Построение графика функции различными методами (самостоятельная работа учащихся) (стр. 5 из 8)
Рассмотрим несколько примеров построения графиков функций:
Пример 1.График функцииy=2x-3 получается из графика y=2x при помощи параллельного переноса его вдоль оси0Y вниз на отрезок длины 3. 
Переписав 2x-3в виде 2(x-3/2), замечаем, что график функции y=2(x-3/2)можно получить из графика функции y=2x при помощипараллельного переноса его вдоль оси 0X вправо на отрезок длины 3/2 (рис. 12).
Пример 2. График функции y=4x2получается из графика функции y=x2растяжением последнего в 4 раза вдоль оси 0Y относительно оси 0X. Переписав 4x2 в виде (2x)2, замечаем, что график функции y=x2можно получить из графика функции y=x2сжатием последнего в 2 раза вдоль оси 0X относительно оси 0Y(рис. 13). 
Пример 3. График функцииy=2x-3получается из графика y=2x при помощи параллельного переноса его вдоль оси0X вправо на отрезок длины 3.Переписав 2x-3 в виде(1/8)*2x, замечаем, что график функции y=(1/8)*2x можно получить из графика функции y=2xсжатием последнего в 8 раз вдоль оси 0X (рис. 14).
Пример 4. Построить график функции:
y=1/2arctg(i/4-x)
Решение: построение графика данной функции может быть проведено по следующей схеме (рис. 13):arctg ® arctg(-x) ® 1/2arctg(-x) ® 1/2arctg(-(x-1/4)).
Пример 5. Построить график функции:
y=ax2+bx+c, a¹0.
Решение: квадратный трехчлен ax2+bx+cможно записать в виде a(x+(b/2a))2+(4ac-b2)/4a. Отсюда видно, что график функции y=ax2+bx+c,получается из параболы y=x2 по следующей схеме:x2® ax2® ax2+(4ac- b2)/4a® a(x+b/(2a))2+(4ac-b2)/4a
т.е. для построения графика y=a x2+bx+c надо:
1.
Растянуть в |а | раз, если |а | >1 (сжать |1/а | раз, если |а | <1), вдоль оси0X график функции y=x2(с возможным последующим отображением полученного графика функции y=|a|x2относительно оси 0Y, если а<0).2.
Параллельно перенести вдоль оси 0Y на отрезок длины |(4ac- b2)/4a| вверх (вниз) график функции y=ax2, если величина (4ac- b2)/4a положительна (отрицательна).3. Полученный после предыдущего преобразования график параллельно перенести вдоль оси 0X на отрезок длины |b/2a| вправо, если b/2a<0, и влево, если b/2a>0.
Пример 6. Построить график функции:
y=| x2-5x+6|
Решение: построим график функции y=x2-5x+6
x2 ®(x-5/2)2 ®(x-5/2)2 -1/4= x2 -5x+6
На рисунке изображен график функций y=| x2-5x+6|
Иногда функция, график которой должен быть построен, представляется как сумма двух простейших функций, графики которых нам знакомы или легко могут быть построены. В этом случае можно применить приём графического сложения ординат этих графиков (для краткости говорят просто о сложении графиков.) покажем этот приём на примерах.Пример 1. Построить график функций y=x3+2x+2.
Решение: можно представить данную функцию как сумму функций y=x3иy=-2x+2, графики которых нам хорошо знакомы. Они изображены на рис. 16 тонкими линиями: это прямая y=-2x+2 и кубическая парабола y=x3. Далее производится суммирование ординат: к ординатам точек кубической параболы прибавляются (с учетом знака!) ординаты точек прямой. При выполнении этой операции удобно пользоваться мерительным циркулем; следует использовать наиболее важные и характерные точки каждого из графиков (в нашем примере – вершину O(0; 0) параболы, точки 
пересечения прямой с осями и т.д.). Итогом построения служит график, показанный жирной линией. Мы можем много сказать о функции: она имеет максимум и минимум, обращается в нуль в одной точке и т.д. Положение этих характерных точек её графика мы могли бы найти приближенно по чертежу.Пример 2. Построить график функций y=2ч-2x.
Решение: график данной функции можно получить сложением графиков показательной функции y=2xи линейной функции y=-2x. Это сделано на рис. 17. График пересекает ось OX в точках x=1, x=2, являющихся нулями функции y=2ч-2x.
Обратим ещё внимание на то, что прямая y=-2x является асимптотой графика (т.к. при x, стремящимся к минус бесконечности, разность между значениями функций y=2ч-2x и y=-2x стремится к нулю). Из построения видно, что функция имеет точку минимума, найти её точное положение для нас затруднительно.
Пример 3. Построить график функций y=x2-x4.
Решение: график может быть построен вычитанием ординат графика y=x4 из ординат графика y=x2 (рис. 18). В данном случае полезно дополнить это построение некоторым общим исследованием свойств функции y=x2-x4. Ясно, что функция определена для всех значений x и является четной. Она обращается в нуль при x=0, x=±1.Как видно из построения графика методом вычитания, следует ожидать у функции наличия двух точек максимума. В данном случае их нетрудно найти; преобразуем выражение функции:
y=x2-x4=1/4-(1/4- x2+x4)=1/4-( x2-1/2)2 .
Теперь видно, что наибольшее значение y=1/4функция имеет при х=±1/Ö2. Точка x=0 является точкой минимума данной функции (но значение функции в этой точке, равное нулю, не есть её наименьшее значение).
(книга 2)
Используя геометрические преобразования, рассмотренные выше, в их различных комбинациях, можно построить и графики более сложных функций.
Пример1. Построить график функций
y=|||x| - 1| -2|
Решение: график данной функции можно построить по графику функции y=||x|-1|,если последний параллельно перенести вдоль оси 0Y вниз на отрезок длины 2, а затем эту часть полученного графика функции y=||x| - 1| -2, которая расположена в нижней полуплоскости, симметрично отобразить относительно оси 0X. График функции y=||x| - 1|можно построить по графику функции y=|x| если последний параллельно перенести вдоль оси 0Y вниз на отрезок длинны 1, а затем ту часть полученного графика функции y=|x| - 1, которая расположена в нижней плоскости, симметрично отобразить относительно оси 0X.
Таким образом, график заданной функции может быть построен согласно схеме: x®|x|®|x|-1®||x|-1|® ||x|-1|-2®|||x|-1|2|
§3. Применение производной