Первая краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области

ПрусаковД. В.

«Перваякраевая задачадля уравнениятеплопроводностив нецилиндрическойнеограниченнойобласти» 1998- 99уч. г. 14

Введение3

1.Постановказадачи3

2. Оценочныйанализ решениязадачи.4

2.1. Оценкарешения сверху.4

2.2. Оценкарешения в видеинтеграла5

2.3. Выбор интервала( ) и оценка погрешности8

3.Формулировкарезультатав виде теоремы10

4.Примеры11

Заключение12

СПИСОКЛИТЕРАТУРЫ13

Введение

В ряде случаевоказываетсяневозможнымили неприемлемымполучениеаналитическогорешения поставленнойзадачи. Использованиеосновных теореми положенийанализа позволяетполучить качественнуюкартину поведенияфункции решенияв заданнойобласти, оценитьскорость сходимостирешения. Такойподход широкореализуетсяв областяхтехники, гдеполучениерезультатанеобходимос заданнойточностью.

1.Постановказадачи

В дипломнойработе рассматриваетсязадача:

(З)

0

.

t

x

Требуетсяпривести примероценки решения задачи (З) вобласти

, и исследоватьполученнуюоценку при

2. Оценочныйанализ решениязадачи.

Оценка решениязадачи (З) основываетсяна принципемаксимума дляуравнениятеплопроводности: «Всякое решениеуравнения

в прямоугольнике

, непрерывноевплоть до границы,принимает своинаибольшееи наименьшеезначения нанижних или набоковых егограницах» [2].

2.1. Оценкарешения сверху.

В области t=t, x=

рассмотримрешение задачи :

,V(0,x) = (x ), x , (1)

эторешение имеетвид [1]:

v (t, x) =

. (2)

Зафиксируемнекоторое

иперейдем кисходной системекоординат,тогда (2) в системеt=t,x=

будет выглядетьтак:

V(t, x) =

(2’)

Из принципамаксимума[2] заключаем,что:

U( t, x )

V( t, x ). (3)

Таким образомзадача сводитсяк оценке интеграла(2).

2.2. Оценкарешения в видеинтеграла

Разобьем интервал

на две части

и

,тогда интеграл(2’) запишетсяв виде:

V( t, x ) =

. (*)

Исследуемзнак подинтегральноговыражения,принимая вовнимание, точто

:

; (а)

;

;

где

.

После проведенногоисследованиявидно, что

Использовавизвестноеразложение

,

где Z

0,

,заменимэкспонентыво втором интегралерядами:

(а)

;

(б)

.

В результатеполучим :

Здесь:

,

, (4.1)

, . (4.2)

Запишем неравенство(3) в виде, принимаяво вниманиетолько однослагаемое суммыряда:

m=1,

U(t, x)

. (5)

Выше приведеннаяоценка не отражаеткачественнойкартины и можетбыть использованапри дальнейшихисследованияхзадач подобноговида. ( т .к .

фиксированно)

Рассмотримдругую возможностьоценки неравенства(3).

пусть

(т.е.

финитна),в соответствиис принципоммаксимума:

, (3’)

при

где W-решениекраевой задачи(З) с начальнымиусловиями:

Аналогично,как и выше

здесь:

Таким образом,

(используемразложениев ряд Тейлора)

Витоге,

(5.1)

Рассмотримдва случая:

а)Пусть

,

тогда в правойчасти неравенства(5.1) третье и четвертое(3,4) слагаемыестремятся кнулю быстреелюбой степени

,

поэтому (5.1) можнопереписатькак:

(5.2)

б)Пусть

тогда:

где

Врезультатеполучаем:

(5.3)

2.3. Выборинтервала (

) и оценкапогрешности

Зададимпроизвольнонекоторуюконстанту

>0,потребовавчтобы в (5)

.

при

.

Неравенство(5) можно толькоусилить, если

(6)

Рассмотримобщий вид

:

; (7)

, (7.1)

b=x ( k=1 ), b=2

(k=2)

оценка (7.1) эквивалентнасистеме неравенств:

,

откуда:

. (8)

Т. к. в работеисследуетсяповедениенеравенства(3) при

то принимаемчто для некоторого

:

. (9)

3. Формулировкарезультатав виде теоремы

Обобщаярезультатывсей работыв целом можносформулироватьследующиетеоремы:

1. Пустьдля уравнениятеплопроводностиимеет местозадача

(З)

-гладкая, непрерывно- дифференцируемаяфункция на

,афункция

ограниченана R:

.

Тогдадля любогосколь малогочисла

можно указатьчисло

,

такое что имеетместо следующаяоценка «сверху»решения задачи(З):

Раскрыв квадратные скобки, получим:

.

2. Пусть в имеетместо задача(З),

   -монотонная,неограниченная,возрастающаяфункция,
   тогда:

3. если

   ,то

2) если

то

Замечанние:видно,что оценкуполученнуюв теореме 2 можнополучить и приболее слабыхограничениях

4. Примеры

Пусть

,

1. 
   

2. .

Заключение

В дипломнойработе произведенаоценка решения«сверху» дляуравнениятеплопроводностис движущейграницей позаданномузакону. Аналогично,можно получитьоценку решения«снизу». Дляэтого нужнорассмотретьступенчатуюобласть, в которойдля каждойступенькирешение можетбыть полученосогласно 2.1 (2) .Число такихступенчатыхобластей необходимовыбрать такимобразом, чтобыоценка полученнаяснизу быласравнима сполученнойвыше оценкой.

СПИСОКЛИТЕРАТУРЫ

1. А. Н. Тихонов,А. А. Самарский,Уравненияматематическойфизики. Изд.«Наука», М. 1966 (с.230 -233);

2. С. К. Годунов,Уравненияматематическойфизики. Изд.«Наука», М. 1973 .33-34);

3. Л. Д. Кудрявцев,Краткий курсматематическогоанализа. Изд.«Наука», М. 1989.