Поверхности второго порядка (стр. 2 из 3)

1)Пусть р=0, q =0. ПоверхностьSраспадается на пару плоскостей

При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки a₁₁иа₂₂одинаковы, и вещественными, если знаки a₁₁ иа₂₂различны.

2)Пустьр=0, q ≠ 0. Уравнение (9) принимает вид

a₁₁х² + а₂₂у² + q = 0 (10)

Известно, что уравнение (10) является уравнением цилиндра с образующими, параллельными оси Оz. При этом если a₁₁ , а₂₂ , qимеют одинаковый знак, то левая часть (10) отлична от нуля для любых х и y, т. е. цилиндр будет мнимым. Если же среди коэффициентов a₁₁ , а₂₂ , qимеются коэффициенты разных знаков, то цилиндр будет вещественным. Отметим, что в случае, когда a₁₁ и а₂₂имеютодинаковые знаки, a q — противоположный, то величины

положительны.

Обозначая их соответственно через а²и b², мы приведем уравнение (10) к виду

Таким образом, в отмеченном случае мы имеем эллиптический цилиндр. В случае, a₁₁ и а₂₂ имеют различные знаки, мы получим гиперболический цилиндр. Легко убедиться, что уравнение гиперболического цилиндра может быть приведено к виду

3)Пусть р≠0. Произведем параллельный перенос системы координат, выбирая новое начало в точке с координатами

(0, 0, ).

При этом оставим старые обозначения координатх, у, z. Очевидно, для того чтобы получить уравнение поверхности S в новой системе координат, достаточно заменить в уравнении (9)

Получим следующее уравнение:

a₁₁х² + а₂₂у² + 2pz = 0 (13)

Уравнение (13) определяет так называемые параболоиды. Причем если a₁₁ и а₂₂имеют одинаковый знак, то параболоид называется эллиптическим. Обычно уравнение эллиптического параболоида записывают в канонической форме:

Уравнение (14) легко получается из (13). Если a₁₁ и а₂₂имеют разные знаки, то параболоид называется гиперболическим. Каноническое уравнение гиперболического параболоида имеет вид

Это уравнение также легко может быть получено из (13).

-2°.Два из коэффициентовa´₁₁ , а´₂₂ ,a´₃₃ равны нулю. Ради определенности будем считать, чтоa´₁₁= 0 и а´₂₂= 0 Перейдем отх,', у', z'к. новымкоординатам х, у, z по формулам :

Подставляя х', у' и z', найденные из (16) в левую часть (7) и заменяя затем a´₃₃ на a_{33 ,} a´₁₄ на р,a´₂₄ наq и a´₄₄ на r, получим следующее уравнение поверхности S в новой системе координат Охуz:

a₃₃ z² + 2px + 2qy + r = 0 (17)

1)Пусть р=0, q=0. Поверхность Sраспадается на пару параллельных плоскостей

При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки a₃₃иr одинаковы, и вещественными, если знакиa₃₃ и r различны, причем при r = 0 эти плоскости сливаются в одну.

2)Хотя бы один из коэффициентов р или q отличен от нуля. В этом случае повернем систему координат вокруг осиOz так, чтобы новая ось абсцисс стала параллельной плоскости 2рх+2qy+r=0. Легко убедиться, что при таком выборе системы координат, при условии сохранения обозначения х, уи z для новых координат точек, уравнение (17) примет вид

a₃₃ z² + 2q´y = 0 (19)

которое является уравнением параболического цилиндра с образующими, параллельными новой оси Ох.

§ 3. Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям

1. Эллипсоид.

Из уравнения (3) вытекает, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии эллипсоида, а начало координат—центром симметрии. Числа а, b, сназываются полуосями эллипсоида и представляют собой длины отрезков, от начала координат до точек пересечения эллипсоида с осями координат. Чтобы более наглядно представить себе формуэллипсоида, выясним форму линий пересечения его плоскостями, параллельными какой-либо из координатных плоскостей.

Ради определенности рассмотрим линииL_h пересечения эллипсоида с плоскостями

z = h(20)

параллельными плоскости Оху. Уравнение проекцииL^*_hлинииL_hна плоскость Охуполучается из уравнения (3), если положить в немz = h. Таким образом, уравнение этой проекции имеет вид

Если положить

то уравнение (21) можно записать в виде

т. е.L^*_hпредставляет собой эллипс с полуосями а* и b*, которые могут быть вычислены по формулам (22). Так как L_h получается «подъемом»L^*_h на высоту h по оси Оz(см. (20)), то и L_hпредставляет собой эллипс.

Представление об эллипсоиде можно получить следующим образом. Рассмотрим на плоскости Оху семейство эллипсов (23) (рис. 1), полуоси а* и b* которых зависят отh (см. (22)), и каждый такой эллипс снабдим отметкой h, указывающей, на какую высоту по оси Оz должен быть «поднят» этот эллипс. Мыполучим своего рода «карту» эллипсоида. Используя эту «карту», легко представить себе пространственный вид эллипсоида.

(Метод представления формы фигуры путем получения «карты» фигуры я привожу только для эллипсоида, представить форму других фигур этим методом можно аналогично)

Наглядное изображение эллипсоида находится на следующей странице.

Эллипсоид

.

2. Гиперболоиды.

-1°. Однополостный гиперболоид. Обратимся к каноническому

уравнению (4) однополостного гиперболоида

Из уравнения (4) вытекает, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии, а начало координат — центром симметрии однополостного гиперболоида.

-2°. Двуполостный гиперболоид.Из канонического уравнения (5)двуполостного гиперболоида вытекает, что координатные плоскости являются его плоскостями симметрии, а начало координат — его центром симметрии.

3. Параболоиды.

-1°.Эллиптический параболоид. Обращаясь к каноническому уравнению (14) эллиптического параболоида

мы видим, что для негоOxz и Оуz являются плоскостями симметрии. Ось Oz, представляющая линию пересечения этих плоскостей, называется осью эллиптического параболоида.

-2°.Гиперболический параболоид. Из канонического уравнения (15)




гиперболического параболоида вытекает, что плоскости Oxz и Оуz являются плоскостями симметрии. ОсьOz называется осью гиперболического пaраболоида.

Прим.: получение «карты высот» для гиперболического пaраболоида несколько отличается от аналогичной процедуры для вышеприведенных поверхностей 2-го порядка, поэтому я также включил его в свой реферат.

Линииz=h пересечения гиперболического параболоида плоскостямиz=h представляют собой при h>0 гиперболы

с полуосями

а приh < 0 —сопряженные гиперболы для гипербол (24)

с полуосями

Используя формулы (24)—(27), легко построить «карту» гиперболического параболоида. Отметим еще, плоскость z=0 пересекает гиперболический параболоид по двум прямым :