Определение рационального варианта размещения производственно-хозяйственных предприятий (на примере АБЗ) и выбор оптимального маршрута поездки коммивояжера (стр. 1 из 2)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МАДИ (ТУ)

КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Выполнил: Белоногов М.В.

Группа 4ВЭДС₃

Проверил: Беляков Г.С.

Москва 1999-2000

Раздел 1.

Выбор оптимального маршрута поездки.

Постановка задачи:

Машина с инкассатором ежедневно забирает выручку 4-х торговых точек (пункты Б, В, Г, Д), расположенных на разных улицах города и отвозит ее в банк (пункт А). Определено время на проезд по различным улицам с учетом интенсивности движения по ним транспортного потока. Требуется найти маршрут движения инкассаторской машины, который начинался и заканчивался бы в пункте А, позволял посетить каждую торговую точку и проехать по соответствующей улице только один раз и характеризовался минимальными затратами времени на поездку. Маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г.

Порядок решения задачи:

1. Определить кратчайшие расстояния между различными парами пунктов используя алгоритм поиска кратчайших путей на циклической сети.

А 1 Б

4 В 2

Д 3 Г

Найдем кратчайшие расстояния до пункта А.

пункт i	А	Б	В	Д	1	4
y_i	0	¥	¥	¥	¥	¥
28	13	17	8,32	9
16,64

Первоначально принимаем расстояния до пункта А равными бесконечности, а расстояние от А до самого себя равным нулю.

Затем пересчитываем величины y_iиспользуя правило:

Если y_j + l_ij< y_i, то величина y_i = y_j + l_ij, в противном случае y_i оставляем без изменений.Расчет начинаем с пункта А и дуг, которые в него входят.

y_A + l_4A=0+9=9 < y₄=¥Þ y₄=9

y_A + l_BA=0+13=13 < y_B=¥Þ y_B=13

y_A + l_1A=0+8,32=8,32 < y₁=¥Þ y₁=8,32

Теперь рассматриваем пункт i для которого y_iперестала быть равной бесконечности и дуги, которые в него входят.

y₄ + l_B4=9+7=16 > y_B=13

y₄ + l_Д₄=9+8=17 < у_Д=¥Þ y_Д=17

y_В + l_ДВ=13+12=25 > y_Д=17

y_В + l_БВ=13+15=28 < у_Б=¥Þ y_Б=28

y_В + l_1В=13+9=22 > у₁=8,32

y₁ + l_В1=8,32+10=18,32 > y_В=13

y₁ + l_Б1=8,32+8,32=16,64 < у_Б=28 Þ y_Б=16,64

y_Д + l_4Д=8,32+17=25,32 > y₄=9

y_Д + l_ВД=17+12,32=29,32 > y_В=13

y_Б + l_ВБ=16,64+15,32=31 > y_В=13

y_Б + l_1Б=16,64+8=24,64 > y₁=8,32

Теперь проверим условие l_ij³ y_i - y_jдля всех дуг сети.

l_4A = у₄ - у_А 9=9-0

l_4Д>у₄ – у_Д 8,32>9-17

l_Д4 = у_Д – у₄ 8=17-9

l_ДВ>у_Д – у_В 12>17-13

l_BA= y_B - y_A 13=13-0

l_BД> y_B – y_Д 12,32>13-17

l_BБ> y_B – y_Б 15,32>13-16,64

l_B4> y_B – y₄ 7>13-9

l_B1> y_B – y₁ 10>13-8,32

l_БВ>у_Б - у_В 15>16,64-13

l_Б1 = у_Б – у₁ 8,32=16,64-8,32

l_1А = у₁ – у_А 8,32=8,32-0

l_1В>у₁ – у_В 9>8,32-13

l_1Б>у₁ – у_Б 8>8,32-16,64

Чтобы найти кратчайшие пути, найдем дуги для которых выполняется условие:

l_ij = y_i - y_j

Таковыми являются:

l_4A = у₄ - у_А 9=9-0

l_Д4 = у_Д – у₄ 8=17-9

l_BA= y_B - y_A 13=13-0

l_Б1 = у_Б – у₁ 8,32=16,64-8,32

l_1А = у₁ – у_А 8,32=8,32-0

Кратчайшие расстояния до пункта А равны:

пункт	4	Д	Б	1	В
расстояние до А	9	17	16,64	8,32	13

Аналогичным образом находятся кратчайшие расстояния до других пунктов.

