Поверхности второго порядка (стр. 3 из 3)

Из формул (25) и (27) вытекает, что прямые (28) являются асимптотами гипербол (24) и (26).
Карта гиперболического параболоида дает представление о его пространственной форме. Как и в случае эллиптического параболоида, можно убедиться в том, что гиперболический параболоид может быть получен путем параллельного перемещения параболы, представляющей собой сечение плоскостьюOxz (Оуz), когда ее вершина движется вдоль параболы, являющейся сечением параболоида плоскостьюOyz (Oxz).

Прим.:Изображение гиперболического пaраболоида дано на следующей странице.

Гиперболический параболоид.

4. Конус и цилиндры второго порядка.

-1°.Конус второго порядка

Убедимся, что вещественный конус S образован прямыми линиями, проходящими через начало О координат. Естественно называть точку О вершиной конуса.

Для доказательства сформулированного утверждения, очевидно, достаточно установить, что прямая L, соединяющая произвольную, отличную от начала координат точку
М₀(х₀, у₀, z₀) конуса (6) и начало координат О , целиком располагается на конусе, т. е. координаты (х, у, z) любой точки М прямойL удовлетворяют уравнению (6).

Так как точка М₀(х₀, у₀, z₀) лежит на конусе (6), то :

Координаты (х, у, z) любой точки М прямой L равны соответственноtx₀, ty₀ , tz₀, гдеt—некоторое число. Подставляя эти значения для х, у иz в левую часть (6), вынося затем t² за скобку и учитывая (29), мы убедимся в том, что М лежит на конусе. Таким образом, утверждение доказано. Представление о форме конуса может быть получено методом сечений. Легко убедиться, что сечения конуса плоскостями z = h представляютсобой эллипсы с полуосями :

-2°. Эллиптическийцилиндр.

Состоит из прямых линий, параллельных оси Oz.

-3°. Гиперболическийцилиндр.

Состоит из прямых линий, параллельных оси Oz.

-4°. Параболическийцилиндр.

a₃₃ z² + 2q´y = 0 (19)
Путем переименования осей координат и простых арифметических операций из уравнения, (19) мы получим новое, компактное уравнение параболическогоцилиндра.