Операторы в вейвлетном базисе (стр. 3 из 3)

где ядро

, а неизвестная функция f(x) и функция в правой части

. Для простоты будем рассматривать интервал

и введём следующее обозначение для всех

Предположим, что {φ₁, φ₁,…} – ортонормальный базис для

; ядро представимо в этом базисе в следующем виде:

где коэффициенты K_ijвычисляются по формуле

Аналогично функции fи gпредставимы в виде

где коэффициенты f_iи g_iвычисляются по формулам:

, i=1,2,…

Интегральное уравнение в этом случае соответствует бесконечной системе уравнений

, i=1,2,…

Представление ядра может быть урезано до конечного числа слагаемых, что приводит к представлению интегрального оператора R:

который аппроксимирует K. Тогда интегральное уравнение аппроксимируется системой nуравнений с nнеизвестными:

, i=1,2,…,n

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

function [a,r]=dif_r(wname)

[LO_D,HI_D,LO_R,HI_R] = wfilters(wname);

% вычисление коэффициентов a_2k-1

len=length(LO_D);

a=zeros(len-1,1);

for k=1:len-1;

for i=0:len-2*k;

a(2*k-1)=a(2*k-1)+2*LO_D(i+1)*LO_D(i+2*k);

end;

% вычисление коэффициентов r_l

f=zeros(len-2,1);

f(1)=-1/2;

R=zeros(len-2);

for l=len-2:-1:2;

R(l,l)=-1;

if (2*l<=len-2)

R(l,2*l)=2;

end;

for n=1:2:len-1;

if (abs(2*l-n)<len-2);

if ((2*l-n)<0);

R(l,abs(2*l-n))=-a(n)+R(l,abs(2*l-n));

else

R(l,2*l-n)=a(n)+R(l,2*l-n);

end;

if (abs(2*l+n)<len-2);

if ((2*l+n)<0);

R(l,abs(2*l+n))=-a(n)+R(l,abs(2*l+n));

else

R(l,2*l+n)=a(n)+R(1,2*l+n);

end;

for j=1:len-2;

R(1,j)=j;

end;

r=inv(R)*f;

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

function [al, bet, gam]=difcoef(wname,N)

% извлечение коэффициентов r_l

[LO_D,HI_D,LO_R,HI_R] = wfilters(wname);

[a,r]=dif_r(wname);

L=length(LO_D);

% вычисление значений α_l,β_l,γ_l

J=length(r):-1:1;

R=[-r(J);0; r];

K=L+1;

al=zeros(2*L+1,1);

bet=al;

gam=al;

for i=-L+1:L+1;

for k=L+1:2*L;

for k1=L+1:2*L;

if(((2*i+k-k1+L)<length(R)+1)&&((2*i+k-k1+L)>0))

al(i+L)=HI_D(k-L)*HI_D(k1-L)*R(2*i+k-k1+L)+al(i+L);

bet(i+L)=HI_D(k-L)*LO_D(k1-L)*R(2*i+k-k1+L)+bet(i+L);

gam(i+L)=LO_D(k-L)*HI_D(k1-L)*R(2*i+k-k1+L)+gam(i+L);

end;

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

1. Вейвлет Добеши с M=2.
a₁=1.1250 a₃=-0.1250
r₁=-0.6667 r₂=0.0833

2. Вейвлет Добеши сM=3.
a₁=1.1719 a₃=-0.1953 a₅=0.0234

r₁=-0.7452 r₂=0.1452 r₃=-0.0146 r₄=-0.0003

3. Вейвлет Добеши сM=4.
a₁=1.19628906249870 a₃=-0.23925781249914
a₅=0.04785156250041 a₇=-0.00488281249997

r₁=-0.79300950497055 r₂=0.19199897079726 r₃=-0.03358020705113

r₄= 0.00222404967066 r₅=0.00017220619000 r₆=-0.00000084085054

4. Вейвлет Добеши с M=5.
a₁=1.21124267578280 a₃=-0.26916503906311 a₅=0.06921386718738

a₇=-0.01235961914130 a₉=0.00106811523422

r₁=-0.82590601185686 r₂=0.22882018706986 r₃=-0.05335257193327

r₄=0.00746139636621 r₅=-0.00023923581985 r₆=-0.00005404730164

r₇=-0.00000025241171 r₈=-0.00000000026960

5. Вейвлет Добеши сM=6.

a₁=1.22133636474683 a₃=-0.29079437255810 a₅=0.08723831176674

a₇=-0.02077102661228 a₉=0.00323104858448 a₁₁=-0.00024032592766

r₁=-0.85013666156022 r₂=0.25855294414318 r₃=-0.07244058999853

r₄=0.01454551104340 r₅=-0.00158856154379 r₆=0.00000429689148

r₇=0.00001202657519 r₈=0.00000042069120 r₉=-0.00000000289967

r₁₀=0.00000000000070

6. Вейвлет Койфмана с M=2.
a₁=1.20035616471068 a₃=-0.24753371156550 a₅=0.05401594511476

a₇=-0.00724698442340 a₉=0.00043220193586 a₁₁=-0.00002361577240

r₁=-0.80177838961957 r₂=0.20214744976459 r₃=-0.03943577686925

r₄=0.00404789045961 r₅=-0.00008445623632 r₆=0.00000255044096

r₇=0.00000088836508 r₈=0.00000000237860 r₉=-0.00000000002099

r₁₀=0.00000000000000

7. Симлет с M=2.

