Построение графика функции различными методами (самостоятельная работа учащихся) (стр. 6 из 8)

к построению графика функции

Графики функций строятся по точкам. Обычно из уравнения y=f(x) находят несколько точек графика функций y=f(x) и соединяют эти точки плавной кривой. Однако при таком методе легко пропустить какие-то особенности графика и допустить ошибку в построении.

Для построения графика функции нужно исследовать её свойства. Прежде всего надо найти область определения функции, а потом исследовать функцию на честность и периодичность. Т.к. график четной функции симметричен относительно оси Оу, а график нечетной - относительно начала координат, то для четных и нечетных функций можно ограничится исследованием их свойств лишь при х³0. Если периодическая и Т – её основной период, то можно ограничится исследованием свойств функции на промежутке длинны Т.

Далее полезно найти точки пересечения графика с осями координат и определить интервалы знакопостоянства функции. Дело в том , что если, скажем, на интервале (a; b) функция y=f(x) принимает только положительные значения, то график её на этом интервале лежит выше оси Ох. Значит, часть плоскости, лежащею под указанным интервалом, можно заштриховать – там графика нет. Эта часть исследования позволяет указать области, где может лежать график функции. После этого можно изучить поведения функции на границах области определения, установить характер точек разрыва (если они есть), найти асимптоты. Наконец следует найти промежутки возрастания и убывания функции и исследовать её на экстремум.

Подводя итог всему сказанному выше, получаем следующую схему исследования свойств функции и построения ее графика.

1. Найти область определения функции,

2. Исследовать функцию на четность.

3. Исследовать функцию на периодичность.

4. Найти точки пересечения графика с осями координат.

5. Определить промежутки знакопостоянства.

6. Исследовать функцию на границах области. Найти асимптоты.

7. Исследовать функцию на экстремум.

8. Составить таблицу значений функции для некоторых значений аргумента.

9. Используя все полученные результаты ,построить график функции.

Пример 1. Построить график функции y= x⁴-2 x²-8.

Решение. 1.Функция определена при любом значении x,т.е. D=(f)=R.

2. Так как область определения функции - симметричное множество и f(-x)=f(x),то функция четна .Следовательно график функции симметричен относительно оси Оy и для дальнейшего исследования можно ограничится промежутком [0,+ ].Но в данном примере мы этого делать не будем.

3Функция непериодическая.

4. Найдем точки пересечения графика с осью Ох. Для этого решим уравнениеx⁴- x²-8=0. Пологая u= x²,получим квадратноеуравнениеu²- u-8=0. Пологаяu= x², получим квадратное уравнение u²- u-8=0, имеющее корни4 и –2. Из уравненияx²=4находим х=2, х=-2, уравнениеx²=-2не имеет решений. Мы нашли две точки пересечения с осью Ох:(2;0) и (-2;0).

С осью Оу график функции пересекается в точке(0;-8).

5. Найдем интервалы знакопостоянства функции. Заданная функция не прерывна на всей числовой прямой обращается в 0в точках2 и –2. Значит, в промежутках(- ,-2). (-2;2) и (2; ) она сохраняет постоянный знак Чтобы определить знак функции на каждом из указанных промежутков, достаточно взять по одной “пробной” точке из каждого промежутка.

Имеем–100 (- ,2), f(-100)=(-100)⁴-2(-100)²-8>0. Значит, f(x)>0 в промежутке (- ; -2).Далее, 0Î(-2; 2), f(0)=-8<0.Поэтомуf(x)<0 в промежутке(-2; 2). Наконец, 100Î(2; + ), f(100)=f(-100), а выше мы видели, что f(-100)>0. Следовательно, f(100)>0, а потом f(x)>0 в промежутке (2; + ).

На рисунке представлена геометрическая иллюстрация тех сведений о графике, которыми мы располагаем к настоящему моменту. Заштрихованы те участки координатной плоскости, где графика нет, отмечены известные точки(0; -8), (2; 0), (-2; 0). Это – ответ на вопрос, где расположен график. Дальнейшее исследование позволяет ответить на вопрос, как строить график.

6) Изучим поведение функции вблизи границ области определения. Поскольку D(f)=(- ; + ), такими «границами»можно считать - и + . преобразовав выражение x⁴-2x²-8 к виду x²-( x²-2-8/ x²),замечаем, что если х®- или х®+ , то у®+ .

Асимптот график не имеет.

7) Исследуем функцию на экстремум; имеем

y’=4 x³-4x=4x(x-1)(x+1)

Прировняв производную нулю, находим три корня: 0, 1, -1. Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки (- ; -1), (-1;0), (0;1), (1; + ). Если х>1, то у'>0, а в остальных промежутках знаки чередуются справа на лево, смотри рисунок.

