Основные определения и теоремы к зачету по функциональному анализу

Определение: Элемент наилучшего приближения – L – линейное многообразие, плотное в E. "e"xÎE $u: ║x-u║<e

Теорема: Для любого элемента нормированного пространства существует хотя бы один элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.

Теорема: Для элемента из строго нормированного конечномерного пространства существует единственный элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.

Теорема: Рисса о существовании почти ортогонального элемента. E-НП LÌE, "eÎ(0,1) $z_eÎE&bsol;L ║z_e║=1 r(z_e,L)>1-e

Определение: Полное нормированное пространство- любая фундаментальная последовательность сходиться.

Теорема: О пополнении нормированного пространства. Любое нормированное пространство можно считать линейным многообразием, плотным в некотором полном нормированном пространстве.

Определение: Гильбертово пространство – нормированное пространство, полное в норме, порожденной скалярным произведением.

Теорема: Для любого элемента гильбертова пространства существует единственный элемент наилучшего приближения в конечномерном подпространстве гильбертова пространства.

Определение:L плотное в E, если "xÎE $uÎL: ║x-u║<e

Теорема:Чтобы L было плотно в H - ортогональное дополнение к L состояло только из нулевого элемента.

Определение: Сепарабельное – нормированное пространство, содержащее некоторое счетное плотное в нем множество.

Определение: Ортогональное дополнение – множество элементов ортогональных к элементам данного пространства.

Определение: Линейный оператор – отображение, для которого A(ax+by)=aAx+bAy

Определение: Непрерывный оператор – Ax-Ax₀ при x- x₀

Определение:L(X,Y) – пространство линейных операторов

Теорема: Пусть X и Y – полные НП и A – непрерывен на некотором подпространстве пространства X, тогда он непрерывен на всем X.

Определение: Ограниченный оператор - "║x║≤1 $с: ║Ax║≤c

Теорема: A – ограниченный -"xÎX ║Ax║≤c║x║

Теорема: Для того чтобы А был непрерывен - чтобы он была ограничен

Теорема:{A_n} равномерно ограничена -{A_n}- ограничена.

Теорема:{A_nx} – ограниченно - {║A_n║}- ограничена.

Определение: Сильная (равномерная) сходимость ║A_n-A║-0, n-¥, обозначают A_n-A

Определение: Слабая сходимость - "xÎX ║(A_n-A)x║_Y-0, n-¥

Теорема: Для того, чтобы имела место сильная сходимость -{A_n} сходилась равномерно на замкнутом шаре радиуса 1

Теорема: Банаха-Штенгауза A_n-A n-¥ слабо - 1) {║A_n║}- ограничена 2) A_n-A, x’ÌX, x’=x

Теорема: Хана Банаха. A:D(A)-Y, D(A)ÌX -$ A’:X-Y 1) A’x=Ax, xÎD(A) 2) ║A’║=║A║

Определение: Равномерная ограниченность - $a "x: ║x(t)║≤a

Определение: Равностепенная непрерывность "t₁,t₂$d: ║x(t₁)-x(t₂)║<e

Теорема:L(X,Y) полное, если Y – полное.

Определение: Ядро – {xÎX | Ax=0}

Определение: Сопряженное пространство – пространство функционалов X^*:=L(X,E)

Определение: Сопряженный оператор A^*: Y^*-X^*

Теорема: Банаха A:X-Y и X,Y- полные нормированные пространства. Тогда $A^-1 и ограничен.

Определение: Оператор А – обратимый

Определение:Оператор А- непрерывнообратимый если 1) A- обратим, 2) R(A)=Y, 3) A^-1-ограничен.

Теорема:A^-1$и ограничен -$m>0 "xÎX ║Ax║≥m║x║

Теорема: Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве. Пусть f:X-Y – линейный ограниченный функционал -$! yÎH "xÎH f(x)=(x,y)

Определение:MÌX называется бикомпактным, если из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся к элементам этого же множества последовательность.

Определение: Множество называется компактным, если любая ограниченная последовательность элементов содержит фундаментальную подпоследовательность.

Теорема: Хаусдорфа. MÌX компактно -"e>0 $конечная e-сеть

Теорема: Арцела. MÌC[a,b] компактно - все элементы множества равномерно ограничены и равностепенно непрерывны.

Определение: Компактный (вполне непрерывный) оператор – замкнутый шар пространства X переводит в замкнутый шар пространства Y.

Определение:s(X,Y) – подпространство компактных операторов

Теорема: Шаудера. AÎs(X,Y) - A^*Îs(X^*,Y^*)

Линейные нормированные пространства

1. Пространства векторов

сферическая норма

кубическая норма

ромбическая норма

p>1

2. Пространства последовательностей

p>1

или пространство ограниченных последовательностей

пространство последовательностей, сходящихся к нулю

пространство сходящихся последовательностей

3. Пространства функций

пространство непрерывных на функций

пространство k раз непрерывно дифференцируемых на функций

£_p[a,b] пространство функций, интегрируемых в степени p (не Гильбертово)

- пополнение £_p[a,b] (Гильбертово)

Неравенство Гёльдера

p,q>0

Неравенство Минковского