a₁=1.12499999999971 a₃=-0.12499999999971

r₁=-0.66666666666616 r₂=0.08333333333308

8. Симлет с M=3.

a₁=1.17187500000666 a₃=-0.19531250000432 a₅=0.02343749999766
r₁=-0.74520547946903 r₂=0.14520547945865 r₃=-0.01461187214494
r₄=-0.00034246575336

9. Симлет с M=4.

a₁=1.19628906249990 a₃=-0.23925781249985 a₅=0.04785156249993

a₇=-0.00488281249998

r₁=-0.79300950497424 r₂=0.19199897079876 r₃=-0.03358020705098

r₄=0.00222404967071 r₅=0.00017220619000 r₆=-0.00000084085054

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

1. Вейвлет Добеши с M=2.

α_-3=-0.00520833333331	β_-3 =-0.00139556871057	γ_-3=0.01943776462271
α_-2=0.04687500000004	β_-2=0.02222890204378	γ_-2=-0.04027109795592
α_-1=0.71874999999873	β_-1=-0.03887552924536	γ_-1=0.00279113742108
α₁=-0.71874999999873	β₁=-0.00279113742108	γ₁=0.03887552924536
α₂=-0.04687500000004	β₂=0.04027109795592	γ₂=-0.02222890204378
α₃=0.00520833333331	β₃=-0.01943776462271	γ₃=0.00139556871057

2. Вейвлет Добеши с M=3.

α_-5=-0.00000401327055	β_-5 =0.00000042496289	γ_-5=-0.00003790058109
α_-4=0.00173507063342	β_-4=-0.00018594182937	γ_-4=0.01618803080395
α_-3=-0.01438088613327	β_-3=0.00249383057321	γ_-3=-0.05023776816965
α_-2=0.09779091752885	β_-2=-0.02225975249164	γ_-2=0.03807446337594
α_-1=0.84450449488848	β_-1=0.05176823864378	γ_-1=0.02782997442973
α₁=-0.84450449488848	β₁=-0.02782997442973	γ₁=-0.05176823864378
α₂=-0.09779091752885	β₂=-0.03807446337594	γ₂=0.02225975249164
α₃=0.01438088613327	β₃=0.05023776816965	γ₃=-0.00249383057321
α₄=-0.00173507063342	β₄=-0.01618803080395	γ₄=0.00018594182937
α₅=0.00000401327055	β₅=0.00003790058109	γ₅=-0.00000042496289

Вейвлет Добеши сM=4.

α_-7=0.00000000205286	β_-₇ =0.00000000009443	γ_-₇=-0.00000004462725
α_-6=-0.00000544992677	β_-₆ =-0.00000025123058	γ_-₆=0.00011822433115
α_-5=-0.00041543477135	β_-5 =-0.00001769213018	γ_-5=0.00969983443149
α_-4=0.00432716179594	β_-4=0.00030224225713	γ_-4= -0.04151919818136
α_-3=-0.02134228538239	β_-3=-0.00242879427312	γ_-3= 0.05677199535135
α_-2=0.14516544960962	β_-2=0.01699891329704	γ_-2=-0.00862627283270
α_-1=0.93050197130889	β_-1=-0.04758076037403	γ_-1=-0.04917088083201
α₁=-0.93050197130889	β₁= 0.04917088083201	γ₁=0.04758076037403
a₂=-0.14516544960962	β₂= 0.00862627283270	γ₂=-0.01699891329704
a₃=0.02134228538239	β₃= -0.05677199535135	γ₃=0.00242879427312
α₄=-0.00432716179594	β₄=0.04151919818136	γ₄=-0.00030224225713
a₅=0.00041543477135	β₅=-0.00969983443149	γ₅=0.00001769213018
a₆=0.00000544992677	β₆=-0.00011822433115	γ₆=0.00000025123058
α₇=-0.00000000205286	β₇= 0.00000004462725	γ₇=-0.00000000009443

3. Симлет с M=2.

α_-3=-0.00520833333331	β_-3 =-0.00139556871057	γ_-3=0.01943776462271
α_-2=0.04687500000004	β_-2=0.02222890204378	γ_-2=-0.04027109795592
α_-1=0.71874999999873	β_-1=-0.03887552924536	γ_-1=0.00279113742108
α₁=-0.71874999999873	β₁=-0.00279113742108	γ₁=0.03887552924536
α₂=-0.04687500000004	β₂=0.04027109795592	γ₂=-0.02222890204378
α₃=0.00520833333331	β₃=-0.01943776462271	γ₃=0.00139556871057

ЛИТЕРАТУРА

1. Beylkin G. Wavelets and Fast Numerical Algorithms

2. Beylkin G. Wavelets, Multiresolution Analysis and Fast Numerical Algorithms

3. Beylkin G. In The Representation.of Operators in Bases of Compactly Supported Wavelets

4. Bradley K. Alpert A Class of Bases in L² for the Sparse Representation of Integral Operators

5. Дремин И.М., Иванов О.В., Нечитайло В.А. Вейвлеты и их использование // Успехи физических наук – 2001, №5. – С.465-500