Составим таблицу:

x	- <x<-1	-1	-1<x<0	0	0<x<1	1	1<x<+
f’(x)	-	0	+	0	-	0	+
f(x)	Убыв.	-9 min	Возр.	-8 max	Убыв.	-9 min	Возр.

Итак, в точках (-1; -9) и (1; -9) функция имеет минимум, а в точке (0; -8) - максимум

.

8) Составим таблицу значений функции для некоторых значений аргумента, включая те, что были уже отмечены в ходе исследования:

X	-2	-1	0	1	2	-2,5	2,5
Y	0	-9	-8	-9	0	»6	»6

9) Строим график функции y= x⁴-2 x²-8.

Пример 2. Построить график функции y=( x²-1)/x.

Решение:

1. Функция не определена только в точке х=0, т.е. D(f)=(- ; 0)È(0; + ).

2. Множество D(f) является симметричным; кроме того f(-х)=((-х)²-1)/-х=-(x²-1)/-х=-f(х). Значит, y=f(x) – нечетная функция. Поэтому график симметричен относительно начала координат и для дальнейшего исследования можно ограничится промежутком (0; + ), что мы и сделаем.

3. Функция непериодическая.

4. Найдем точки пересечения графика с положительным лучом оси Ох. Из уравнения ( x²-1)/x=0 находим x=1 (корень х=-1 пока не принемаем во внимание). Итак, точка пересичения с осью Ох – точку (1; 0).

С осью Оу график не пересекается, т.к. точка х=0 не принадлежит к области определения функции: 0 D(f).

5. Находим промежутки знакопостоянства: (0; 1) и (1; + ). В первом из них f(x)<0, во втором f(x)>0/

На рисунке представлена геометрическая иллюстрация тех сведений о графике, которыми мы располагаем к настоящему моменту.

6. Изучим поведение функции вблизи границ области определения, т.е. вблизи точки ноль и при х®+ . Если х®0 (напомним, что мы рассматриваем случай где х>0), то (x²-1)/x®. Если же х®+ , то ( x²-1)/x=х-1/х®+ .

Прямая х=0 является вертикальной асимптотой. Далее, т.к. степень числителя выражается (x²-1)/x на единицу больше степени знаменателя, то должна существовать и наклонная асимптота. В самом деле, поскольку (x²-1)/x=х-1/х и 1/х стремятся к нулю при х®+ , наклонной асимптотой служит прямая у=х.

7. Исследуем функцию на экстремум; имеем

y’=((x²-1)/x)’=([-1/x)’=1+1/ x².

Замечаем, что у’>0при любых х. Значит на луче (0; + ) функция возрастает и экстремумов не имеет.

8. Составим таблицу значения функции:

x	1	0.5	0.25	2	3	4
y	0	-1.5	-3.75	1.5	2.67	3.75

9. отметив найденные точки на координатной плоскости и учитывая результаты исследования, строим ветвь графика при х>0, смотри рисунок.

Т.к. график функции y=(x²-1)/x, симметричен относительно начала координат, то добавив к построенной ветви симметричную ей относительно начала координат, получим искомый график.

10. Глава 3. ФОРМИРОВАНИЕ УМЕНИЯ

САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ФУНКЦИЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

В настоящее время каждый учитель математики ставит перед собой задачу не только сообщить школьникам определенную сумму знаний, наполнить их память некоторым набором фактов и теорем, но и научить учащихся думать, развить их мысль, творческую инициативу, самостоятельность. Привитие ученикам навыков самостоятельной работы, умения ориентироваться в поступающей информации, умения самостоятельно пополнять свои знания — это сложный и длительный процесс, требующий специально организованной и целенаправленной работы учителя, в которой, так же как и в любой другой работе. выделяются определенные этапы.

Среди совокупности умений и способов деятельности, которыми овладевают учащиеся при изучении математики, существуют такие, которыми должен прочно овладеть каждый ученик, для того чтобы учебный процесс протекал нормально.

Изучению функций и их свойств посвящена значительная часть курса алгебры. И это не случайно. Понятие функции имеет огромное прикладное значение. Умения, приобретаемые школьниками при изучении функций, имеют прикладной и практический характер. Они широко используются при изучении, как курса математики, так и других школьных предметов — физики, химии, географии, биологии, находят широкое применение в практической деятельности человека. От того, как усвоены учащимися соответствующие умения, зависит успешность усвоения многих разделов школьного курса математики.