2. Построить матрицу кратчайших расстояний между пунктами А, Б, В, Г, Д.

А	Б	В	Г	Д
А	---	16	13,32	---	17,64
Б	16,64	---	15	21	---
В	13	15,32	---	15	12,32
Г	---	21,64	15,32	---	16
Д	17	---	12	16,32	---

3. Математическая модель задачи коммивояжера:

Найти минимальное значение целевой функции z

n+1 n+1

min z = SSl_ij * x_ij

i=1 j=1

при следующих ограничениях:

- из каждого города i нужно уехать только один раз

n+1

Sx_ij = 1 i=1, ......, n+1

j=1

- в каждый город j нужно приехать только один раз:

n+1

Sx_ij = 1 j=1, ......, n+1

i=1

- переменные x_ijмогуть принимать одно из двух значений: 0 или 1,

1 - если в искомый маршрут входит переезд из пункта i в пункт j

0 - в противном случае

- решение есть простой цикл

4. Решение задачи:

А	Б	В	Г	Д
А	---	16	13,32	---	17,64
Б	16,64	---	15	21	---
В	13	15,32	---	15	12,32
Г	---	21,64	15,32	---	16
Д	17	---	12	16,32	---

Б – Г, Д – В, В – А, А – Б, Г – Д

Так как маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г, то первым разрешающим элементом будет элемент 21. (1) Обводим его в кружок. (2)Зачеркиваем все оставшиеся элементы в строке и столбце содержащем элемент 21. (3)Зачеркиваем также элемент 21,64 , чтобы исключить повторное посещение пунктов. (4)Находим наибольшие элементы и зачеркиваем их до тех пор пока в какой-нибудь строке или столбце не появится один незачеркнутый элемент, теперь он будет разрешающим. Повторяем действия (1), (2), (3), (4) до тех пор пока не останется последний разрешающий элемент.

В итоге искомый маршрут будет проходить через пункты:

А – Б – Г – Д – В – А

minz = 16+21+16+12+13 = 78

Раздел 2.

Определение рационального варианта размещения производственных предприятий (на примере АБЗ).

Постановка задачи:

В 2000г планируется осуществить ремонт и реконструкцию дорожной сети некоторого района. Территория района разбита на 4 части, потребности которых в асфальтобетоне в 2000г будут составлять:

B1 = 50.000 т

B2 = 60.000 т

B3 = 45.000 т

B4 = 70.000 т

Для удовлетворения потребностей в асфальтобетоне планируется разместить сеть полустационарных асфальтобетонных заводов. На территории района выбрано 4 возможных пункта размещения заводов, для каждого пункта рассматривается 3 варианта мощности заводов – 10, 25, 50 т аб./час.

Известны затраты на приготовление аб в каждом пункте и доставку его потребителям. Требуется найти в каких пунктах и какой мощности следует разместить аб заводы, чтобы суммарные затраты на его приготовление и доставку потребителям были минимальными.

Затраты на приготовление аб, руб

мощность АБЗ		Приведенные затраты на приготов-е 1т аб АБЗ, располож-м в пункте, руб, C^p_i + E*K^p_i_уд
т/час	тыс. т/год	1	2	3	4
10	18	484	489	495	481
25	45	423	428	435	420
50	90	405	410	416	401

Затраты на транспортировку 1т аб потребителям, С_ij, руб

Пункт размещения	Зона-потребитель
1	28,3	60,3	45,3	90,3
2	61,3	30,3	93,3	48,3
3	50,3	95,3	33,3	62,3
4	99,3	54,3	65,3	36,3

Математическая модель транспортной задачи:

m n

min z = SSC_ij * x_ij

i=1 j=1

Ограничения:

-Sx_ij = a_i i=1, ......, m

j=1

весь продукт a_iимеющийся у i-го поставщика должен быть вывезен потребителю.