы алгебраических уравнений. Число L коэффициентов фильтра в (1.11) и (1.22) связано с числом исчезающих моментов М, и всегда четно.

Выбранный фильтр Н полностью определяет функции j и y и, таким образом, многомасштабный анализ. Кроме того, в правильно построенных алгоритмах значения функций j и y почти никогда не вычисляются. Благодаря рекурсивному определению вейвлетного базиса, все операции проводятся с квадратурными зеркальными фильтрами H и G, даже если в них используются величины, связанные с j и y.

4. ОПЕРАТОРЫ

Сжатие операторов или, другими словами, представление их в разреженном виде в ортонормированном базисе непосредственно влияет на скорость вычислительных алгоритмов.

Нестандартная форма оператора Т с ядром K(x,y) достигается вычислением следующих выражений:

(4.1)

(4.2)

(4.3)

4.1 Оператор d/dxв вейвлетном базисе

Нестандартные формы некоторых часто используемых операторов могут быть вычислены явно. Построим нестандартную форму оператора d/dx. Матричные элементы

, , матриц , , и матрицы , где i, l, jÎZдля оператора d/dx легко вычисляются как

(4.4)

(4.5)

(4.6)

(4.7)

где

(4.8)

(4.9)

(4.10)

(4.11)

Кроме того, используя (1.8) и (1.19), имеем

(4.12)

(4.13)

(4.14)

Таким образом представление d/dxполностью определяется величинами

или, другими словами, отображением d/dxна подпространство V₀.

Предложение 4.1. 1. Если существует интеграл (4.11), тогда коэффициенты

, lÎZв (5.8) удлвлетворяют следующей системе линейных алгебраических уравнений:

(4.15)

(4.16)

где

(4.17)

2. Если

, тогда система (4.15)-(4.16) имеет единственное решение с конечным числом ненулевых , а именно с

и

.

Замечание. Если М=1, тогда система (4.15)-(4.16) имеет единственное решение, но интеграл (4.11) может не быть абсолютно сходящимся. Для базиса Хаара (

) , мы получаем простейший конечный дифференциальный оператор .

Замечание 2. Заметим, что выражения (4.12) и (4.13) для

и ( ) могут быть упрощены с помощью смены порядка суммирования в (5.10) и (5.11) и введения коэффициентов корреляции , и . Выражение для особенно просто: .

Для доказательства Предложения 4.1 можно обратиться к [2].

Для решения системы (4.15)-(4.16) можно также воспользоваться итерационным алгоритмом. Начать можно с

и , а дальше итерировать, используя (4.15) для вычисления .

4.2 Оператор dⁿ/dxⁿв вейвлетном базисе

Так же как и для оператора d/dx, нестандартная форма оператора dⁿ/dxⁿполностью определяется своим отображением на подпространство V₀, т.е. коэффициентами

, lÎZ, (4.18)

если интеграл существует.

Предложение 4.2. 1. Если интеграл в выражении (4.18) существует, тогда коэффициенты

, lÎZудовлетворяют следующей системе линейных алгебраических уравнений

(4.19)

(4.20)

где

дано в формуле (4.17).

2. Пусть M≥ (n+1)/2, где М – число исчезающих моментов. Если интеграл в (4.18) существует, тогда система (4.19)-(4.20) имеет единственное решение с конечным числом нулевых коэффициентов

, а именно для . Также для четных n

(4.21)

(4.22)

(4.23)

а для нечетных n

(4.24)

(4.25)

Замечание 3. Если M≥ (n+1)/2, тогда решение линейной системы в Предложении 2 может существовать, когда интеграл в (4.18) не является абсолютно сходящимся.

Интегральные уравнения второго рода

Линейное интегральное уравнение Фредгольма есть выражение вида

,